Distribución Binomial en Nutrición

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Demostración de la esperanza

Distribución Hipergeométrica

Sea (X (N, K, n)), donde:

• (N) = tamaño de la población
  
• (K) = número de éxitos en la población
  
• (n) = tamaño de la muestra
  
• (X) = número de éxitos en la muestra

La función de probabilidad de (X) es:

[ P(X = x) = , (0, n-(N-K)) x (n,K) ]

Demostración de la Esperanza

La esperanza se define como:

[ E[X] = {x} x P(X=x) = {x} x ]

Usando la propiedad de los coeficientes binomiales:

[ x = K , ]

se obtiene:

[ E[X] = {x=1}^{(n,K)} = {x=1}^{(n,K)} . ]

Haciendo el cambio de variable (y = x-1):

[ E[X] = _{y=0}^{(n-1,K-1)} . ]

Aplicando la identidad de Vandermonde:

[ _{y=0}^{n-1} = , ]

por lo que finalmente:

[ E[X] = = . ]

[ ]