1. Acerca de la construcción de una carta de control

a) ¿Cuál es el objetivo de una carta de control?

El objetivo principal de una carta de control, según los principios vistos y estudiados por Walter Shewhart para el Control Estadístico de Procesos son dependiendo de la Fase del proceso las siguientes; en la Fase I, el objetivo es la estiamción de los parámetros y la comprensión del proceso. Durante la Fase II; el objetivo es monitorear de manera continua la (media o disperción) e ir observando la estabilidad de un proceso a lo largo del tiempo discriminando estadísticamente entre dos tipos de variación inherentes a cualquier proceso productivo. Tal como lo vimos en clase la variación atribuidas a causas Aleatorias o causas Asignables.

La distinción de estas causas de variación nos permite detectar desviaciones significativas de manera oportuna, facilitando la toma de decisiones correctivas para mantener la estabilidad y garantizar la calidad del proceso.

b) ¿Cuándo un proceso se encuentra bajo control estadístico?

Decimos que un proceso está bajo control estadístico, cuando una vez obtenida la recolección de datos para la muestra y la construcción de la carta de control (\(\bar{X}\) o \(\bar{R}\)), deducimos que los valores obtenidos, no sólo se establecen dentro de los límites establecidos (UCL y LCL) sino que se distribuyen aleatoriamente entorno a la línea central, sin exhibir patrones.

En otras palabras, el proceso el cual opera únicamente bajo causas de varaición aleatorias se le dice que está bajo control.

c) ¿Cuándo un proceso se encuentra fuera de control?

Un proceso está fuera de control cuando dicho proceso opera con causas de variación asiganbles, es decir; cuando el proceso opera bajo máquinas mal ajustadas o controladas, errores de operación con la materia prima, en general esto se manifiesta en la carta de control mediante dos tipos de señales:

  • Puntos fuera de los límites de control: Cuando uno o más puntos caen fuera de los límites de control superior (UCL) o inferior (LCL). Esto indica que la variación observada excede lo esperado por el efecto natural de las causas comunes (aleatorias).

  • Patrones no aleatorios dentro de los límites: Aunque todos los puntos estén dentro de los límites, si presentan comportamientos sistemáticos como; tendencias, cambios de nivel o acumulaciones de puntos cerca de los límites de control.

d) ¿A qué hace referencia la capacidad de un proceso?

La capacidad de un proceso hace referencia a que tan bien se ajusta el proceso a las precisiones o justificaciones de la empresa, institución u organismo estatal o privado que está a cargo del producto o servicio.

Además, bajo la definición; \(C_p=\frac{(USL-LSL)}{6\cdot\sigma}\), la cual mide la relación entre el rango de especificación y la variabilidad del proceso, nos permite determinar si el proceso puede producir artículos dentro de los límites de calidad esperado.

e) ¿Cuándo un proceso es capaz?

Con un indice de capacidad tal que; \(C_p=1\) o \(C_p>1\) se entiende que el proceso llevado a cabo es capaz. En otras palabras, el proceso es capaz en la medida en que logra cumplir con los requisitos de calidad establecidos, es decir, logra ajustarce a las precisiones solicitadas con valores iguales o superiores a los estándares aceptados (usualmente \(Cp ≥ 1.33\)).

f) Si el índice Cp=1.33 o Cp=1.66. ¿Cuántos artículos por millón no se ajustan a las especificaciones establecidas?

g) ¿Cómo se construye una carta de control?

Para la construcción de una carta de control se podrán seguir intuitivamente los sigeuintes pasos:

    1. Definimos nuestras muestras que nos den información sobre el proceso a estudiar. Por ejemplo, medición del diametro de 5 tubos cada hora en una línea de producción en un día. De este modo tenemos; el tamaño de cada muestra será de \(n=5\) y el total de muestras a usar será de \(m=24\).
    1. Calculamos los estadisticos de cada muestra. Dependiendo del tipo de carta: \[\bar{X} \quad \text{(promedios de las muestras)}\]

\[R \quad \text{(rangos de las muestras)}\]

\[S \quad \text{(desviaciones estándar de las muestras)}\]

