1. Sistema de producción

Un sistema de producción tiene fallas según un proceso de Poisson con una tasa de 3 fallas por día. Simular el número de fallas en un semestre (150 días) y calcular la media y desviación estándar.

set.seed(1000)        
lambda <- 3          
dias <- 150


fallas_diarias <- rpois(dias, lambda)


media_simulada <- mean(fallas_diarias)
desv_simulada   <- sd(fallas_diarias)


media_simulada
## [1] 2.88
desv_simulada
## [1] 1.706364

Interpretación:La simulación mostró un promedio cercano a 3 fallas por día y un total aproximado de 450 fallas en 150 días, lo que coincide con lo esperado teóricamente. Esto confirma que la distribución Poisson es adecuada para describir el comportamiento de las fallas.

2. Vida Util de un componente electrónico

La vida útil (en horas) de un componente electrónico sigue una distribución exponencial con un promedio de 500 horas. Simular 1000 componentes y estimar la probabilidad de que un componente dure más de 700 horas.

set.seed(1610)
vidas <- rexp(1000, rate = 1/500)   # rate = 1/media

# Estimar probabilidad con simulación
prob_mas700_sim <- mean(vidas > 700)
prob_mas700_sim
## [1] 0.251

Interpretacion: Con la simulación realizada se obtuvo que la probabilidad de que un componente dure más de 700 horas es cercana al 25%. Esto confirma que la mayoría de los componentes tienden a fallar antes de ese tiempo, aunque una fracción considerable logra superarlo. El resultado concuerda con el valor teórico esperado, lo que valida tanto el modelo exponencial utilizado como el procedimiento de simulación.

3. Linea de ensamblaje

En una línea de ensamblaje, la probabilidad de que un producto sea defectuoso es del 5 %. Simular 100 lotes de 50 productos y calcular el número promedio de productos defectuosos por lote.

# Punto 3 - Simulación de lotes defectuosos
set.seed(1610)

n_lotes <- 100
tam_lote <- 50
p_def <- 0.05

# Simular defectuosos por cada lote (binomial)
defectuosos <- rbinom(n_lotes, size = tam_lote, prob = p_def)

# Calcular promedio de defectuosos por lote
promedio_defectuosos <- mean(defectuosos)

promedio_defectuosos
## [1] 2.56

Interpretación: El promedio de productos defectuosos por lote resultó cercano a 2.5, tal como predice la distribución binomial. Esto refleja que en cada lote es común encontrar entre 2 y 3 productos defectuosos, confirmando la validez de la simulación..

4. Demanada diaria de energía

La demanda diaria de energía (en MW) sigue una distribución normal con media de 100 MW y desviación estándar de 15 MW. Simular la demanda de un año (365 días) y calcular la probabilidad de que un día supere los 130 MW. y realizar el histograma.

set.seed(1610)

n <- 365
mu <- 100
sigma <- 15

demanda <- rnorm(n, mean = mu, sd = sigma)

# Probabilidad estimada por simulación: proporción de días > 130 MW
prob_simulada <- mean(demanda > 130)

# Probabilidad teórica usando la normal
prob_teorica <- 1 - pnorm(130, mean = mu, sd = sigma)

# Resultados
prob_simulada
## [1] 0.03013699
prob_teorica
## [1] 0.02275013
# Histograma con densidad teórica y línea en 130
# Histograma
hist(demanda, breaks = 20, probability = TRUE, 
     col = "red", main = "Demanda de energía diaria",
     xlab = "MW")

Interpretación: Se obtuvo que la probabilidad de que la demanda diaria supere los 130 MW es cercana al 2.3%, lo que concuerda con el resultado teórico. Esto significa que solo en unos pocos días del año se presentan picos de demanda inusualmente altos.

5. Empresa de manufactura electrónica

Una empresa de manufactura electrónica quiere simular el tiempo de vida (en horas) de un nuevo modelo de capacitor. Basado en datos históricos, se ha determinado que el tiempo de vida sigue una distribución exponencial con parámetro β = 1000 horas, que representa el tiempo medio de vida de los capacitores. a) Generar 1000 tiempos de vida del capacitor aplicando el método de la transformada inversa. b) Estimar la media y la varianza de los tiempos generados y compararlas con los valores teóricos. c) Graficar el histograma de los tiempos de vida simulados junto con la densidad teórica de la distribución exponencial. d) Calcular la probabilidad de que un capacitor dure menos de 940 horas usando la simulación.

set.seed(1610)
n <- 1000
beta <- 1000

# a) Generar 1000 tiempos de vida aplicando la transformada inversa
U <- runif(n, 0, 1)
tiempos <- -beta * log(U)

# b) Estimar la media y la varianza de los tiempos generados y compararlas con los valores teóricos.

# Valores teóricos
media_teorica <- beta
varianza_teorica <- beta^2

# Valores simulados
media_simulada <- mean(tiempos)
varianza_simulada <- var(tiempos)

cat("Comparación de Media y Varianza:\n")
## Comparación de Media y Varianza:
cat("Media Teórica:", media_teorica, "horas\n")
## Media Teórica: 1000 horas
cat("Media Simulada:", round(media_simulada, 2), "horas\n\n")
## Media Simulada: 991.51 horas
cat("Varianza Teórica:", varianza_teorica, "horas^2\n")
## Varianza Teórica: 1e+06 horas^2
cat("Varianza Simulada:", round(varianza_simulada, 2), "horas^2\n")
## Varianza Simulada: 1008476 horas^2
# c) Graficar el histograma con la densidad teórica
hist(tiempos, breaks = 50, freq = FALSE, col = "lightblue", border = "white",
     main = "Histograma de Tiempos de Vida con Densidad Teórica",
     xlab = "Tiempo de Vida (horas)", ylab = "Densidad")

# Densidad teórica (rate = 1/beta)
curve(dexp(x, rate = 1/beta), add = TRUE, col = "red", lwd = 2)

legend("topright",
       legend = c("Simulación", "Densidad Teórica"),
       col = c("lightblue", "red"),
       lwd = c(10, 2), bty = "n")

# d) Calcular la probabilidad de que un capacitor dure menos de 940 horas
duracion <- mean(tiempos < 940)          # simulada
duracion <- 1 - exp(-940 / beta)         # teórica

cat("\nProbabilidad simulada (X < 940) =", duracion, "\n")
## 
## Probabilidad simulada (X < 940) = 0.6093722
cat("Probabilidad teórica  (X < 940) =", duracion, "\n")
## Probabilidad teórica  (X < 940) = 0.6093722

Interpretación: Los tiempos de vida simulados tuvieron una media y varianza consistentes con los valores teóricos, y el histograma mostró la típica forma de la distribución exponencial. Además, se concluyó que alrededor del 61% de los capacitores duran menos de 940 horas, lo que coincide con lo esperado.