Taller Simulación de Variables Aleatorias

1. Proceso de Poisson (fallas)

# Parámetros
lambda <- 3   # tasa diaria
dias <- 150

# Simulación
fallas <- rpois(dias, lambda)

# Resultados
media_sim <- mean(fallas)
desv_sim <- sd(fallas)

media_sim; desv_sim

## [1] 2.986667

## [1] 1.726177

Explicación:
Se simulan 150 días de fallas. Luego se calcula la media y desviación estándar muestral, que deben acercarse a los valores teóricos:

• Media teórica = λ = 3
  
• Varianza teórica = λ = 3

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2. Vida útil exponencial (>700 horas)

# Parámetros
n <- 1000
vida <- rexp(n, rate = 1/500)

# Probabilidad simulada
prob_mas700 <- mean(vida > 700)
prob_mas700

## [1] 0.274

Explicación:
La vida útil tiene media = 500 h. Se estima la probabilidad de que dure más de 700 h.

• Valor teórico = exp(-700/500) ≈ 0.2466

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3. Binomial (productos defectuosos)

# Parámetros
lotes <- 100
tam_lote <- 50
p <- 0.05

# Simulación
defectuosos <- rbinom(lotes, size = tam_lote, prob = p)

# Promedio de defectuosos
mean(defectuosos)

## [1] 2.41

Explicación:
En promedio debe salir cercano a 2.5 defectuosos por lote (50 * 0.05).

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4. Demanda diaria (Normal)

# Parámetros
dias <- 365
mu <- 100
sigma <- 15

# Simulación
demanda <- rnorm(dias, mean = mu, sd = sigma)

# Probabilidad demanda > 130
prob_sup130 <- mean(demanda > 130)
prob_sup130

## [1] 0.03013699

# Histograma
hist(demanda, breaks = 20, probability = TRUE, col = "lightblue",
     main = "Demanda diaria simulada", xlab = "MW")
curve(dnorm(x, mu, sigma), col = "red", lwd = 2, add = TRUE)

Explicación:
El histograma muestra la distribución simulada y la curva roja la densidad teórica.

• Valor teórico = 1 - pnorm(130, 100, 15) ≈ 0.0228

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5. Método de la transformada inversa (Exponencial)

# Parámetros
n <- 1000
beta <- 1000  # media
u <- runif(n)

# Transformada inversa: X = -beta * log(1-U)
vida_cap <- -beta * log(1 - u)

# a) ya simulamos los 1000 tiempos
# b) Media y varianza
media_sim <- mean(vida_cap)
var_sim <- var(vida_cap)

media_teo <- beta
var_teo <- beta^2

media_sim; var_sim

## [1] 1002.734

## [1] 1007937

media_teo; var_teo

## [1] 1000

## [1] 1e+06

# c) Histograma y densidad
hist(vida_cap, breaks = 30, probability = TRUE, col = "lightgreen",
     main = "Vida útil de capacitores", xlab = "Horas")
curve(dexp(x, rate = 1/beta), col = "red", lwd = 2, add = TRUE)

# d) Probabilidad X < 940
prob_menos940 <- mean(vida_cap < 940)
prob_menos940

## [1] 0.619

Explicación:
- La media debe estar cercana a 1000 h.
- La varianza debe acercarse a 1,000,000.
- El histograma con la curva roja muestra que la simulación concuerda con la teoría.
- Prob(X < 940) teórico = 1 - exp(-940/1000) ≈ 0.613