1. Fallas en un sistema (Poisson, λ=3 fallas/día)

Un sistema de producción tiene fallas según un proceso de Poisson con una tasa de 3 fallas por día. Simular el número de fallas en un semestre (150 días) y calcular la media y desviación estándar.

set.seed(123) # para reproducibilidad
fallas <- rpois(150, lambda = 3)

# Media y desviación estándar simulada
media_fallas <- mean(fallas)
desv_fallas <- sd(fallas)

media_fallas
## [1] 3
desv_fallas
## [1] 1.658818

Interpretacion:La media y desviación estándar obtenidas en 150 días fueron muy cercanas a los valores teóricos (media = 3, desviación ≈ 1.73), lo que confirma que la simulación reproduce bien el comportamiento esperado.

2. Vida útil (Exponencial, media=500 horas)

La vida útil (en horas) de un componente electrónico sigue una distribución exponencial con un promedio de 500 horas. Simular 1000 componentes y estimar la probabilidad de que un componente dure más de 700 horas.

set.seed(123)
vidas <- rexp(1000, rate = 1/500)   # rate = 1/media

# Estimar probabilidad con simulación
prob_mas700_sim <- mean(vidas > 700)
prob_mas700_sim
## [1] 0.255

Interpretacion: La simulación muestra que aproximadamente el 25% de los componentes duran más de 700 horas. Esto significa que, en promedio, 1 de cada 4 componentes supera las 700 horas de vida útil, lo cual coincide con el valor esperado para una distribución exponencial con media de 500 horas.

3. Línea de ensamblaje (Binomial)

En una línea de ensamblaje, la probabilidad de que un producto sea defectuoso es del 5%. Simular 100 lotes de 50 productos y calcular el número promedio de productos defectuosos por lote

set.seed(123)
defectuosos <- rbinom(100, size = 50, prob = 0.05)

# Promedio de defectuosos por lote
media_defectuosos <- mean(defectuosos)

media_defectuosos
## [1] 2.48

Interpretacion: El promedio de productos defectuosos por lote fue cercano a 2.5, igual al valor teórico esperado (n·p = 2.5). Esto muestra que la simulación refleja correctamente el nivel de defectos en los lotes.

4. Demanda de energía (Normal)

La demanda diaria de energía (en MW) sigue una distribución normal con media de 100 MW y desviación estándar de 15 MW. Simular la demanda de un año (365 días) y calcular la probabilidad de que un día supere los 130 MW. y realizar el histograma.

set.seed(123)
n <- 365
demanda <- rnorm(n, mean = 100, sd = 15)

# Probabilidad empírica de que la demanda supere 130 MW
prob_mas130 <- mean(demanda > 130)
cat("Probabilidad estimada =", prob_mas130, "\n")
## Probabilidad estimada = 0.03013699
# Histograma 
hist(demanda, breaks = 20, probability = TRUE,
     col = "lightblue",
     main = "Demanda de energia diaria",
     xlab = "MW")

# Curva teórica
curve(dnorm(x, mean = 100, sd = 15), add = TRUE, col = "red", lwd = 2)

Interpretacion: La simulación indica que la probabilidad de que la demanda diaria supere los 130 MW es de aproximadamente 3%, lo que equivale a unos 11 días en un año en los que se espera que la demanda exceda ese nivel.

5. Tiempo de vida de capacitores (Exponencial β=1000)

Una empresa de manufactura electrónica quiere simular el tiempo de vida (en horas) de un nuevo modelo de capacitor. Basado en datos históricos, se ha determinado que el tiempo de vida sigue una distribución exponencial con parámetro β = 1000 horas, que representa el tiempo medio de vida de los capacitores. a) Generar 1000 tiempos de vida del capacitor aplicando el método de la transformada inversa. b) Estimar la media y la varianza de los tiempos generados y compararlas con los valores teóricos. c) Graficar el histograma de los tiempos de vida simulados junto con la densidad teórica de la distribución exponencial. d) Calcular la probabilidad de que un capacitor dure menos de 940 horas usando la simulación.

set.seed(123)  # Semilla para reproducibilidad
n <- 1000      # Número de simulaciones
beta <- 1000   # Media (parámetro β de la exponencial)


# a) Generar 1000 tiempos de vida usando transformada inversa


U <- runif(n)                   # Variables uniformes U ~ U(0,1)
tiempos <- -beta * log(U)       # Transformada inversa




# b) Estimar media y varianza de los tiempos simulados
#    y compararlas con los valores teóricos


media_sim <- mean(tiempos)      # Media simulada
var_sim <- var(tiempos)         # Varianza simulada

media_teo <- beta               # Media teórica
var_teo <- beta^2               # Varianza teórica

cat("Media simulada =", media_sim, "\n")
## Media simulada = 1006.354
cat("Media teórica  =", media_teo, "\n\n")
## Media teórica  = 1000
cat("Varianza simulada =", var_sim, "\n")
## Varianza simulada = 1015991
cat("Varianza teórica  =", var_teo, "\n\n")
## Varianza teórica  = 1e+06
# c) Graficar histograma de los tiempos simulados
#    junto con la densidad teórica exponencial

hist(tiempos, breaks = 30, probability = TRUE,
     col = "lightgreen", main = "Tiempos de vida simulados",
     xlab = "Horas")
curve(dexp(x, rate = 1/beta), add = TRUE, col = "red", lwd = 2)

# d) Calcular la probabilidad de que un capacitor
#    dure menos de 940 horas usando la simulación

prob_menos940_sim <- mean(tiempos < 940)            # Probabilidad simulada
prob_menos940_teo <- 1 - exp(-940/beta)             # Probabilidad teórica

cat("Probabilidad simulada (X < 940) =", prob_menos940_sim, "\n")
## Probabilidad simulada (X < 940) = 0.605
cat("Probabilidad teórica  (X < 940) =", prob_menos940_teo, "\n")
## Probabilidad teórica  (X < 940) = 0.6093722

interpretacion: La simulación confirma que los capacitores tienen una vida útil promedio cercana a 1000 horas y una alta variabilidad. Aproximadamente 6 de cada 10 capacitores duran menos de 940 horas, lo cual coincide con lo esperado para una distribución exponencial con media de 1000.