Punto 1

“La probabilidad de que un doctor diagnostique de manera correcta una enfermedad específica es 0.7. Dado que el doctor hace un diagnóstico incorrecto, la probabilidad de que el paciente entable una demanda legal es 0.9. ¿Cuál es la probabilidad de que el doctor haga un diagnóstico incorrecto y el paciente lo demande? Elabore el diagrama de árbol para resolver el problema.”

solucion

Planteamiento

La probabilidad de que un doctor diagnostique de manera correcta una enfermedad específica es: \[ P(C) = 0.7 \] Por lo tanto, la probabilidad de que el doctor diagnostique de manera incorrecta es: \[ P(I) = 1 - 0.7 = 0.3 \] Dado que el doctor hace un diagnóstico incorrecto, la probabilidad de que el paciente demande es: \[ P(D \mid I) = 0.9 \] Queremos calcular la probabilidad de que el doctor se equivoque y que el paciente demande: \[ P(I \cap D) = P(I) \cdot P(D \mid I) \]

# Probabilidades
p_correcto <- 0.7
p_incorrecto <- 1 - p_correcto
p_demanda_dado_incorrecto <- 0.9

# Probabilidad conjunta: Incorrecto y demanda
p_incorrecto_demanda <- p_incorrecto * p_demanda_dado_incorrecto
p_incorrecto_demanda
## [1] 0.27

LA RESPUESTA ES: La probabilidad de que el doctor se equivoque y el paciente demande es 0.27

Punto 2

La probabilidad de que un hombre casado vea cierto programa de televisión es 0.4 y la probabilidad de que lo vea una mujer casada es 0.5. La probabilidad de que un hombre vea el programa, dado que su esposa lo ve, es 0.7. Elabore una tabla y con base en esta tabla, calcule la probabilidad de que una esposa vea el programa dado que su esposo lo ve.

Tabla de Probabilidades

library(knitr)

# Probabilidades
p_h <- 0.4
p_m <- 0.5
p_h_dado_m <- 0.7

# Calcular las celdas de la tabla
p_m_h <- p_h_dado_m * p_m              # Mujer y Hombre
p_m_noh <- p_m - p_m_h                 # Mujer y NO Hombre
p_no_m_h <- p_h - p_m_h                # NO Mujer y Hombre
p_no_m_no_h <- 1 - (p_m_h + p_m_noh + p_no_m_h) # Ninguno

# Construir data frame
tabla <- data.frame(
  " " = c("Mujer ve ", "Mujer no ve ", "Total"),
  "Hombre ve " = c(p_m_h, p_no_m_h, p_h),
  "Hombre no ve" = c(p_m_noh, p_no_m_no_h, 1 - p_h),
  "Total" = c(p_m, 1 - p_m, 1)
)

# Mostrar tabla bonita
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidades conjuntas")
Tabla de probabilidades conjuntas
X. Hombre.ve. Hombre.no.ve Total
Mujer ve 0.35 0.15 0.5
Mujer no ve 0.05 0.45 0.5
Total 0.40 0.60 1.0
  • Probabilidad de que un hombre vea el programa: \[ P(H) = 0.4 \]
  • Probabilidad de que una mujer vea el programa:

\[ P(M) = 0.5 \]

  • Probabilidad de que el hombre lo vea dado que la mujer lo ve:

\[ P(H \mid M) = 0.7 \]

Queremos calcular:

\[ P(M \mid H) \]

Desarrollo

Regla de multiplicación:

\[ P(M \cap H) = P(H \mid M) \cdot P(M) \]

Aplicando valores:

\[ P(M \cap H) = 0.7 \cdot 0.5 = 0.35 \]

Usamos la Fórmula de probabilidad condicional:

\[ P(M \mid H) = \frac{P(M \cap H)}{P(H)} \]

\[ P(M \mid H) = \frac{0.35}{0.4} = 0.875 \]

LA RESPUESTA ES: probabilidad de que una esposa vea el programa dado que su esposo lo ve 0.875

Punto 3

Para parejas casadas que viven en cierto barrio, la probabilidad de que el esposo vote en las elecciones es 0.21, la probabilidad de que vote la esposa es 0.28 y la probabilidad de que ambos voten es 0.15. Calcule la probabilidad de que ninguno de los dos vote

Planteamiento

  • Probabilidad de que el esposo vote: \[ P(\text{Esposo vota}) = 0.21 \]

  • Probabilidad de que la esposa vote: \[ P(\text{Esposa vota}) = 0.28 \]

  • Probabilidad de que ambos voten: \[ P(\text{Esposo vota y Esposa vota}) = 0.15 \]

Queremos calcular: \[ P(\text{Esposo no vota y Esposa no vota}) \]

  1. Para “Esposa vota y Esposo no vota”: \[ P(\text{Esposa vota y Esposo no vota}) = P(\text{Esposa vota}) - P(\text{Ambos votan}) \]

