Tarea Enunciado 3.7 El número total de horas, medidas en unidades de 100 horas, que una familia utiliza una aspiradora en un periodo de un año es una variable aleatoria continua \(X\) que tiene la siguiente funcion de densidad:

$$

f(x) =

\[\begin{cases} x, & \text{si } 0 < x < 1, \\ 2-x, & \text{si } 1 \le x < 2, \\ 0, & \text{ en otro caso } \\ \end{cases}\]

$$ Calcule la probabilidad de que en un periodo de un año una familia utilice su aspiradora: a) Menos de 120 horas b) Entre 50 y 100 horas

120 horas = 1.2 unidades

50 horas = 0.5 unidades

100 horas = 1 unidad

# Definir la función de densidad
f <- function(x) {
  ifelse(x > 0 & x < 1, x,
         ifelse(x >= 1 & x < 2, 2 - x, 0))
}

# a) Probabilidad de que X < 1.2 (menos de 120 horas)
prob_a <- integrate(f, lower = 0, upper = 1.2)$value

# b) Probabilidad de que 0.5 < X < 1 (entre 50 y 100 horas)
prob_b <- integrate(f, lower = 0.5, upper = 1)$value

# Mostrar resultados
cat("a) P(X < 1.2) =", round(prob_a, 4), "\n")
## a) P(X < 1.2) = 0.68
cat("b) P(0.5 < X < 1) =", round(prob_b, 4), "\n")
## b) P(0.5 < X < 1) = 0.375
# Grafica
x_vals <- seq(0, 1, length.out = 200)
y_vals <- f(x_vals)

plot(x_vals, y_vals, type = "l", lwd = 2, col = "hotpink",
     main = "Función de densidad f(x) y probabilidad",
     xlab = "x", ylab = "f(x)")
polygon(c(0, x_vals, 1), c(0, y_vals, 0), col = rgb(0,0,1,0.2), border = NA)

## La primera gráfica muestra la función de densidad de probabilidad 𝑓(𝑥)=2(𝑥+2)5f(x)=52(x+2)definida en el intervalo 0 <𝑥<1 0<x<1. El área sombreada en azul representa la totalidad de la probabilidad bajo la curva, que es igual a 1. Esto confirma que la función está correctamente normalizada y que la variable aleatoria 𝑋X solo puede tomar valores entre 0 y 1.##

Enunciado 3.9

La proporción de personas que responden a cierta encuesta enviada por correo es una variable aleatoria continua X que tiene la siguiente función de densidad:

$$

f(x) =

\[\begin{cases} 2(x+2)/5, & \text{si } 0 < x < 1, \\ 0, & \text{ en otro caso } \\ \end{cases}\]

$$ a) Demuestre que P(0 < x< 1)=1 b)Calcule la probabilidad de que más de 1/4 pero menos de 1/2 de las personas contactadas respondan este tipo de encuesta

# Definir la función de densidad
f <- function(x) {
  ifelse(x > 0 & x < 1, 2*(x + 2)/5, 0)
}

# 1) Demostrar P(0 < X < 1)
norm_total <- integrate(f, lower = 0, upper = 1)$value

# 2) Probabilidad P(1/4 < X < 1/2)
prob_interval <- integrate(f, lower = 1/4, upper = 1/2)$value

# Mostrar resultados con formato
cat("1) Integral de 0 a 1 (debe ser 1):", norm_total, "\n")
## 1) Integral de 0 a 1 (debe ser 1): 1
cat("2) P(1/4 < X < 1/2) =", prob_interval, " (aprox.)\n")
## 2) P(1/4 < X < 1/2) = 0.2375  (aprox.)
cat("   En fracción exacta es 19/80 =", 19/80, "\n")
##    En fracción exacta es 19/80 = 0.2375
# Grafica
x_interval <- seq(0.25, 0.5, length.out = 200)
y_interval <- f(x_interval)

plot(x_vals, y_vals, type = "l", lwd = 2, col = "hotpink",
     main = "Área entre 1/4 y 1/2 bajo f(x)",
     xlab = "x", ylab = "f(x)")
polygon(c(0.25, x_interval, 0.5), c(0, y_interval, 0),
        col = rgb(1,0,0,0.3), border = NA)

## La segunda gráfica destaca en rojo el área bajo la curva de densidad entre𝑥=0.25 x=0.25 y 𝑥=0.5 x=0.5. Ese sombreado corresponde a la probabilidad de que la proporción de personas que respondan la encuesta esté entre el 25% y el 50%. El valor de esta área es aproximadamente 0.2375, es decir, existe un 23.75% de probabilidad de que la respuesta se ubique en ese rango.##