library(flextable)
library(dplyr)
library(MASS)
library(ggplot2)
library(stats)

Punto 3.5 Suponga que \(X\) y \(Y\) tienen la siguiente distribución de probabilidad conjunta:

tabla1 <- data.frame(
  Y = c("y=1", "y=3", "y=5", "Sum"),
  x_2 = c(0.10, 0.20, 0.10, 0.40),
  x_4 = c(0.15, 0.30, 0.15, 0.60),
  Sum = c(0.25, 0.50, 0.25, 1.00)
)

flextable(tabla1)

Y

x_2

x_4

Sum

y=1

0.1

0.15

0.25

y=3

0.2

0.30

0.50

y=5

0.1

0.15

0.25

Sum

0.4

0.60

1.00

  1. Calcule la distribución marginal de \(X\).
marginal_X2 <- sum(0.1,0.2,0.1)
cat("La distribucion marginal cuando x=2 es", marginal_X2)
## La distribucion marginal cuando x=2 es 0.4
marginal_X4 <- sum(0.15,0.30,0.15)
cat("La distribucion marginal cuando x=4 es", marginal_X4)
## La distribucion marginal cuando x=4 es 0.6
  1. Calcule la distribución marginal de \(Y\).
marginal_Y1 <- sum(0.10,0.15)
cat("La distribucion marginal cuando y=1 es", marginal_Y1)
## La distribucion marginal cuando y=1 es 0.25
marginal_Y3 <- sum(0.20,0.30)
cat("La distribucion marginal cuando y=3 es", marginal_Y3)
## La distribucion marginal cuando y=3 es 0.5
marginal_Y5 <- sum(0.10,0.15)
cat("La distribucion marginal cuando y=5 es", marginal_Y5)
## La distribucion marginal cuando y=5 es 0.25

Punto 3.6 La función de densidad de probabilidad conjunta de las variables aleatorias \(X\), \(Y\) y \(Z\) es

\[ f(x,y,z) = \begin{cases} \dfrac{4xyz^2}{9}, & 0 < x,y < 1,\; 0 < z < 3, \\[6pt] 0, & \text{en otro caso.} \end{cases} \] a) la función de densidad marginal conjunta de \(Y\) y \(Z\);

f_xyz <- function(x, y, z) {
  ifelse(x > 0 & x < 1 & y > 0 & y < 1 & z > 0 & z < 3,
         (4 * x * y * z^2) / 9,
         0)
}
func_yz <- function(y, z) {
  integrate(function(x) f_xyz(x, y, z), lower = 0, upper = 1)$value
}

func_yz
## function (y, z) 
## {
##     integrate(function(x) f_xyz(x, y, z), lower = 0, upper = 1)$value
## }
  1. la densidad marginal de \(Y\)
f_Y <- function(y) {
  ifelse(y > 0 & y < 1, 2*y, 0)
}

f_Y
## function (y) 
## {
##     ifelse(y > 0 & y < 1, 2 * y, 0)
## }

\[ c)\; P\!\left(\tfrac{1}{4} < X < \tfrac{1}{2},\; Y > \tfrac{1}{3},\; 1 < Z < 2\right) \]

# Densidad conjunta
f_xyz <- function(x, y, z) {
  ifelse(x > 0 & x < 1 & y > 0 & y < 1 & z > 0 & z < 3,
         (4 * x * y * z^2) / 9,
         0)
}

# Integral en z
f_int_z <- function(x, y) {
  sapply(y, function(yy) {
    integrate(function(z) f_xyz(x, yy, z), lower = 1, upper = 2)$value
  })
}

# Integral en y
f_int_y <- function(x) {
  sapply(x, function(xx) {
    integrate(function(y) f_int_z(xx, y), lower = 1/3, upper = 1)$value
  })
}

# Integral en x
P <- integrate(function(x) f_int_y(x), lower = 1/4, upper = 1/2)$value
P
## [1] 0.04320988

\[ d)\; P\!\left(0 < X < \tfrac{1}{2}\;\middle|\; Y = \tfrac{1}{4},\; Z = 2\right) \]

# Definimos la densidad condicional f_{X|Y,Z}(x|y,z)
f_X_cond <- function(x) {
  ifelse(x > 0 & x < 1, 2*x, 0)
}

# Integramos entre 0 y 0.5
res <- integrate(f_X_cond, lower = 0, upper = 0.5)$value
res
## [1] 0.25

Punto 3.7 a) \[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{10}, & x = 1,2,3,\ldots,10, \\[6pt] 0, & \text{en cualquier otro caso}. \end{cases} \] b)

x <- 1:10
p <- rep(1/10, 10)
F_x <- cumsum(p)   # mismo largo que x
plot(stepfun(x, c(0, F_x)), col="blue", lwd=2,
     main="Función de Distribución Acumulada de X",
     xlab="x", ylab="F(x)", ylim=c(0,1))
grid()