  2. Para “Esposo vota y Esposa no vota”: \[ P(\text{Esposo vota y Esposa no vota}) = P(\text{Esposo vota}) - P(\text{Ambos votan}) \]

  3. Para “ninguno vota”: \[ P(\text{Esposo no vota y Esposa no vota}) = 1 - \big( P(\text{Ambos votan}) + P(\text{Esposa vota y Esposo no vota}) + P(\text{Esposo vota y Esposa no vota}) \big) \]

Desarrollo

# Datos
p_e <- 0.21      # P(Esposo vota)
p_m <- 0.28      # P(Esposa vota)
p_em <- 0.15     # P(Ambos votan)

# 1) Esposa vota y Esposo no vota
p_m_noe <- p_m - p_em
p_m_noe
## [1] 0.13
# 2) Esposo vota y Esposa no vota
p_e_nom <- p_e - p_em
p_e_nom
## [1] 0.06
# 3) Ninguno vota
p_none <- 1 - (p_em + p_m_noe + p_e_nom)
p_none
## [1] 0.66

LA RESPUESTA ES: 0.66

Punto 5

Suponga que tenemos un espacio muestral S constituido por la población de adultos de una pequeña ciudad que cumplen con los requisitos para obtener un título universitario. Se clasifican de acuerdo con su género y situación laboral. Los datos se presentan en la tabla adjunta. Si se elige un individuo al azar, cual es la probabilidad de que sea hombre o este desempleado. Elabore el dataframe para responder la pregunta

Resolviendo

library(knitr)

# Datos (conteos)
hombre_empleado <- 460
hombre_desempleado <- 40
mujer_empleado <- 140
mujer_desempleado <- 260

# Totales
total_hombres <- hombre_empleado + hombre_desempleado  # 500
total_mujeres <- mujer_empleado + mujer_desempleado    # 400
total_empleados <- hombre_empleado + mujer_empleado    # 600
total_desempleados <- hombre_desempleado + mujer_desempleado # 300
total_poblacion <- total_hombres + total_mujeres       # 900

# Probabilidades 
p_hombre <- total_hombres / total_poblacion           # P(Persona es hombre)
p_desempleado <- total_desempleados / total_poblacion # P(Persona está desempleada)
p_hombre_y_desempleado <- hombre_desempleado / total_poblacion # P(Hombre y Desempleado)

p_hombre
## [1] 0.5555556
p_desempleado
## [1] 0.3333333
p_hombre_y_desempleado
## [1] 0.04444444
# Data frame (tabla de frecuencias relativa)
tabla_df <- data.frame(
  " " = c("Hombre - Empleado", "Hombre - Desempleado", "Mujer - Empleado", "Mujer - Desempleado", "Total"),
  "Conteo" = c(hombre_empleado, hombre_desempleado, mujer_empleado, mujer_desempleado, total_poblacion),
  "Probabilidad" = c(hombre_empleado/total_poblacion, hombre_desempleado/total_poblacion,
                     mujer_empleado/total_poblacion, mujer_desempleado/total_poblacion, 1)
)

kable(tabla_df, digits = 4, caption = "Frecuencias absolutas y probabilidades relativas")
Frecuencias absolutas y probabilidades relativas
X. Conteo Probabilidad
Hombre - Empleado 460 0.5111
Hombre - Desempleado 40 0.0444
Mujer - Empleado 140 0.1556
Mujer - Desempleado 260 0.2889
Total 900 1.0000

Punto 6

En una asamblea de propietarios compuesta por 50 individuos se va a elegir a un presidente y a un tesorero. ¿Cuántas opciones diferentes de duplas son posibles si el propietario de la casa 25 y el de la 26 participarán juntos o no lo harán?

Desarrollo (razonamiento por casos)

Dividimos en 2 casos (mutuamente excluyentes) y sumamos:

Caso 1 — Ambos propietarios 25 y 26 participan (ocupan los dos puestos).
Los dos deben ser los elegidos; como los puestos son distintos (presidente y tesorero), hay \(2!\) formas de asignar esos dos a los dos puestos: \[ \text{formas caso 1} = 2 = P(2,2) = 2 \cdot 1 \]

Caso 2 — Ninguno de los dos participa.
Entonces los dos puestos se eligen entre las otras 48 personas (50 menos los dos propietarios). Como el orden importa: \[ \text{formas caso 2} = P(48,2) = 48 \cdot 47 = 2256 \]

Total = caso1 + caso2 = 2 + 2256 = 2258.

# Cálculos directos
n_total <- 50
# Caso 1: ambos 25 y 26 ocupan los puestos -> 2! = 2
caso1 <- 2

# Caso 2: ninguno de los dos -> elegir 2 puestos ordenados entre 48 personas
caso2 <- 48 * 47  # P(48,2)

total_opciones <- caso1 + caso2
caso1; caso2; total_opciones
## [1] 2
## [1] 2256
## [1] 2258

LA RESPUESTA ES: 2258