Taller

  1. Un sistema de producción tiene fallas según un proceso de Poisson con una tasa de 3 fallas por día. Simular el número de fallas en un semestre (150 días) y calcular la media y desviación estándar.

  2. La vida útil (en horas) de un componente electrónico sigue una distribución exponencial con un promedio de 500 horas. Simular 1000 componentes y estimar la probabilidad de que un componente dure más de 700 horas.

  3. En una línea de ensamblaje, la probabilidad de que un producto sea defectuoso es del 5 %. Simular 100 lotes de 50 productos y calcular el número promedio de productos defectuosos por lote.

  4. La demanda diaria de energía (en MW) sigue una distribución normal con media de 100 MW y desviación estándar de 15 MW. Simular la demanda de un año (365 días) y calcular la probabilidad de que un día supere los 130 MW. y realizar el histograma.

  5. Una empresa de manufactura electrónica quiere simular el tiempo de vida (en horas) de un nuevo modelo de capacitor. Basado en datos históricos, se ha determinado que el tiempo de vida sigue una distribución exponencial con parámetro β = 1000 horas, que representa el tiempo medio de vida de los capacitores.

  1. Generar 1000 tiempos de vida del capacitor aplicando el método de la transformada inversa.
  2. Estimar la media y la varianza de los tiempos generados y compararlas con los valores teóricos.
  3. Gracar el histograma de los tiempos de vida simulados junto con la densidad teórica de la distribución exponencial. d ) Calcular la probabilidad de que un capacitor dure menos de 940 horas usando la simulación.

Distribuciones

Solucion

1. caso

Fallas según un proceso de Poisson (λ = 3 fallas/día, 150 días) simular el número de fallas en 150 días y calcular media y desviación estándar.

set.seed(123)
# simular 150 días
fallas_por_dia <- rpois(150, lambda = 3)

# estadísticos por día
media_dia <- mean(fallas_por_dia)
sd_dia   <- sd(fallas_por_dia)

# total en 150 días
total_fallas <- sum(fallas_por_dia)

# imprimir
media_dia; sd_dia; total_fallas
## [1] 3
## [1] 1.658818
## [1] 450
Interpretación y validación

Espera que media_dia esté cerca de 3, la diferencia se debe a la variabilidad muestral. Un intervalo de confianza aproximado 95% para la media por día (2.723,3.277).

2. Caso

Vida útil ~ Exponencial (media = 500 h). Simular 1000 componentes y estimar p (x > 700) P(X>700) Exponencial con media =500 =500 horas => tasa 𝜆=1/500=0.002; λ=1/500=0.002.

set.seed(123)
n <- 1000
vida <- rexp(n, rate = 1/500)

# estimador Monte Carlo de la probabilidad
prob_mas700_sim <- mean(vida > 700)

# estadísticos resumen
mean(vida); sd(vida); prob_mas700_sim
## [1] 514.9896
## [1] 502.2022
## [1] 0.255

Interpretacion

Intervalo 95% aproximado para p: 0.2466 (0.2199,0.2733) 0.2466±1.96⋅0.01363⇒(0.2199,0.2733).

3. Caso

Productos defectuosos — Binomial (p = 0.05, lote de 50, 100 lotes) simular 100 lotes de 50 productos y calcular número promedio de defectuosos por lote.

set.seed(123)
lotes <- rbinom(100, size = 50, prob = 0.05)

# resumen
promedio_defectuosos <- mean(lotes)
sd_defectuosos <- sd(lotes)

promedio_defectuosos; sd_defectuosos
## [1] 2.48
## [1] 1.445858
table(lotes)        # frecuencia de 0,1,2,...
## lotes
##  0  1  2  3  4  5  6  7 
##  5 23 27 21 16  5  2  1
barplot(table(lotes), main="Distribución de defectuosos por lote")

Validación exacta (prob. de k defectos)

Para prob. exacta de encontrar exactamente k defectuosos en un lote:

dbinom(100, size=50, prob=0.05)
## [1] 0

4. Caso

Demanda diaria ~ Normal(μ=100 MW, σ=15 MW), 365 días. Calcular p(X>130) P(X>130) y hacer histograma.

set.seed(123)
demanda <- rnorm(365, mean = 100, sd = 15)

# simulada
prob_sup130_sim <- mean(demanda > 130)

# histograma 
hist(demanda, breaks = 20, probability = TRUE,
     main = "Demanda diaria de energía (MW)", xlab = "MW")
curve(dnorm(x, mean = 100, sd = 15), add = TRUE, lwd = 2)

# exacta
pnorm(130, mean = 100, sd = 15, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.02275013

El tamaño (365) no es enorme para estimar eventos raros; la CI será relativamente ancha proporcionalmente.

5. Caso

Capacitor — Exponencial con parámetro β = 1000 (media = 1000 h)

a) Generar 1000 tiempos de vida del capacitor aplicando el método de la transformada inversa.
set.seed(123)
n <- 1000
u <- runif(n)
vida_cap <- -1000 * log(u)
b) Estimar media y varianza y comparar con teóricos
mean_sim <- mean(vida_cap)
var_sim  <- var(vida_cap)
mean_sim; var_sim
## [1] 1006.354
## [1] 1015991

Interpretación: los valores simulados deberían acercarse a los teóricos; la diferencia es debida a la variabilidad de la muestra (n=1000).

c) Histograma con densidad teórica
hist(vida_cap, breaks = 30, probability = TRUE,
     main = "Vida útil simulada (capacitores)")

# densidad teórica exponencial con rate = 1/1000
curve(dexp(x, rate = 1/1000), add = TRUE, lwd = 2)

d) Prob. que dure menos de 940 h (por simulación y teórica)
prob_menos940_sim <- mean(vida_cap < 940)
prob_menos940_sim
## [1] 0.605