#Contexto

En un centro de soporte técnico de una empresa de software, llegan solicitudes de usuarios que deben ser atendidas por ingenieros de sistemas. Se quiere modelar el proceso de llegada y atención de solicitudes con distribuciones de probabilidad, y simular el sistema con R.

1) Llegadas de solicitudes (Distribución Poisson)

Suponga que, en promedio, llegan 5 solicitudes por hora al sistema.

  1. Genere 5000 valores aleatorios que representen el número de solicitudes que llegan en cada hora.
  2. Interprete el resultado.
  3. Realice un gráfico de barras de las frecuencias.
  4. Determine la probabilidad impírica de lleguen menos de 3 solicitudes

La distribución Poisson(λ) es adecuada para modelar el número de sucesos que ocurren en un intervalo de tiempo fijo, cuando estos ocurren de manera independiente y con una tasa promedio constante λ.

En este caso se asume que en promedio llegan 5 solicitudes por hora al sistema.

set.seed(123)
llegadas <- rpois(5000, lambda = 5)

# Resumen y probabilidad empírica
summary(llegadas)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   0.000   3.000   5.000   4.973   6.000  16.000
prob_emp <- mean(llegadas < 3)
prob_emp
## [1] 0.1248
# Gráfico de barras
barplot(table(llegadas), col="skyblue", main="Llegadas de solicitudes por hora",
        xlab="Número de solicitudes", ylab="Frecuencia")

Interpretación:
- La media simulada fue cercana a 5, lo que concuerda con el parámetro λ.
- La probabilidad empírica de que lleguen menos de 3 solicitudes por hora es 0.1248 (≈ 12.48%).
- Los valores más frecuentes se concentran entre 3 y 7 solicitudes.
- Esto muestra que, aunque lo esperado es 5, existen variaciones naturales que deben considerarse al planificar la capacidad del centro de soporte.

2) Tiempos entre llegadas (Distribución Exponencial)

El tiempo entre llegadas de solicitudes sigue una distribución Exponencial con media 12 minutos.

  1. Genere 5000 tiempos entre llegadas.
  2. Represente el histograma.

La distribución Exponencial(λ) describe los tiempos entre sucesos en un proceso de Poisson. Se caracteriza por su propiedad de “sin memoria”: la probabilidad de esperar un cierto tiempo no depende del tiempo ya transcurrido.

Aquí se considera que el tiempo medio entre llegadas es de 12 minutos, por lo que λ = 1/12.

tiempos <- rexp(5000, rate = 1/12)

# Histograma y curva teórica
hist(tiempos, breaks=50, probability=TRUE, col="lightgreen",
     main="Tiempos entre llegadas", xlab="Minutos")
curve(dexp(x, rate=1/12), col="red", lwd=2, add=TRUE)

mean(tiempos); sd(tiempos)
## [1] 11.90977
## [1] 11.86059

Interpretación:
- La media simulada se aproxima a 12 minutos, confirmando la validez del modelo.
- El histograma muestra una alta frecuencia de intervalos cortos (menores a 10 minutos) y una cola larga hacia valores mayores.
- Esto refleja que, aunque la mayoría de llegadas se producen rápidamente, siempre existe la posibilidad de intervalos largos.
- Esta característica es clave en sistemas de soporte donde la carga de trabajo puede ser irregular.

3) Duración de la atención (Distribución Normal)

Cada ingeniero tarda en promedio 30 minutos en resolver un ticket, con una desviación estándar de 5 minutos.

  1. Simule 5000 atenciones.
  2. Grafique el histograma con la curva normal teórica.
  3. Determine la proporción de atenciones que superan los 35 minutos

La distribución Normal(μ,σ²) es ampliamente utilizada para modelar tiempos de servicio que se concentran alrededor de un valor promedio con variaciones simétricas.

En este caso, cada ingeniero tarda en promedio 30 minutos con una desviación estándar de 5 minutos.

atencion <- rnorm(5000, mean=30, sd=5)

# Histograma con curva normal
hist(atencion, breaks=40, probability=TRUE, col="lightyellow",
     main="Duración de atenciones", xlab="Minutos")
curve(dnorm(x, mean=30, sd=5), col="blue", lwd=2, add=TRUE)

# Proporción de atenciones > 35 minutos
prop_mayor35 <- mean(atencion > 35)
prop_mayor35
## [1] 0.1564

Interpretación:
- La distribución simulada se centra en torno a los 30 minutos, con variabilidad esperada de ±5.
- La proporción de atenciones que superan los 35 minutos fue 0.1564 (≈ 15.64%).
- Esto implica que aproximadamente 1 de cada 6 tickets requiere más tiempo del promedio, lo que puede generar retrasos si no se asigna suficiente personal.
- La normal es útil aquí porque permite estimar la probabilidad de tiempos de servicio extremos.

4) Tickets escalados a segundo nivel (Distribución Binomial)

Un 20% de los tickets requieren ser escalados a un nivel superior. Suponga que en una hora se reciben 10 tickets.

  1. Simule 1000 horas de operación.
  2. Cuente cuántos tickets son escalados.
  3. Grafique usando la función barplot

La distribución Binomial(n,p) modela el número de éxitos en n ensayos independientes, con probabilidad p en cada uno.

En este caso, cada ticket tiene una probabilidad p = 0.2 de ser escalado, y se reciben 10 tickets por hora.

escalados <- rbinom(1000, size=10, prob=0.2)

# Tabla y gráfico
tabla <- table(escalados)
barplot(tabla, col="orange", main="Tickets escalados por hora",
        xlab="Número de tickets escalados", ylab="Frecuencia")

mean(escalados)
## [1] 2.04

Interpretación:
- En promedio, se escalan 2 tickets por hora, coherente con 10 * 0.2 = 2.
- Lo más común es que entre 1 y 3 tickets requieran ser escalados, aunque pueden ocurrir casos con 0 o más de 4.
- Esto permite dimensionar el personal en segundo nivel, que debe estar preparado para picos de carga.

Conclusiones

  1. Código ejecutado correctamente: Se implementaron en R las simulaciones de Poisson, Exponencial, Normal y Binomial.
  2. Gráficos generados: Cada distribución fue representada visualmente, validando su forma teórica frente a los datos simulados.
  3. Interpretación de resultados:
    • Poisson describe adecuadamente la frecuencia de llegadas por hora.
    • Exponencial refleja la irregularidad de los intervalos entre llegadas.
    • Normal caracteriza la duración de las atenciones y permite calcular probabilidades de tiempos extremos.
    • Binomial estima el número de tickets escalados a segundo nivel.
  4. Aporte de las distribuciones: En conjunto, estas distribuciones permiten simular un sistema de colas, analizar la demanda y la capacidad de atención, y prever cuellos de botella.

Este trabajo demuestra cómo la simulación en R puede apoyar la toma de decisiones en sistemas de soporte, al anticipar escenarios y optimizar la gestión de recursos humanos y técnicos.