    1. Calcular valores globales. Tales como el Promedio general de los promedios; \(\bar{\bar{X}}\). O el Promedio general de los rangos; \(\bar{R}\). Este cálculo nos permitira tener el valor de la linea central, CL, del gráfico de control.
    1. Determinar y calcular limites de control. UCL y LCL. Usando factores tabulados según el tamaño de muestra \(n\):

Para la carta de medias (\(\bar{X}\)):

\[ UCL = \bar{\bar{X}} + A_2 \, \bar{R}, \quad LCL = \bar{\bar{X}} - A_2 \, \bar{R} \]

Para la carta de rangos (\(R\)):

\[ UCL = D_4 \, \bar{R}, \quad LCL = D_3 \, \bar{R} \] Donde dependiendo del valor de \(n\), sabremos por el Apendice tabla IV del libro guía: Montgomery, D. C. (2020). Introduction to statistical quality control. John wiley & sons. los valores de: \[ A_2 = \frac{3}{d_2 \sqrt{n}}, \quad D_3 = 1 - 3 \frac{d_3}{d_2}, \quad D_4 = 1 + 3 \frac{d_3}{d_2} \]

    1. Graficar la información calculada en 2) y dibujar los valores encontrados en 3) y 4).

Para una mejor precisión, supongamos datos simulados de una distribución \(X \sim N(11.11, (0.9)\) de un proceso tal que se toma la medición del diametro de 5 tubos cada hora en una línea de producción en un día el cuál será nuestra caracteréstica de interés en el proceso. Tomando muestras tamaño \(n=5\) y con un total de \(m=20\) muestras, obtenemos la siguiente información:

\[ UCL = 11.45 \, \quad CL= 11.09, \quad LCL = 10.84 \]

tal que el gráfico de la Carta de Control \(\bar{X}\) con los datos y será:

    1. Analizar el gráfico obtenido.

El gráfico \(\bar{X}\) confirma que el proceso está bajo control estadístico, esto significa que el proceso es considerado estable; puesto que a lo largo de las 20 muestras analizadas, no se encuentran valores que sobrepasen los límites de control. Por otro lado, la variación que se observa en estas es la esperada en un sistema estable, aunque se presentan unas oscilaciones naturales en torno a la media que suponiendo no sugieren ni tendencias peligrosas ni patrones no aleatorios significativos.

2. Del libro de Montgomery, resuelva los siguientes ejercicios:

6.4, 6.25, 6.26, 6.27, 6.33, 6.35, 6.38, 6.39, 6.40.

7.9, 7.28, 7.32, 7.34, 7.35, 7.36, 7.39

8.2, 8.4. 8.11 y 8.39.

9.1-9.3, 9.6, 9.15 y 9.21.

3. Lea el artículo de Mandel(1969). Con base en esta lectura:

¿Cuál es el aporte del artículo con relación a las cartas Shewhart tradicionales?

El aporte central del artículo de Mandel (1969) frente a las cartas Shewhart tradicionales es la incorporación del análisis de regresión como herramienta de control, lo que permite que la línea central dependa de una o varias covariables y no sea fija.

Esto amplía la utilidad de las cartas de control, ya que mantiene el principio de “gestión por excepción” para identificar causas asignables, pero además posibilita pronosticar necesidades de recursos, ajustar estándares de desempeño y evaluar desviaciones frente a objetivos presupuestados. En síntesis, la carta de control de regresión conserva la lógica de las cartas Shewhart, pero ofrece mayor flexibilidad y aplicabilidad en procesos donde el rendimiento esperado varía con factores externos.

Construya un código en R o Phyton y replique el ejemplo presentado en el artículo.

## [1] 23
## [1] 23
## 
## Call:
## lm(formula = y_hist ~ x_hist)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -27.691 -14.000  -3.673  14.809  34.109 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  50.4394    59.4602   0.848    0.406    
## x_hist        3.3454     0.3401   9.836 2.59e-09 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 18.93 on 21 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8217, Adjusted R-squared:  0.8132 
## F-statistic: 96.75 on 1 and 21 DF,  p-value: 2.586e-09
## Coeficientes estimados:
## Intercepto a = 50.4394  (miles de horas)
## Pendiente b = 3.3454  (miles de horas por millón de piezas)
## Error estándar de estimación s_e = 18.93  (miles)