Ejercicio 3,5

Determine el valor \(C\) de modo que cada una de las siguientes funciones sirva como distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta \(X\):

\[ a)\ f(x) = c(x^ 2 + 4) para\ x = 0,1,2,3. \]

Una función de probabilidad discreta debe cumplir con la condición número 2 de este apartado, así de esta manera:

\[ \sum_{x=0} ^ {3} f(x) = 1 \]

x <- 0:3   
fx <- x^2 + 4   
suma_fx <- sum(fx)   
c_valor <- 1/suma_fx
fractions(c_valor)
## [1] 1/30
cat("El valor de c es", (c_valor))
## El valor de c es 0.03333333
x <- 0:3
f.x <- c_valor * (x^ 2 + 4)
Grafic4 <- data.frame(x, f.x)
Grafic4
##   x       f.x
## 1 0 0.1333333
## 2 1 0.1666667
## 3 2 0.2666667
## 4 3 0.4333333
# Fill rellena las barras con color purpura, y color le pone el color negro a los bordes.Además aes(label=round(f.x,3)), muestra los valores de f.x redondeados a 3 decimales. La función vjust me permite colocar los valores de F.x encima de cada barra. 

ggplot(Grafic4, aes(x=x, y=f.x)) +
  geom_col(fill="purple", color="black") +     
  geom_text(aes(label=round(f.x,2)), vjust= -0.4, size=3) +
  labs(title="Funcion de probabilidad f(x)",x="x", y="f(x)") +
  theme_minimal()

\[ b)\; f(x) = c \binom{2}{x}\binom{3-x}{x}, \text{para } x = 0,1,2. \]

x <- 0:2

fx <- choose(2, x) * choose(3 - x, x)
suma_fx <- sum(fx)
c_valor <- 1 / suma_fx
fractions(c_valor)
## [1] 1/5
cat("El valor de c es", (c_valor))
## El valor de c es 0.2
x <- 0:2
f.x <- c_valor * (choose(2, x) * choose(3 - x, x))
Grafic5 <- data.frame(x, f.x)
Grafic5
##   x f.x
## 1 0 0.2
## 2 1 0.8
## 3 2 0.0
ggplot(Grafic5, aes(x=x, y=f.x)) +
  geom_col(fill="purple", color="black") +     
  geom_text(aes(label=round(f.x,2)), vjust= -0.4, size=3) +
  labs(title="Funcion de probabilidad f(x)",x="x", y="f(x)") +
  theme_minimal()

Ejericio 3,6 La vida útil, en días, para frascos de cierta medicina de prescripción es una variable aleatoria que tiene la siguiente función de densidad:

\[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{20000}{(x+100)^3}, & x > 0, \\ 0, & \text{en otro caso}. \end{cases} \]

Calcule la probabilidad de que un frasco de esta medicina tenga una vida útil de: a) al menos 200 días. b) cualquier lapso entre 80 y 120 días.

PUNTO A

# Definir la función de densidad
f <- function(x) 20000 / (x + 100)^3

# Calcular la probabilidad de que X sea al menos 200
prob_a <- integrate(f, lower = 200, upper = Inf)$value
cat("Probabilidad de que el frasco dure al menos 200 días:", prob_a, "\n")
## Probabilidad de que el frasco dure al menos 200 días: 0.1111111
# Crear un rango de valores de x (ej: de 0 a 500 días)
x <- seq(0, 500, by = 1)
y <- f(x)

# Data frame con todos los puntos
df <- data.frame(x = x, y = y)

# Subconjunto para sombrear desde 200 en adelante
df.area <- subset(df, x >= 200)

ggplot(df, aes(x = x, y = y)) +
  geom_line(color = "#68228B", size = 1) +                         
  geom_area(data = df.area, aes(x = x, y = y),
            fill = "#E066FF", alpha = 0.4) +
  labs(title = "Probabilidad de vida útil ≥ 200 días",
       x = "Días de vida útil",
       y = "f(x)") +
  theme_minimal()
## Warning: Using `size` aesthetic for lines was deprecated in ggplot2 3.4.0.
## ℹ Please use `linewidth` instead.
## This warning is displayed once every 8 hours.
## Call `lifecycle::last_lifecycle_warnings()` to see where this warning was
## generated.

PUNTO B

# Calcular la probabilidad de que X esté entre 80 y 120
prob_b <- integrate(f, lower = 80, upper = 120)$value
cat("Probabilidad de que el frasco dure entre 80 y 120 días:", prob_b, "\n")
## Probabilidad de que el frasco dure entre 80 y 120 días: 0.1020304
x <- seq(0, 500, by = 1)
df <- data.frame(x = x, y = f(x))


df_area_b <- subset(df, x >= 80 & x <= 120)

ggplot(df, aes(x = x, y = y)) +
  geom_line(color = "deeppink", size = 1) +                  # curva
  geom_area(data = df_area_b, fill = "lightpink", alpha = 0.4) +  # sombreado
  labs(title = "Área sombreada bajo la curva (intervalo central)",
       x = "x",
       y = "f(x)") +
  theme_minimal()

Ejericio 3.7 El número total de horas, medidas en unidades de 100 horas, que una familia utiliza una aspiradora en un periodo de un año es una variable aleatoria continua X que tiene la siguiente función de densidad.

