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library(ggplot2)

Introducción

El presente taller tiene como propósito aplicar técnicas de simulación de variables aleatorias utilizando R Studio. Se trabajarán distribuciones de probabilidad clásicas como: Poison, Exponencial, Binomial, Normal, aplicadas a contextos de producción, confiabilidad y demanda energética.

El documento se organiza en cinco ejercicios, cada uno con su planteamiento, simulación y análisis, complementados con gráficos realizados mediante la librería ggplot2.

  1. Proceso de Fallas en un Sistema de Producción
    Un sistema de producción tiene fallas según un proceso de Poisson con una tasa de 3 fallas por día. Simular el número de fallas en un semestre (150 días) y calcular la media y desviación estándar.

La Distribución Poisson es adecuada para modelar eventos discretos en un intervalo de tiempo, como las fallas diarias de un sistema.

set.seed(123)
fallas <- rpois(150, lambda = 3) # Simulación de 150 días con media de 3 fallas
mean_fallas <- mean(fallas) # Cálculo de la media
sd_fallas <- sd(fallas) # Cálculo de la desviación estándar

mean_fallas
## [1] 3
sd_fallas
## [1] 1.658818

Análisis
El resultado obtenido muestra un media cercana a 3, lo que valida el supuesto del modelo. La desviación estándar refleja la variabilidad en el número de fallas diarias.

  1. Vida útil de un Componente Electrónico La vida útil (en horas) de un componente electrónico sigue una distribución exponencial con un promedio de 500 horas. Simular 1000 componentes y estimar la probabilidad de que un componente dure más de 700 horas.

La Distribución Exponencial se emplea comúnmente para modelar tiempos de vida o de espera.

set.seed(123) # Semilla para obtener siempre el mismo resultado
vida <- rexp(1000, rate = 1/500) # Simulación de 1000 tiempos de vida con media 500
prob_mas700 <- mean(vida > 700) # Estimar probabilidad de durar más de 700 horas

prob_mas700
## [1] 0.255

Análisis
La probabilidad obtenida se aproxima al valor teórico P(X > 700) = e^-700/500. Esto confirma la validez de la simulación y su utilidad para estimar confiabilidad de componentes.

  1. Productos defectuosos en una Línea de Emsablaje
    La vida útil (en horas) de un componente electrónico sigue una distribución exponencial con un promedio de 500 horas. Simular 1000 componentes y estimar la probabilidad de que un componente dure más de 700 horas.

La Distribución Binomial permite modelar el número de éxitos (defectuosos) en un número de fijo de ensayos (productos).

set.seed(123) # Semilla
defectuosos <- rbinom(100, size = 50, prob = 0.05) # 100 lotes de 50 productos
mean_defectuosos <- mean(defectuosos) # Promedio de defectuosos por lote

mean_defectuosos
## [1] 2.48

Análisis
El promedio de defectuosos por lote se acerca al valor esperado 50 x 0.05 = 2.5. Esto evidencia la consistencia del modelo binomial para este tipo de procesos industriales.

  1. Demanda Diaria de Energía
    La demanda diaria de energía (en MW) sigue una distribución normal con media de 100 MW y desviación estándar de 15 MW. Simular la demanda de un año (365 días) y calcular la probabilidad de que un día supere los 130 MW. y realizar el histograma.

La Distribución Normal modela adecuadamente variables continuas con fluctuaciones alrededor de una media.

set.seed(123) # Semilla
demanda <- rnorm(365, mean = 100, sd = 15) # Simulación de 365 días
prob_mas130 <- mean(demanda > 130) # Probabilidad de superar 130 MW

prob_mas130
## [1] 0.03013699
# Creación del data frame para graficar
df_demanda <- data.frame(demanda)

# Histograma + Curva de Densidad
ggplot(df_demanda, aes(x = demanda)) +
  geom_histogram(aes(y = ..density..), bins = 30, fill = "steelblue", color = "black", alpha = 0.7) +
  geom_density(color = "red", size = 1) +
  geom_vline(xintercept = 130, linetype = "dashed", color = "darkgreen") +
  labs(title = "Histograma de la Demanda Diaria (MW)",
       x = "Demanda (MW)", y = "Densidad")

Análisis
El histograma confirma la forma de campana característica de la normal. La probabilidad de superar los 130 MW es baja, lo cual concuerda con que dicho valor está más de 2 desviaciones estándar por encima de la media.

  1. Tiempo de Vida de Capacitadores Electrónicos Una empresa de manufactura electrónica quiere simular el tiempo de vida (en horas) de un nuevo modelo de capacitor. Basado en datos históricos, se ha determinado que el tiempo de vida sigue una distribución exponencial con parámetro β = 1000 horas, que representa el tiempo medio de vida de los capacitores.

a) Generar 1000 tiempos de vida del capacitor aplicando el método de la transformada inversa. X = −β⋅ln(1−U), U∼U(0,1)

set.seed(123) # Semilla
n <- 1000 # Número de Simulaciones
beta <- 1000 # Parámetro de la Distribución Exponencial
U <- runif(n)
vida_cap <- -beta * log(1 - U)

b) Estimar la media y la varianza de los tiempos generados y compararlas con los valores teóricos.

Valores Teóricos
E|X| = β = 1000, Var[X] = β^2 = 1000000

media_sim <- mean(vida_cap) # Media simulada
var_sim <- var(vida_cap) # Varianza simulada

media_sim
## [1] 986.1544
var_sim
## [1] 954966.2

Los valores simulados se aproximan a los teóricos, validando la simulación.

c) Graficar el histograma de los tiempos de vida simulados junto con la densidad teórica de la distribución exponencial.

df_vida <- data.frame(vida_cap)
ggplot(df_vida, aes(x = vida_cap)) +
  geom_histogram(aes(y = ..density..), bins = 30, fill = "orange", color = "black", alpha = 0.7) +
  stat_function(fun = dexp, args = list(rate = 1/beta), color = "blue", size = 1) +
  labs(title = "Tiempo de Vida de Capacitores",
       x = "Tiempo de vida (horas)", y = "Densidad")

Los Valores simulados se aproximan a los teóricos, validando la simulación.

d) Calcular la probabilidad de que un capacitor dure menos de 940 horas usando la simulación.

prob_menos940 <- mean(vida_cap < 940) # Probabilidad Simulada
prob_menos940
## [1] 0.611

El resultado simulado concuerda con el cálculo teórico P(X < 940) = 1 -e ^-940/1000. Esto permite estimar la confiabilidad de los capacitadores en la práctica.

Conclusión

El desarrollo de este taller permitió aplicar de manera práctica los conceptos de simulación de variables aleatorias en R, empleando diferentes distribuciones de probabilidad que modelan fenómenos comunes en ingeniería y procesos industriales. La simulación de fallas, tiempos de vida, productos defectuosos y demandas energéticas mostró cómo estos modelos permiten describir con realismo situaciones de incertidumbre y variabilidad.

Los resultados obtenidos reflejaron una estrecha coherencia con los valores teóricos, lo cual evidencia la validez de los métodos utilizados y la importancia de contrastar los datos simulados con los parámetros esperados. Asimismo, el uso de herramientas de visualización como ggplot2 facilitó la interpretación gráfica de los escenarios, fortaleciendo la comprensión y el análisis crítico de los procesos estudiados.

Esta práctica no solamente aportó a la consolidación de conocimientos teóricos, sino que también permitió ejercitar habilidades de análisis y validación, esenciales para anticipar el comportamiento de sistemas reales y tomar decisiones fundamentadas en contextos de ingeniería.