Situación inicial
En una planta termoeléctrica se instaló una válvula con \(5\) años de vida útil para controlar las emisiones prohibidas por el ente regulador. Se espera que el costo de mantenimiento sea de \(\$17.000.000\) el primer año y que aumente \(20\%\) anualmente. Determine el valor presente equivalente del costo de mantenimiento teniendo en cuenta una tasa de interés es de \(8\%~EA\)
Solución inicial
La primera opción se solución que tenemos es la fórmula básica de \(P\) y \(S\)
\[P=\frac{S}{(1+i)^n}\]
En este sentido la solución al problema sería el siguiente:
\[P=\frac{17.000.000}{(1+8\%)^1}+\frac{20.400.000}{(1+8\%)^2}+\frac{24.480.000}{(1+8\%)^3}+\frac{29.376.000}{(1+8\%)^4}+\frac{35.251.000}{(1+8\%)^5}=\$98.247.077,286\]
La segunda opción es utilizar una serie gradiente, para lo cual debemos definir que es un gradiente.
Gradiente
Un gradiente es una serie de pagos que cumple con las siguientes condiciones:
- Todos los pagos cumplen una ley de formación (crecen o decrecen a un ritmo).
- Los pagos se efectúan en iguales intervalos de tiempo.
- Todos los pagos están expuestos a la misma tasa de interés.
- El número de pagos es igual al número de períodos.
Gradiente geométrico
Es el tipo de gradiente en donde la ley de formación es geométrica o exponencial, esto es, una serie de flujo de efectivo que aumenta o disminuye en un porcentaje constante \(g\) cada periodo. Matemáticamente \(P_{n+1}=P_n*(1+g)\). Si la serie aumenta tendremos un Gradiente geométrico creciente si la constante disminuye tendremos un Gradiente geométrico decreciente
Valor presente de un gradiente geométrico creciente
Para el valor presente \(P\) de una serie gradiente geométrica creciente usamos la siguiente expresión (si \(g\neq i\)):
\[ P = \frac{A\left[1-\left(\frac{1+g}{1+i}\right)^n\right]}{i-g} \]
Donde:
- \(P:~valor~presente\)
- \(A:~anualidad~(primer~valor~serie)\)
- \(g:~gradiente~(valor~de~crecimiento~porcentual)\)
- \(n:~períodos~de~tiempo\)
- \(i:~tasa~efectiva~por~período\)
En el caso que \(i=g\) entonces podemos calcular el valor presente \(P\) como:
\[P=\frac{An}{1+i}\]
Y podemos calcular el valor de cualquier cuota \(Cn\) como:
\[P_n=A*(1+g)^{n-1}\]
Para la situación inicial serían los siguientes datos:
- \(P:¿?\)
- \(A:\$17.000.000\)
- \(g:20\%\)
- \(n:5~años\)
- \(i:~8\%~EA\)
Por lo tanto el valor presente sería:
\[ P = \frac{17.000.000\left[1-\left(\frac{1+8\%}{1+20\%}\right)^5\right]}{8\%-20\%}= \$98.247.077,2860 \]
Ejemplo 1
Una deuda se está cancelando en \(24\) cuotas mensuales que aumentan \(10\%\) cada mes. Si el valor de la primera cuota fue de \(\$850.000\) y la tasa de interés es de \(3\%~EM\). ¿De cuánto es la deuda adquirida? ¿Cuánto será el valor de la cuota 18 de la deuda?
Respuesta: $46.694.334,68 - 4.296.299,74
Ejemplo 2
Aguas de Colombia SA compra agua superficial para su tratamiento y distribución a consumidores. Tiene un contrato nuevo que tiene como resultado una reducción de los aumentos de precio futuros en el costo del agua de \(8\%\) a \(4\%\) anual durante los siguientes 20 años. Si el costo del agua el año próximo (año 1 del nuevo contrato) será de \(\$260\) ¿cuál es el valor presente de los ahorros entre los contratos nuevo y antiguo? La tasa de interés es de \(6\%~EA\).
Respuesta: P(contrato antiguo)= $5893,01 - P(nuevo)= $4118,37
Ejemplo 3
Se desea comprar un apartaestudio que tiene una valor de \(\$65.000.000\) con el siguiente plan de pago:
- Cuota inicial: \(20\%\) del valor del apartamento
- 24 cuotas que aumentan cada mes en \(1,5\%\)
- Abono extraordinario en el mes \(24\) de \(\$5.000.000\)
¿Calcular el valor de la primera cuota, si la tasa de interés es del \(2.8\%EM\)?
Respuesta: $2.441.109,66
Valor presente de un gradiente geométrico decreciente
La expresión para el valor \(P\) para el gradiente geométrico decreciente es
\[P=\frac{A\left[1-(1-g)^{n}(1+i)^{-n}\right]}{g+i}\]
Valor futuro de un gradiente geométrico creciente
Para el valor futuro \(S\) de una serie gradiente geométrica creciente usamos la siguiente expresión (si \(g\neq i\)):
\[S=\frac{A\left[(1+g)^n-(1+i)^n\right]}{g-i}\]
Donde:
- \(S:~valor~futuro\)
- \(A:~anualidad~(primer~valor~serie)\)
- \(g:~gradiente~(valor~de~crecimiento~porcentual)\)
- \(n:~períodos~de~tiempo\)
- \(i:~tasa~efectiva~por~período\)
En el caso que \(i=g\) entonces podemos calcular el valor presente \(P\) como:
\[S=\frac{An(1+i)^n}{1+i}\]
Ejemplo 1
Los ingenieros del Mundo Marino SA, desarrollaron una innovación en un deporte acuático existente. La modificación cuesta \(\$32.000.000\) y se espera que dure \(6\) años con un valor de salvamento de \(\$5.200.000\). Se espera que el costo de mantenimiento sea de \(\$6.800.000\) el primer año, y que aumente \(11\%\) anual en lo sucesivo, si la tasa de interés es del \(8\%~EA\). Determine el valor equivalente de la innovación al año \(6\)
Respuesta: -$109.849.096,956728
Ejemplo 2
Un ingeniero industrial que no cree en los sistemas de pensiones de su país, planea para su jubilación el depósito del \(10\%\) de su salario cada año en un fondo accionario de alta tecnología. Si este año su salario es de \(\$6.000.000\) (es decir, al final del año 1) y espera que se incremente \(4\%\) cada año, ¿cuál será el valor del fondo después de \(15\) años si rinde una tasa del \(4\%\) anual?
Respuesta: $15.585.088,0284252
Ejemplo 3
Cabletelco planea ofrecer a sus empleados un paquete de mejoras salariales cuyo componente principal es la participación en las utilidades. Específicamente, la compañía reservaría \(1\%\) de las ventas totales para los bonos de fin de año de todos sus trabajadores. Se espera que las ventas sean de \(\$20.000.000.000\) el primer año y de \(\$24.000.000.000\) el segundo, con incrementos de \(20\%\) durante cada uno de los cinco años siguientes. Con una tasa de interés de \(10\%~EA\) por año, ¿cuál es el costo equivalente en el ultimo año que asume Cabletelco por la política?
Respuesta: $17.556.200.000
Valor futuro de un gradiente geométrico decreciente
Para el valor futuro \(S\) de una serie gradiente geométrica creciente usamos la siguiente expresión:
\[S=\frac{A\left[(1+i)^n-(1-g)^n\right]}{g+i}\]