Ejercicio 3.5

Determine el valor c de modo que cada una de las siguientes funciones sirva como distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta \(X\):

$$

  1. f(x) = c(x^2 + 4), x=0,1,2,3 \

  2. f(x) = c , x=0,1,2

$$ Para el caso a:

x_a <- 0:3
fx_c <- x_a^2 + 4
sum_fx_c <- sum(fx_c)
c <- 1 / sum_fx_c

F.x <- c * fx_c
data <- data.frame(x = x_a, F.x = F.x)
flextable(data)

x

F.x

0

0.1333333

1

0.1666667

2

0.2666667

3

0.4333333

sum(F.x)
## [1] 1
F.x <- function(x){

  ifelse(x < 0, 0,
    ifelse(x < 1, 0.13,
      ifelse(x < 2, 0.29,
        ifelse(x < 3, 0.55,
          ifelse(x < 4, 0.98, 1)))))
}

F.x(2.9)
## [1] 0.55

Para el caso b:

x_b <- 0:2

fxb_choose <- choose(2, x_b) * choose(3, 3 - x_b)
sum_fx_b <- sum(fxb_choose)
c_b <- 1 / sum_fx_b

F.b <- c_b * fxb_choose
data_b <- data.frame(x = x_b, format(F.b, digits = 6))
flextable(data_b)

x

format.F.b..digits...6.

0

0.1

1

0.6

2

0.3

sum(F.b)
## [1] 1
F.x <- function(x){

  ifelse(x < 0, 0,
    ifelse(x < 1, 0.1,
      ifelse(x < 2, 0.7, 
        ifelse(x < 3, 1,1))))
}

F.x(5)
## [1] 1

Ejercicio 3.6

La vida útil, en días, para frascos de cierta medicina de prescripción es una variable aleatoria que tiene la siguiente función de densidad:

$$

f(x) = \[\begin{cases} \dfrac{20.000}{(x+100)^3} \ { si } & x > 0, \\ 0, & \text{en otro caso}. \end{cases}\]

$$

Calcule la probabilidad de que un frasco de esta medicina tenga una vida útil de:

  1. al menos 200 días;
  2. cualquier lapso entre 80 y 120 días.
f.x <- function(x){
  ifelse(x > 0, 20000 / (x+100)^3, 0)
}

a <- integrate(f.x, lower = 0, upper = Inf)$value
a
## [1] 1
F.x <- function(x){
  ifelse(x < 0, 0, (20000)/(x+100)^3)
}

F.x(-1)
## [1] 0
F.x(200)  
## [1] 0.0007407407

Solución a:

prob_a <- integrate(f.x, lower = 200, upper = Inf)$value
prob_a
## [1] 0.1111111
cat("La probabilidad de que un frasco de esta medicina tenga vida util sea al menos de 200 días es de:", prob_a)
## La probabilidad de que un frasco de esta medicina tenga vida util sea al menos de 200 días es de: 0.1111111

Gráfica a :

x. <- seq(0, 400, by = 1)
y. <- f.x(x.)
df <- data.frame(x = x., y = y.)

df_a <- subset(df, x >= 200)

graf_a <- ggplot(df, aes(x = x, y = y)) +
  geom_line(color = "#cc6699", size = 0.2) +
  geom_area(data = df_a, aes(x = x, y = y), 
            fill = "#cc6699", alpha = 0.4) +
  labs(title = "P(X ≥ 200)", x = "x (días)", y = "f(x)") +
  theme_minimal(base_size = 14)
## Warning: Using `size` aesthetic for lines was deprecated in ggplot2 3.4.0.
## ℹ Please use `linewidth` instead.
## This warning is displayed once every 8 hours.
## Call `lifecycle::last_lifecycle_warnings()` to see where this warning was
## generated.
graf_a

Solución b:

prob_b <- integrate(f.x, lower = 80, upper = 120)$value
prob_b
## [1] 0.1020304
cat("La probabilidad de que un frasco de esta medicina tenga vida util sea entre 80 y 120 días días es de:", prob_b)
## La probabilidad de que un frasco de esta medicina tenga vida util sea entre 80 y 120 días días es de: 0.1020304

Tabla con los resultados

data.frame(
  Caso = c("P(X >= 200)", "P(80 <= X <= 120)"),
  Probabilidad = c(prob_a, prob_b)
)
##                Caso Probabilidad
## 1       P(X >= 200)    0.1111111
## 2 P(80 <= X <= 120)    0.1020304

Gráfica de b:

x. <- seq(0, 400, by = 1)
y. <- f.x(x.)
df <- data.frame(x = x., y = y.)

df_b <- subset(df, x >= 80 & x <= 120)

graf_b <- ggplot(df, aes(x = x, y = y)) +
  geom_line(color = "#cc6699", size = 0.2) +
  geom_area(data = df_b, aes(x = x, y = y), 
            fill = "#cc6699", alpha = 0.4) +
  labs(title = "P(80 ≤ X ≤ 120)", x = "x (días)", y = "f(x)") +
  theme_minimal(base_size = 14)

graf_b

Ejercicio 3.7

El número total de horas, medidas en unidades de 100 horas, que una familia utiliza una aspiradora en un periodo de un año es una variable aleatoria continua \(X\) que tiene la siguiente función de densidad:

\[ f(x) = \begin{cases} x, & 0 < x < 1 \\ 2-x, & 1 \le x < 2 \\ 0, & \text{en otro caso} \end{cases} \]

Calcule la probabilidad de que en un periodo de un año una familia utilice su aspiradora a) menos de 120 horas; b) entre 50 y 100 horas.

Verificar que es una función de densidad:

f.x <- function(x){
  ifelse(x > 0 & x < 1, x,
         ifelse(x >= 1 & x < 2, 2 - x, 0))
}


integrate(f.x, lower = 0, upper = 2)$value
## [1] 1

Solución a:

prob <- integrate(f.x, lower = 0, upper = 1.2)$value
prob
## [1] 0.68

Solución b.

prob2 <- integrate(f.x, lower = 0.5, upper = 1)$value
prob2
## [1] 0.375

Tabla con los resultados

data.frame(
  Caso = c("P(X >= 200)", "P(80 <= X <= 120)"),
  Probabilidad = c(prob, prob2)
)
##                Caso Probabilidad
## 1       P(X >= 200)        0.680
## 2 P(80 <= X <= 120)        0.375

Ejercicio 3.12

Una empresa de inversiones ofrece a sus clientes bonos municipales que vencen después de varios años. Dado que la función de distribución acumulativa de T, el número de años para el vencimiento de un bono que se elige al azar, es:

x_datos <- c(1, 3, 5, 7)
p_datos <- rep(1/4, length(x_datos))

# a) P(T=5)
P_a <- p_datos[x_datos == 5]
P_a
## [1] 0.25

b).

\[ \small \text{b) } P(T > 3), \]

x_datos <- c(1, 3, 5, 7)
p_datos <- rep(1/4, length(x_datos))

tabla_b <- data.frame(
  x = x_datos,
  f.x = as.character(fractions(p_datos))
)

flextable(tabla_b)

x

f.x

1

1/4

3

1/4

5

1/4

7

1/4

P_b <- sum(p_datos[x_datos > 3])
P_b
## [1] 0.5
tabla_d <- data.frame(
  x = c(1, 3, 5, 7),
  f.x = rep(1/4, 4)
)

num <- sum(tabla_d$f.x[tabla_d$x %in% c(3, 5)])
den <- sum(tabla_d$f.x[tabla_d$x %in% c(3, 5, 7)])

prob_cond <- num / den
prob_cond
## [1] 0.6666667