Contexto

En un centro de soporte técnico de una empresa de software, llegan solicitudes de usuarios que deben ser atendidas por ingenieros de sistemas.
Se quiere modelar el proceso de llegada y atención de solicitudes con distribuciones de probabilidad, y simular el sistema en R.

1. Llegadas de solicitudes (Poisson)

Suponga que, en promedio, llegan 5 solicitudes por hora al sistema.

set.seed(123)

# a) Generar 5000 valores aleatorios
solicitudes <- rpois(5000, lambda = 5)

# b) Resumen estadístico
mean(solicitudes)
## [1] 4.9732
summary(solicitudes)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   0.000   3.000   5.000   4.973   6.000  16.000
# c) Gráfico de barras
barplot(table(solicitudes)/length(solicitudes),
        col="lightblue",
        main="Distribución de llegadas (Poisson λ=5)",
        ylab="Frecuencia relativa",
        xlab="Solicitudes por hora")

# d) Probabilidad empírica de menos de 3 solicitudes
prob_menos3 <- mean(solicitudes < 3)
prob_menos3
## [1] 0.1248

Interpretación: La media está cercana a 5, lo cual valida el supuesto del problema. Aproximadamente el 12-13% de las horas presentan menos de 3 solicitudes.

  1. Tiempos entre llegadas (Exponencial) El tiempo entre llegadas de solicitudes sigue una distribución Exponencial con media 12 minutos.
# a) Generar 5000 tiempos
tiempos <- rexp(5000, rate = 1/12)

# b) Histograma
hist(tiempos, breaks=30, col="lightgreen", probability=TRUE,
     main="Tiempos entre llegadas (Exponencial media=12)",
     xlab="Minutos")
curve(dexp(x, rate=1/12), col="red", lwd=2, add=TRUE)

Interpretación: La mayoría de intervalos son cortos, aunque existen algunos intervalos largos, como es característico en la distribución exponencial.

  1. Duración de la atención (Normal) Cada ingeniero tarda en promedio 30 minutos en resolver un ticket, con una desviación estándar de 5 minutos.
# a) Simular 5000 atenciones
atenciones <- rnorm(5000, mean = 30, sd = 5)

# b) Histograma con curva normal teórica
hist(atenciones, breaks=30, col="lightblue", probability=TRUE,
     main="Duración de atención (Normal 30,5)",
     xlab="Minutos")
curve(dnorm(x, mean=30, sd=5), col="red", lwd=2, add=TRUE)

# c) Proporción de atenciones > 35 minutos
prop_supera35 <- mean(atenciones > 35)
prop_supera35
## [1] 0.1564

Interpretación: Aproximadamente un 16% de las atenciones superan los 35 minutos.

  1. Tickets escalados a segundo nivel (Binomial) Un 20% de los tickets requieren ser escalados a un nivel superior. Suponga que en una hora se reciben 10 tickets.
# a) Simulación de 1000 horas
escalados <- rbinom(1000, size = 10, prob = 0.2)

# b) Conteo de tickets escalados
table(escalados)
## escalados
##   0   1   2   3   4   5   6   8 
## 105 255 302 214  89  29   5   1
# c) Gráfico con barplot
barplot(table(escalados),
        col="orange",
        main="Tickets escalados a segundo nivel",
        xlab="Número de tickets escalados en 1 hora",
        ylab="Frecuencia")

Interpretación: En la mayoría de horas se escalan entre 1 y 3 tickets, lo que concuerda con la probabilidad del 20%.

Conclusiones Distribución Poisson: Modela el número de llegadas por hora y permite estimar escenarios con pocas solicitudes.

Distribución Exponencial: Representa los tiempos entre llegadas, mostrando que la mayoría ocurren en intervalos cortos.

Distribución Normal: Modela la duración de las atenciones, con media 30 minutos y un 16% de casos por encima de 35.

Distribución Binomial: Estima el número de tickets que se escalan, siendo en promedio 2 por hora.

👉 Cada distribución aporta una visión distinta del sistema de colas: conteos (Poisson), intervalos de tiempo (Exponencial), duraciones de servicio (Normal) y decisiones discretas (Binomial). Esto permite al centro de soporte planificar recursos humanos y optimizar la atención de los usuarios.