Simulación 2 de Variables Aleatorias en R

set.seed(1234)
options(digits = 4)

Introducción

El software R proporciona funciones para generar números aleatorios de diversas distribuciones:

Uniforme: runif(n, min, max) Normal: rnorm(n, mean, sd) Exponencial: rexp(n, rate) Poisson: rpois(n, lambda) Binomial: rbinom(n, size, prob)

A continuación se resuelven los ejercicios solicitados, con simulación, gráficos e interpretaciones.

1. Fallas diarias (Poisson)

Un sistema de producción presenta fallas según un proceso de Poisson con tasa 𝜆=3 fallas-día. Simular 150 días y calcular media y desviación estándar del conteo diario.

1.1 Simulación y estadísticos

lambda <- 3
dias   <- 150
fallas_dia <- rpois(n = dias, lambda = lambda)

media_emp <- mean(fallas_dia)
sd_emp    <- sd(fallas_dia)

c(Media_empirica = media_emp,
  DesvEstd_empirica = sd_emp)

##    Media_empirica DesvEstd_empirica 
##             2.793             1.688

Para Poisson teórico: 𝐸[𝑋]=𝜆=3 y 𝑆𝐷[𝑋]= √𝜆≈1.732. La media y la desviación estándar empíricas deben aproximarse a esos valores con 150 días simulados.

1.2 Gráfico de barras (frecuencias)

tab_fallas <- table(fallas_dia)
barplot(tab_fallas,
        main = "Fallas por día (Poisson, λ = 3) · 150 días",
        xlab = "Fallas en el día",
        ylab = "Frecuencia de días",
        border = NA)

2. Vida útil de un componente (Exponencial)

La vida útil 𝑇(horas) sigue Exponencial con promedio 500 horas → rate= 1/500. Simular 1000 componentes y estimar 𝑃(𝑇>700).

2.1 Simulación y estimación de probabilidad

promedio <- 500
rate     <- 1/promedio
n_comp   <- 1000

vida <- rexp(n = n_comp, rate = rate)

prob_emp_Tmayor700 <- mean(vida > 700)
prob_emp_Tmayor700

## [1] 0.239

La proporción anterior estima, por simulación, la probabilidad de que un componente dure más de 700 horas.

3. Productos defectuosos por lote (Binomial)

En una línea de ensamblaje, 𝑝=0.05 es la probabilidad de defecto. Simular 100 lotes de 50 productos y calcular el promedio de defectuosos por lote.

3.1 Simulación y promedio por lote

lotes   <- 100
tamano  <- 50
p_def   <- 0.05

defectuosos <- rbinom(n = lotes, size = tamano, prob = p_def)
prom_def_lote <- mean(defectuosos)
c(Promedio_defectuosos_por_lote = prom_def_lote)

## Promedio_defectuosos_por_lote 
##                           2.4

Teóricamente, 𝐸[𝑋]=𝑛𝑝=50×0.05=2.5. El promedio empírico debería acercarse a ~2.5 defectuosos por lote.

4. Demanda diaria de energía (Normal)

La demanda diaria (MW) es Normal con 𝜇=100 MW y 𝜎=15 MW. Simular 365 días y estimar 𝑃(Demanda>130). Además, graficar histograma.

4.1 Simulación y probabilidad empírica

dias_anio <- 365
mu   <- 100
sdv  <- 15

demanda <- rnorm(n = dias_anio, mean = mu, sd = sdv)

prob_emp_demanda_gt130 <- mean(demanda > 130)
prob_emp_demanda_gt130

## [1] 0.01096

4.2 Histograma

hist(demanda,
     main = "Demanda diaria de energía (Normal 100, 15) · 365 días",
     xlab = "MW",
     ylab = "Frecuencia",
     breaks = "FD", border = NA)

La proporción anterior estima por simulación la probabilidad de exceder 130 MW en un día.

5. Vida de capacitores (Exponencial, Transformada Inversa)

El tiempo de vida (horas) de un nuevo capacitor sigue Exponencial con parámetro β = 1000 (media).

Se pide: a) Generar 1000 tiempos de vida con transformada inversa. b) Estimar media y varianza y compararlas con los valores teóricos. c) Graficar histograma con densidad teórica. d) Estimar 𝑃(𝑇<940) por simulación.

Recordatorio (Transformada Inversa para Exponencial con media β): Si 𝑈∼Uniforme(0,1), entonces 𝑇=−𝛽ln⁡(1−𝑈) tiene distribución Exponencial con media 𝛽.

5.1 Simulación por transformada inversa (usando runif)

beta <- 1000
n    <- 1000

U <- runif(n) 
Tvida <- -beta * log(1 - U)
head(Tvida)

## [1]   2.091 347.673 416.210 129.420 791.971 451.152

5.2 Media y varianza: empírico vs teórico

media_emp_T <- mean(Tvida)
var_emp_T   <- var(Tvida)

media_teo <- beta
var_teo   <- beta^2

c(Media_empirica = media_emp_T,
  Var_empirica   = var_emp_T,
  Media_teorica  = media_teo,
  Var_teorica    = var_teo)

## Media_empirica   Var_empirica  Media_teorica    Var_teorica 
##           1010        1005607           1000        1000000

Para Exponencial(β): 𝐸[𝑇]=𝛽 y Var(𝑇)=𝛽^2. Las estimaciones empíricas deben aproximarse a 1000 y 1,000,000 respectivamente.

5.3 Histograma con densidad teórica

# Histograma como densidad
hist(Tvida,
     probability = TRUE,
     main = "Vida de capacitores (Exponencial, β = 1000) · Transformada inversa",
     xlab = "Horas",
     ylab = "Densidad",
     breaks = "FD", border = NA)

# Densidad teórica f(t) = (1/β) * exp(-t/β), t >= 0
curve((1/beta) * exp(-x/beta),
      from = 0, to = max(Tvida),
      add = TRUE, lwd = 2)

5.4 Probabilidad empírica 𝑃(𝑇<940).

prob_emp_Tmenor940 <- mean(Tvida < 940)
prob_emp_Tmenor940

## [1] 0.608

La proporción anterior es la estimación, por simulación, de la probabilidad de que un capacitor dure menos de 940 horas.

Conclusiones

• Poisson (fallas/día): Los conteos simulados presentan media y variabilidad acordes con 𝜆=3.

• Exponencial (vida útil): La probabilidad de superar un umbral (700 h) se estima con la proporción simulada.

• Binomial (defectos): El promedio de defectuosos por lote se acerca a 𝑛𝑝.

• Normal (demanda): La probabilidad de exceder 130 MW se obtiene como proporción de simulaciones; el histograma muestra la dispersión alrededor de la media 100 con 𝜎=15.

• Transformada Inversa: Con runif y −𝛽ln⁡(1−𝑈) se reproduce la Exponencial; media y varianza empíricas se aproximan a los valores teóricos (𝛽,𝛽^2).

Este flujo permite simular, graficar e interpretar escenarios típicos de confiabilidad, calidad y demanda usando funciones base de R.