Definición

Un proceso estocástico \(\{B(t), t\geq 0\}\) es un movimiento Browniano si cumple las siguientes propiedades:

1.- \(B(0) = 0\)

2.- \(\{B(t), t\geq 0\}\) tiene incrementos independientes y estacionarios.

3.- Para \(t>0\), B(t) tiene distribución normal con media cero y varianza \(t\).

La función de autocovarianza de \(B\) para \(s < t\) está dada por:

\[ \begin{align*} \mathbb{C}ov(B(s), B(t)) &= \mathbb{E}\big[(B(s) - B(0))(B(t) - B(0))\big] \\ &= \mathbb{E}\big[(B(s) - B(0))^2 + (B(s) - B(0))(B(t) - B(s))\big] \\ &= \mathbb{E}\big[(B(s) - B(0))^2\big] + \underbrace{\mathbb{E}\big[(B(s) - B(0))(B(t) - B(s))\big]}_{=0 \text{ por independencia}} \\ &= s \end{align*} \]

Se puede verificar que para \(t < s\), \(\text{Cov}(B(s), B(t)) = t\), entonces

\[ \mathbb{C}ov(B(s), B(t)) = \min(s, t), \quad \text{para todo } s, t \ge 0. \]

Autocorrelación

Sea \(B(t)\) un movimiento browniano estándar, para \(s > 0\) y \(t > 0\) La autocorrelación entre \(B(s)\) y \(B(t)\) se define como:

\[ \mathbb{C}or(B(s), B(t)) = \frac{\min(s, t)}{\sqrt{s t}}. \]

Simulación:

Sea

\[0 = t_0 < t_1 < t_2 < , ..., < t_{n-1} < t_n = T\]

Consideremos una partición sobre \([0, T]\) dada por \(\Delta t = T/n\).Entonces, para simular trajectorias del movimiento Browniano consideremos los incrementos

\[B(t_1) - B(t_0) \sim N(0, t_1 - t_0) = N(0, \Delta t - 0) = \sqrt{\Delta t} N(0, 1)\] \[ B(t_2) - B(t_1) \sim N(0, t_2 - t_1) = N(0, 2\Delta t-\Delta t) = \sqrt{\Delta t} N(0, 1)\] \[ \vdots \] \[ B(t_n) - B(t_{n-1}) \sim N(0, t_n - t_{n-1}) = N(0, n\Delta t-(n-1)\Delta t) = \sqrt{\Delta t} N(0, 1)\]

Sumando los incrementos se tiene que

\[ B(t_n) - B(t_0) \sim \sum_{i=1}^{n} \sqrt{\Delta t} N(0, 1)\]

dado que \(B(t_0) = 0\) entonces

\[ B(t_n) \sim \sqrt{\Delta t} \sum_{i=1}^{n} N(0, 1)\]

y donde \(\sqrt{\Delta t} = \sqrt{T/n}\)

Aproximación teórica mediante simulación

Ahora vamos a simular \(M=1000\) trayectorias y vamos averificar algunas propuedades como el valor esperado, varianza y autocorrelación mediante simulación, para

1.- \(\mathbb{E}[B(15)]\), \(E[B(10)]\)

2.- \(\matbb{V}ar(B(15))\), \(Var(B(10))\)

3.- \(\mathbb{C}or([B(15)], Var[B(10)])\)

# Parámetros
N = 10000      # número de pasos
M = 1000       # número de trayectorias simuladas

sim = StochasticSimulation(steps=N, n_times=M)
df = sim.BrownianMotion()

# Colormap 
cmap = cm.get_cmap("Greys", M*2)
# lista de t
t = sim.t
std_teorica = np.sqrt(t)
# Media teórica 
mean_B = [0]*len(t)
# Intervalos de confianza 95% usando desviación estándar teórica
conf_upper =  mean_B + 1.96 * std_teorica
conf_lower =  mean_B - 1.96 * std_teorica
# Grafica
plt.figure(figsize=(14,6))
for i in range(M):
    plt.plot(t, df.iloc[i,:].to_list(), color=cmap(i), linewidth=0.5)
plt.plot(t, conf_upper, 'blue', linewidth=0.3)
plt.plot(t, conf_lower, 'blue', linewidth=0.3)
plt.fill_between(t, conf_lower, conf_upper, color='lightblue', alpha=0.2, label='Intervalo de confianza 95% (teórico)')
plt.title(f"Movimiento Browniano [{M} trayectoria]")
plt.xlabel("Tiempo t")
plt.ylabel("B(t)")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

Solución punto 1:

La solución mediante simulación consiste en generar muchas trajectorias, y hacer un corte vertical al tiempo \(t\) extraer los puntos y extraer medidas estadísticas como la media, la varianza, para la covarianza y correlación se seguiría la misma regla pero ahora dos cortes a distintos tiempo, y sobre ellos obtener las medidas. Veamos las distribuciones para los distintos tiempo selecionados en los ejemplos:

# Tiempos a graficar
steps_to_plot = [10, 15]

# Crear figura con subplots
fig, axes = plt.subplots(2, 1, figsize=(10, 6))
axes = axes.flatten()

for i, step in enumerate(steps_to_plot):
    data = df[step]
    mean = data.mean()
    var = data.var()

    sns.histplot(data, bins=30, kde=True, ax=axes[i])
    axes[i].set_title(f"Distribución al tiempo {step}")
    axes[i].set_xlabel('Posición')
    axes[i].set_ylabel('Frecuencia')
    axes[i].legend([f'Media = {mean:.2f}, Varianza = {var:.2f}'])

plt.tight_layout()
plt.show()

# Movimiento Browniano B(15)
B_15 = np.round(df.mean(axis=0).to_list()[15],4)
print(f"Media del movimiento Browniano B(15): {B_15}")

## Media del movimiento Browniano B(15): 0.0646

# Movimiento Browniano B(10)
B_10 = np.round(df.mean(axis=0).to_list()[10],4)
print(f"Media del movimiento Browniano B(10): {B_10}")

## Media del movimiento Browniano B(10): 0.0673

Solución punto 2:

Sabemos que \(Var(B(t)) = t\)

• \(\mathbb{V}ar(B(15)) = 15\), y
• \(\mathbb{V}ar(B(10)) = 10\)

# Movimiento Browniano B(5)
var_B15 = np.round(df.var(axis=0).to_list()[15],4)
print(f"Media del movimiento Browniano B(15): {var_B15}")

## Media del movimiento Browniano B(15): 14.5341

# Movimiento Browniano B(6)
var_B10= np.round(df.var(axis=0).to_list()[10],4)
print(f"Media del movimiento Browniano B(10): {var_B10}")

## Media del movimiento Browniano B(10): 9.7265

El valor simulado se acerca mucho al valor teórico, entre más trayectorias se generen el resultado se aproxima más al teórico.

Solución punto 3:

Recordando la formula de la autocorrelación, \(Corr(B(s), B(t)) = \frac{\min(s, t)}{\sqrt{s t}}\) y para \(s=15\), y \(t=10\), entonces, el valor teórico

• \(Cor(B(15), B(10)) = \frac{min(15,10)}{\sqrt{15*10}} = \frac{10}{12.2474} \sim 0.8164\)

# Movimiento Browniano Corr(B(15), B(10))
B_s = df.iloc[:, 15]
B_t = df.iloc[:, 10]
corr= np.round(np.corrcoef(B_s, B_t)[0,1],4)
print(f"Correlación del movimiento Browniano Cor(B(15),B(10)): {corr}")

## Correlación del movimiento Browniano Cor(B(15),B(10)): 0.8001

Observamos que la simulación aproxima bastente bien el valor teórico.

Caso más complicado

Sean \(\{B_1(t), t \ge 0\}\) y \(\{B_2(t), t \ge 0\}\) dos movimientos Brownianos estándar independientes. Sea

\[ R(t) = \sqrt{B_1(t)^2 + B_2(t)^2}, \quad t \ge 0, \]

donde \(R(t)\) representa la distancia al origen de un movimiento Browniano bidimensional.

Se desea determinar el valor esperado de \(R(t)\), es decir:

\[ \mathbb{E}[R(t)] = \mathbb{E}\Big[\sqrt{B_1(t)^2 + B_2(t)^2}\Big]. \]

Podemos aproximar una solución de $[R(t)] $ para cualquier valor de \(t\), la respuestá es sí. Consideremos la simulación anterior con \(N=10,000\) pasos y \(M=1000\) trayectorias.

# Parámetros
N = 10000      # número de pasos
M = 1000       # número de trayectorias simuladas

# Estavblecemos los parámetros
sim1 = StochasticSimulation(steps=N, n_times=M)
sim2 = StochasticSimulation(steps=N, n_times=M)
# simulación de los dos Movimiento Brownianos
B1 = sim1.BrownianMotion()
B2 = sim2.BrownianMotion()
# Distribución de R(t)
Rt = np.sqrt(B1**2 + B2**2)

# Colormap 
cmap = cm.get_cmap("Greys", M*2)
# lista de t
t = sim.t
std_teorica = np.sqrt(t)
# Media teórica 
mean_B = [0]*len(t)
# Intervalos de confianza 95% usando desviación estándar teórica
#conf_upper =  mean_B + 1.96 * std_teorica
#conf_lower =  mean_B - 1.96 * std_teorica
# Grafica
plt.figure(figsize=(14,6))
for i in range(M):
    plt.plot(t, Rt.iloc[i,:].to_list(), color=cmap(i), linewidth=0.5)
plt.title(f"Simulación de R(t) [{M} trayectoria]")
plt.xlabel("Tiempo t")
plt.ylabel("B(t)")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

La trayectorias siguen una caminata aleatoria de Person, y se puede demostrar que para cualquier \(t\) fijo, la distribución es Rayleigh