第2回 1変量データの整理（2）
今日のポイント
- 変量の尺度（名義／順序／間隔／比）により，適切なデータ整理の方法は異なる．
- 度数分布（表／ヒストグラム）はデータ整理の基本．
- 記述統計量（位置／散らばり）でデータの特徴をみる．
1 変量の尺度（p. 27）
1.1 質的変量
変量の尺度により，適切なデータ整理の方法は異なる．
定義 1 順序がない類別を名義尺度という．
注釈. 「最大値」 「最小値」 「平均」は無意味．
例 1 婚姻状態（未婚・既婚・離別・死別）．
定義 2 順序がある類別を順序尺度という．
注釈. 「平均」は無意味．
例 2 最終学歴（中卒・高卒・大卒）．
1.2 量的変量
定義 3 間隔のみが意味をもつ量を間隔尺度という．
例 3 摂氏・華氏，時刻．
定義 4 比率が意味をもつ量を比尺度という．
例 4 身長，体重，時間，絶対（熱力学）温度．
2 度数分布（p. 18）
2.1 度数（p. 18）
まず最初に観測値の範囲をいくつかの階級に分割する．
定義 5 ある階級に含まれる観測値の数を，その階級の度数という．
定義 6 （度数）／（観測値の総数）を相対度数という．
例 5 某大学1年生の入試成績（英語）の度数分布（表 1）．
| 階級 | 度数 | 相対度数 |
|---|---|---|
| 200〜250 | 2 | .00 |
| 250〜300 | 11 | .03 |
| 300〜350 | 15 | .04 |
| 350〜400 | 30 | .07 |
| 400〜450 | 63 | .15 |
| 450〜500 | 95 | .22 |
| 500〜550 | 92 | .22 |
| 550〜600 | 67 | .16 |
| 600〜650 | 33 | .08 |
| 650〜700 | 19 | .04 |
| 計 | 427 | 1.00 |
定義 7 横軸に値をとり，各階級の（相対）度数を柱の面積で表したグラフをヒストグラム（柱状グラフ）という．
注釈. 柱の高さで表す棒グラフとは異なる．階級分けしない離散変量は棒グラフでよい．
注釈. ヒストグラムの印象は階級の取り方により異なる．粗すぎても細かすぎてもダメ．
例 6 某大学1年生の入試成績（英語）のヒストグラム（図 1）．
2.2 累積度数（p. 19）
定義 8 ある階級以下の度数の和を，その階級までの累積度数という．
注釈. 名義尺度なら無意味．
定義 9 （累積度数）／（観測値の総数）を累積相対度数という．
例 9 某大学1年生の入試成績（英語）の累積度数分布（表 2）．
| 階級 | 累積度数 | 累積相対度数 |
|---|---|---|
| 200〜250 | 2 | .00 |
| 250〜300 | 13 | .03 |
| 300〜350 | 28 | .07 |
| 350〜400 | 58 | .14 |
| 400〜450 | 121 | .28 |
| 450〜500 | 216 | .51 |
| 500〜550 | 308 | .72 |
| 550〜600 | 375 | .88 |
| 600〜650 | 408 | .96 |
| 650〜700 | 427 | 1.00 |
定義 10 累積（相対）度数の折れ線グラフを累積（相対）度数グラフという．
注釈. 階級が細かいほど滑らかなグラフとなる．
例 7 某大学1年生の入試成績（英語）の累積度数グラフ（図 2）．
定義 11 横軸に累積相対度数， 縦軸に（その階級以下の観測値の総和）／（全観測値の総和）をとった 折れ線グラフをローレンツ曲線という．
注釈. 全観測値が等しければ45度線に一致．下に行くほど「不平等」な分布．
注釈. データの大きさに関わらず，累積相対度数分布が同じなら，ローレンツ曲線は同じになる．
例 8 某大学1年生の入試成績（英語）のローレンツ曲線（図 3）．
練習 1 以下の3つのデータについて，それぞれローレンツ曲線を描きなさい．
- (2,2,2,2,2)
- (0,0,0,0,10)
- (0,1,2,3,4)
3 記述統計量（p. 28）
3.1 総和記号
定義 12 \sum_{i=1}^nx_i:=x_1+\dots+x_n
練習 2 以下の公式を示しなさい．
- \sum_{i=1}^n1=n
- \sum_{i=1}^nax_i=a\sum_{i=1}^nx_i
- \sum_{i=1}^n(x_i+y_i)=\sum_{i=1}^nx_i+\sum_{i=1}^ny_i
3.2 位置（p. 28）
定義 13 （観測値の総和）／（観測値の総数）を（算術）平均という．
注釈. 質的変量なら無意味．
注釈. 観測値を (x_1,\dots,x_n) とすると（とりあえず母集団と標本は区別しない） \mu:=\frac{x_1+\dots+x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i
定義 14 観測値を小さい方から順に並べたときの中央の値を中位数という．
注釈. データの総数が偶数で中央の値が存在しない場合は両隣の間をとる．
注釈. 順序尺度でも意味をもつ．
注釈. 対称な分布なら平均＝中位数．
定義 15 観測値を小さい方から順に並べたときの \alpha n 番目の値を \alpha 分位数（点）という．
注釈. \alpha n 番目の値が存在しない場合は両隣の間をとる．
注釈. 中位数は0.5分位数．
定義 16 i/4 分位数を第 i 四分位数という．
定義 17 i/5 分位数を第 i 五分位数という．
定義 18 i/10 分位数を第 i 十分位数という．
定義 19 i/100 分位数を第 i 百分位数（パーセント点）という．
定義 20 度数が最大となる値を最頻値という．
注釈. 階級の取り方に依存する．
注釈. 名義尺度でも意味をもつ．
注釈. 対称で単峰な分布なら平均＝中位数＝最頻値．
3.3 散らばり（p. 35）
定義 21 （最大値）－（最小値）を範囲（レンジ）という．
定義 22 （第3四分位数）－（第1四分位数）を四分位範囲（interquartile range, IQR）という．
定義 23 IQR/2 を四分位偏差という．
定義 24 平均からの偏差の2乗の平均を分散という．
注釈. 式で表すと \sigma^2 :=\frac{(x_1-\mu)^2+\dots+(x_n-\mu)^2}{n} =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2
定義 25 分散の平方根を標準偏差という．
定義 26 （標準偏差）／（平均）を変動係数という．
注釈. 変動係数は測定単位の影響を受けない．
注釈. 平均が正でないと（比尺度でないと）無意味．
定義 27 （ローレンツ曲線と45度線の間の面積）／（45度線の下の面積）をジニ係数という．
注釈. 45度線の下の面積は1/2．
注釈. 不平等度（格差）を表す．
まとめ
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