Punto 3.9

La proporción de personas que responden a cierta encuesta enviada por correo es una variable aleatoria continua \(X\) que tiene la siguiente función de densidad:

\[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{2(x+2)}{5}, & 0 < x < 1, \\[6pt] 0, & \text{en otro caso.} \end{cases} \]

  1. Demuestre que:

\[ a)\; P\!\left(0 < X < 1\right) = 1 \]

# Definir la función de densidad
f <- function(x) ifelse(x > 0 & x < 1, 2*(x+2)/5, 0)

# Calcular la integral en (0,1)
resultado_a <- integrate(f, lower = 0, upper = 1)
resultado_a$value   # debería dar 1
## [1] 1
  1. Calcule la probabilidad de que más de 1/4 pero menos de 1/2 de las personas contactadas respondan a este tipo de encuesta.
# Usando la misma función f(x)
resultado_b <- integrate(f, lower = 1/4, upper = 1/2)
resultado_b$value   # debería dar 0.2375 (19/80)
## [1] 0.2375

Punto 3.12

Una empresa de inversiones ofrece a sus clientes bonos municipales que vencen después de varios años.
Dado que la función de distribución acumulativa de \(T\), el número de años para el vencimiento de un bono que se elige al azar, es:

\[ F(t) = \begin{cases} 0, & t < 1 \\ \frac{1}{4}, & 1 \leq t < 3 \\ \frac{1}{2}, & 3 \leq t < 5 \\ \frac{3}{4}, & 5 \leq t < 7 \\ 1, & t \geq 7 \\ \end{cases} \]

Se pide calcular:

  1. \(P(T = 5)\)
  2. \(P(T > 3)\)
  3. \(P(1.4 < T < 6)\)
  4. \(P(T \leq 5 \mid T \geq 2)\)

Solución en R

# Definimos la función de distribución acumulada F(t)
F <- function(t) {
  if (t < 1) return(0)
  else if (t < 3) return(1/4)
  else if (t < 5) return(1/2)
  else if (t < 7) return(3/4)
  else return(1)
}

a) \(P(T = 5)\)

Sabemos que: \[ P(T = 5) = F(5) - \lim_{t \to 5^-} F(t) \]

  • \(F(5) = 0.75\)
  • \(F(5^-) = 0.5\)

Entonces: \[ P(T = 5) = 0.75 - 0.5 = 0.25 \]

p_a <- F(5) - F(4.999)
p_a
## [1] 0.25

b) \(P(T > 3)\)

\[ P(T > 3) = 1 - F(3) \]

  • \(F(3) = 0.5\)
  • \(P(T > 3) = 1 - 0.5 = 0.5\)
p_b <- 1 - F(3)
p_b
## [1] 0.5

c) \(P(1.4 < T < 6)\)

\[ P(1.4 < T < 6) = F(6) - F(1.4) \]

  • \(F(6) = 0.75\)
  • \(F(1.4) = 0.25\)
  • \(P(1.4 < T < 6) = 0.75 - 0.25 = 0.5\)
p_c <- F(6) - F(1.4)
p_c
## [1] 0.5

d) \(P(T \leq 5 \mid T \geq 2)\)

\[ P(T \leq 5 \mid T \geq 2) = \frac{P(2 \leq T \leq 5)}{P(T \geq 2)} \]

Numerador: \[ P(2 \leq T \leq 5) = F(5) - F(2) = 0.75 - 0.25 = 0.5 \]

Denominador: \[ P(T \geq 2) = 1 - F(2) = 1 - 0.25 = 0.75 \]

Entonces: \[ P(T \leq 5 \mid T \geq 2) = \frac{0.5}{0.75} = 0.6667 \]

p_d_num <- F(5) - F(2)
p_d_den <- 1 - F(2)
p_d <- p_d_num / p_d_den
p_d
## [1] 0.6666667

Resultados Finales

cat("a) P(T = 5):", p_a, "\n")
## a) P(T = 5): 0.25
cat("b) P(T > 3):", p_b, "\n")
## b) P(T > 3): 0.5
cat("c) P(1.4 < T < 6):", p_c, "\n")
## c) P(1.4 < T < 6): 0.5
cat("d) P(T ≤ 5 | T ≥ 2):", p_d, "\n")
## d) P(T ≤ 5 | T ≥ 2): 0.6666667

Interpretación