Calcule la probabilidad de que en un periodo de un año una familia utilice su aspiradora. a) menos de 120 horas; b) entre 50 y 100 horas. \[ f(x) = \begin{cases} x, & 0 < x < 1, \\ 2-x, & 1 \leq x < 2, \\ 0, & \text{en otro caso}. \end{cases} \]

\[ 120 \text{ horas} = 1.2 \text{ unidades}\\ P(X < 1.2) = \int_{0}^{1} x \, dx + \int_{1}^{1.2} (2-x) \, dx \]

PUNTO A

# Defino la función de densidad
f.x <- function(x){
  ifelse(x>0 & x<1, x,
         ifelse(x>=1 & x<2, 2-x, 0))
}

# Cálculo de la probabilidad por partes
p1 <- integrate(function(x) x, lower = 0, upper = 1)$value
p2 <- integrate(function(x) 2-x, lower = 1, upper = 1.2)$value

p_total_a <- p1 + p2
p_total_a
## [1] 0.68
fractions(p_total_a)
## [1] 17/25
cat("La probabilidad de que la familia use la aspiradora menos de 120 horas en el año es 0.68 o de 68%")
## La probabilidad de que la familia use la aspiradora menos de 120 horas en el año es 0.68 o de 68%

PUNTO B

p_b <- integrate(function(x) x, lower = 0.5, upper = 1)$value
p_b
## [1] 0.375
fractions(p_b)
## [1] 3/8
cat ("La probabilidad de que la familia use la aspiradora entre 50 y 100 horas en el año es 0.375")
## La probabilidad de que la familia use la aspiradora entre 50 y 100 horas en el año es 0.375

EJECICIO 3.9 La proporción de personas que responden a cierta encuesta enviada por correo es una variable aleatoria continua X que tiene la siguiente función de densidad: a) Demuestre que P(0 < X < 1) = 1.

  1. Calcule la probabilidad de que más de 1/4 pero menos de 1/2 de las personas contactadas respon- dan a este tipo de encuesta. \[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{2(x+2)}{5}, & 0 < x < 1, \\ 0, & \text{en otro caso}. \end{cases} \]

PUNTO A $$ P(0<X<1) = _{0}^{1} , dx = 1

$$

f.x <- function(x){ (2*(x+2))/5 }

p_a <- integrate(f.x, lower=0, upper=1)$value
p_a
## [1] 1
fractions(p_a)
## [1] 1
cat("La probabilidad total en el intervalo (0,1) es 1, por lo tanto f(x) es una función de densidad válida")
## La probabilidad total en el intervalo (0,1) es 1, por lo tanto f(x) es una función de densidad válida

PUNTO B

p_b <- integrate(f.x, lower=1/4, upper=1/2)$value
p_b
## [1] 0.2375
fractions(p_b)
## [1] 19/80
cat("La probabilidad de que más de 1/4 pero menos de 1/2 de las personas respondan es 0.225 o 9/40")
## La probabilidad de que más de 1/4 pero menos de 1/2 de las personas respondan es 0.225 o 9/40

ejercicio PUNTO TRES PUNTO 12

Lo voy a poner con dobre espacio ya que sino se ve muy pegado y queda feito. y maluquito eso peñuscado.

\[ f(t) = \begin{cases}\\ 0,&t<1, \\ \\ \dfrac{1}{4}, & 1\le t < 3, \\ \\ \dfrac{1}{2}, & 3\le t < 5, \\ \\ \dfrac{3}{4}, & 5\le t < 7, \\ \\ 1, & t \ge 7, \\ \end{cases} \]

####PUNTO A P(T = 5)

#### Acá voy a poner los números que pueden tocar en la función f(t)
valores <- c(1, 3, 5, 7)

#Acá voy a poner la probabilidad de que salga cada una, y como todas tienen la misma peus es la misma para los cuatro valores

p_valor <- c(1/4, 1/4, 1/4, 1/4)


a <- p_valor[valores == 5]
fractions(a)
## [1] 1/4
cat("la probabilidad de que T = 5 es de, 0.5")
## la probabilidad de que T = 5 es de, 0.5

####PUNTO B P(T > 3)

valores <- c(1, 3, 5, 7)
p_valor <- c(1/4, 1/4, 1/4, 1/4)

b <- sum(p_valor[valores > 3])
fractions(b)
## [1] 1/2
cat("la probabilidad de que T = 5 es de, 0.5")
## la probabilidad de que T = 5 es de, 0.5

####PUNTO C P(1.4 < T < 6)

valores <- c(1, 3, 5, 7)
p_valor <- c(1/4, 1/4, 1/4, 1/4)

c <- sum(p_valor[valores > 1.4 & valores < 6])
fractions(c)
## [1] 1/2
cat("la probabilidad de que T = 5 es de, 0.5")
## la probabilidad de que T = 5 es de, 0.5

####PUNTO D P(T ≤ 5 | T ≥ 2)

valores <- c(1, 3, 5, 7)
p_valor <- c(1/4, 1/4, 1/4, 1/4)

d_1 <- sum(p_valor[valores <= 5 & valores >= 2])
fractions(d_1)
## [1] 1/2
cat("la probabilidad de que T = 5 es de, 0.5")
## la probabilidad de que T = 5 es de, 0.5