Introducción

En este taller se resuelven diversos problemas de simulación de variables aleatorias utilizando el software R.
Cada ejercicio aplica una distribución de probabilidad diferente (Poisson, Exponencial, Binomial, Normal) y busca no solo generar datos aleatorios, sino también analizar los resultados y compararlos con los valores teóricos.
El trabajo refleja la importancia de la simulación en la validación de modelos estocásticos en sistemas de producción, confiabilidad y demanda.

Ejercicio 1: Falla en un sistema de producción (Poisson)

Un sistema de producción presenta fallas de acuerdo con un proceso de Poisson con una tasa de 3 fallas por día.
Se pide simular el número de fallas durante un semestre (150 días) y calcular la media y desviación estándar.

set.seed(123)
fallas <- rpois(150, lambda = 3)
mean_fallas <- mean(fallas)
sd_fallas <- sd(fallas)

mean_fallas

## [1] 3

sd_fallas

## [1] 1.658818

Interpretación:
La media simulada es cercana a 3 fallas por día, con una desviación estándar aproximada de 1.66.
Esto valida que el modelo Poisson con λ = 3 describe adecuadamente el proceso de fallas.

Ejercicio 2: Vida útil de un componente (Exponencial)

La vida útil de un componente electrónico sigue una distribución Exponencial con media de 500 horas.
Se pide simular 1000 componentes y estimar la probabilidad de que un componente dure más de 700 horas.

vida <- rexp(1000, rate = 1/500)
prob_mas700 <- mean(vida > 700)
mean(vida)

## [1] 509.5817

prob_mas700

## [1] 0.253

Interpretación:
La media simulada se aproxima a 500 horas.
La probabilidad estimada de que un componente dure más de 700 horas es 0.253, consistente con la probabilidad teórica exp(-700/500) ≈ 0.2466.

Ejercicio 3: Productos defectuosos (Binomial)

En una línea de ensamblaje, la probabilidad de que un producto sea defectuoso es 5%.
Se simulan 100 lotes de 50 productos y se calcula el número promedio de defectuosos por lote.

defectuosos <- rbinom(100, size=50, prob=0.05)
mean_def <- mean(defectuosos)
mean_def

## [1] 2.64

Interpretación:
En promedio, se obtuvieron 2.64 productos defectuosos por lote de 50, lo cual es cercano al valor esperado 50 × 0.05 = 2.5.
Esto confirma la coherencia del modelo binomial.

Ejercicio 4: Demanda de energía (Normal)

La demanda diaria de energía sigue una distribución Normal con media de 100 MW y desviación estándar de 15 MW.
Se simula un año (365 días) y se calcula la probabilidad de que un día supere los 130 MW, además de graficar el histograma.

demanda <- rnorm(365, mean=100, sd=15)
prob_mas130 <- mean(demanda > 130)
prob_mas130

## [1] 0.01917808

# Histograma
hist(demanda, breaks=30, col="lightblue", probability=TRUE,
     main="Demanda diaria de energía (MW)", xlab="MW")
curve(dnorm(x, mean=100, sd=15), col="red", lwd=2, add=TRUE)

Interpretación:
La probabilidad estimada de que la demanda diaria supere los 130 MW es 0.019.
El histograma refleja que la mayoría de días la demanda se concentra alrededor de 100 MW, con ocasionales valores altos.

Ejercicio 5: Vida de capacitores (Exponencial con transformada inversa)

La vida útil de un capacitor sigue una distribución Exponencial con media de 1000 horas.
Se pide:

Generar 1000 tiempos de vida usando el método de la transformada inversa.
Estimar la media y varianza de los tiempos y compararlas con los valores teóricos.
Graficar el histograma con la densidad teórica.
Calcular la probabilidad de que un capacitor dure menos de 940 horas.

n <- 1000
u <- runif(n)
vida_cap <- -1000 * log(1 - u)   # Transformada inversa

# Media y varianza simuladas
media_sim <- mean(vida_cap)
var_sim <- var(vida_cap)

# Valores teóricos
media_teo <- 1000
var_teo <- 1000^2

# Resultados
media_sim; var_sim; media_teo; var_teo

## [1] 1008.111

## [1] 962485.1

## [1] 1000

## [1] 1e+06

# Histograma con densidad teórica
hist(vida_cap, breaks=40, probability=TRUE, col="lightgreen",
     main="Vida útil de capacitores (horas)", xlab="Horas")
curve(dexp(x, rate=1/1000), col="blue", lwd=2, add=TRUE)

# Probabilidad de durar < 940 horas
prob_menos940 <- mean(vida_cap < 940)
prob_menos940

## [1] 0.594

Interpretación:
- La media y varianza simuladas son cercanas a los valores teóricos (1000 y 1,000,000).
- El histograma refleja un decaimiento exponencial coherente con la densidad teórica.
- La probabilidad de que un capacitor dure menos de 940 horas es 0.594.

Conclusiones

La simulación permitió comprender cómo diferentes distribuciones de probabilidad (Poisson, Exponencial, Binomial, Normal) modelan fenómenos reales de fallas, confiabilidad, defectos y demanda.
Los valores simulados fueron consistentes con los parámetros teóricos, lo que valida los métodos utilizados.
Los gráficos complementan la interpretación al mostrar visualmente la forma de cada distribución.
El método de la transformada inversa se aplicó con éxito en el caso de los capacitores, confirmando que las técnicas de generación de variables aleatorias son confiables.

Este taller muestra la importancia de la simulación en la toma de decisiones en ingeniería, al permitir prever escenarios y validar modelos de forma práctica.

Taller: Simulación de Variables Aleatorias en R

Juan Jose Villamizar Díaz