Ejercicio 1 – Proceso de Poisson

Un sistema de producción tiene fallas según un proceso de Poisson con una tasa de 3 fallas por día. Se simula el número de fallas en un semestre (150 días) y se calcula la media y desviación estándar.

set.seed(2101)

# Simulación de 150 días de fallas
fallas_semestre <- rpois(150, lambda = 3)

# Cálculo de medidas estadísticas
media_fallas <- mean(fallas_semestre)
desv_fallas  <- sd(fallas_semestre)

# Resultados
media_fallas
## [1] 3.066667
desv_fallas
## [1] 1.681589

Conclusión: Al realizar la simulación de 150 días con una tasa de 3 fallas por día se obtuvo una media de 3.07 fallas y una desviación estándar de 1.68. Estos valores son muy cercanos a los teóricos, donde la media esperada es 3 y la desviación estándar debería ser aproximadamente √3 ≈ 1.73. Esto confirma que la simulación refleja de manera bastante coherenre el comportamiento esperado de un proceso de Poisson.

Ejercicio 2 – Distribución Exponencial

La vida útil (en horas) de un componente electrónico sigue una distribución exponencial con un promedio de 500 horas. Simular 1000 componentes y estimar la probabilidad de que un componente dure más de 700 horas.

set.seed(2101)
vida_util <- rexp(1000, rate = 1/500)
prob <- mean(vida_util > 700)

# Resultados:
prob
## [1] 0.237

Conclusión: Después de simular la vida útil de 1000 componentes se encontró que la probabilidad de que un dispositivo dure más de 700 horas es aproximadamente 0.237, es decir, un 23.7 %. Esto significa que aunque el tiempo promedio de funcionamiento es de 500 horas, una parte de los componentes logra superar ampliamente ese valor.

Ejercicio 3 – Distribución Binomial

En una línea de ensamblaje, la probabilidad de que un producto sea defectuoso es del 5 %. Simular 100 lotes de 50 productos y calcular el número promedio de productos defectuosos por lote.

set.seed(2101)
defectuosos <- rbinom(100,50,0.05)
produc_defectuosos <- mean(defectuosos)

# Resultados:
produc_defectuosos
## [1] 2.71

Conclusión: La simulación de 100 lotes de 50 productos mostró que en promedio aparecen alrededor de 2.71 productos defectuosos por lote. Este valor está muy cercano al esperado teórico, la pequeña diferencia se debe a la variabilidad propia de la simulación, pero confirma que el modelo binomial describe adecuadamente el proceso. Bajo estas condiciones de producción, se puede anticipar que en cada lote habrá entre 2 y 3 artículos defectuosos.

Ejercicio 4 – Distribución Normal

La demanda diaria de energía (en MW) sigue una distribución normal con media de 100 MW y desviación estándar de 15 MW.Se simula la demanda de un año (365 días) y se calcula la probabilidad de que un día supere los 130 MW. También se grafica el histograma.

set.seed(2101)
#Formula: rnorm(365(días), mean = 100 (medía), sd = 15(desviación estandar))
demanda <- rnorm(365, mean = 100, sd = 15)
probabilidad <- mean(demanda > 130)

# Resultados:
probabilidad
## [1] 0.02191781
# Histograma
hist(demanda, col = "skyblue", main = "Demanda de Energía (MW)", xlab = "MW")
abline(v = 130, col = "red")

Conclusión: La simulación de la demanda de energía durante 365 días mostró que la probabilidad de que un día supere los 130 MW es de aproximadamente 2.2 %, esto significa que aunque la media diaria es de 100 MW solo en unos pocos días al año se presentan consumos tan altos.

Ejercicio 5 – Método Exponencial

Una empresa de manufactura electrónica quiere simular el tiempo de vida (en horas) de un nuevo modelo de capacitor. Basado en datos históricos, se ha determinado que el tiempo de vida sigue una distribución exponencial con parámetro β = 1000 horas, que representa el tiempo medio de vida de los capacitores.

set.seed(2101)
#Generar 1000 tiempos de vida del capacitor aplicando el método de la transformada inversa.
n <- 1000
beta <- 1000
U <- runif(n)
vida_capacitor <- -beta * log(1 - U)

#Estimar la media y la varianza de los tiempos generados y compararlas con los valores teóricos
media <- mean(vida_capacitor)
varianza <- var(vida_capacitor)

media_teorica <- beta
varianza_teorica <- beta^2

media
## [1] 986.0596
varianza
## [1] 891919.8
media_teorica
## [1] 1000
varianza_teorica
## [1] 1e+06
# Graficar el histograma de los tiempos de vida simulados junto con la densidad teórica de la distribución exponencial
hist(vida_capacitor, probability = TRUE, col = "lightgreen", main = "Tiempos de vida simulados")
curve(dexp(x, rate = 1/beta), add = TRUE, col = "red", lwd = 2)

# Calcular la probabilidad de que un capacitor dure menos de 940 horas usando la simulación.
probabilidad <- mean(vida_capacitor < 940)
probabilidad
## [1] 0.61

Conclusión: La simulación mostró resultados muy cercanos a los valores teóricos. La media obtenida (986 horas) y la varianza (≈892,000) se aproximaron bastante a los valores esperados de 1000 horas y 1,000,000. El histograma, junto con la curva teórica superpuesta demuestra la forma exponencial donde la mayoría de capacitores presentan duraciones cortas y solo algunos alcanzan tiempos muy altos. Finalmente, la probabilidad de que un capacitor dure menos de 940 horas fue de un 61 %, lo que indica que más de la mitad de los dispositivos podrían fallar antes de alcanzar esa marca.