ATIVIDADE2CARINA
Carina Melo Dias
2025-09-17
ATIVIDADE 2
Um experimento químico foi repetido 5 vezes, sob uma mesma temperatura fixa, e foi observada a quantidade de um certo composto químico catalisado em 100 mil de água. Os dados abaixo são relativos à quantidade, em gramas, do componente químico, a várias temperaturas, em C.
| Temperatura | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Qtd | 7 | 10 | 15 | 22 | 32 | 38 | 46 | 50 | 55 | 60 |
| Qtd | 8 | 12 | 18 | 25 | 30 | 37 | 43 | 52 | 58 | 64 |
| Qtd | 8 | 11 | 17 | 28 | 35 | 38 | 49 | 54 | 56 | 58 |
| Qtd | 6 | 10 | 18 | 21 | 33 | 40 | 45 | 52 | 58 | 59 |
| Qtd | 7 | 12 | 20 | 26 | 32 | 41 | 48 | 53 | 56 | 61 |
a) Estime os coeficientes da reta que estabelece a relação entre a temperatura e a quantidade do componente;
b) Construa o gráfico de linha para o modelo estimado
c) Quando a quantidade for 55, qual será o valor da temperatura?
d) Encontre os resíduos
e) Interprete os resultados encontrados.
RESOLUÇÃO
O conjunto de dados é apresentado a seguir:
## temperatura quantidade
## 1 0 7
## 2 0 8
## 3 0 8
## 4 0 6
## 5 0 7
## 6 10 10
## 7 10 12
## 8 10 11
## 9 10 10
## 10 10 12
## 11 20 15
## 12 20 18
## 13 20 17
## 14 20 18
## 15 20 20
## 16 30 22
## 17 30 25
## 18 30 28
## 19 30 21
## 20 30 26
## 21 40 32
## 22 40 30
## 23 40 35
## 24 40 33
## 25 40 32
## 26 50 38
## 27 50 37
## 28 50 38
## 29 50 40
## 30 50 41
## 31 60 46
## 32 60 43
## 33 60 49
## 34 60 45
## 35 60 48
## 36 70 50
## 37 70 52
## 38 70 54
## 39 70 52
## 40 70 53
## 41 80 55
## 42 80 58
## 43 80 56
## 44 80 58
## 45 80 56
## 46 90 60
## 47 90 64
## 48 90 58
## 49 90 59
## 50 90 61- Coeficientes da reta que estabelece a relação entre a temperatura e a quantidade.
Os valores de β0 e β1 são dados a seguir:
## temperatura quantidade
## Min. : 0 Min. : 6.00
## 1st Qu.:20 1st Qu.:18.00
## Median :45 Median :36.00
## Mean :45 Mean :34.68
## 3rd Qu.:70 3rd Qu.:52.00
## Max. :90 Max. :64.00- Gráfico de linha para o modelo estimado:
De cordo com o gráfico, a temperatura quando a quantidade for 55 = 80
Os resíduos são apresentados a seguir:
## temperatura previsao residuos
## 1 0 6.24 0.76
## 2 0 6.24 1.76
## 3 0 6.24 1.76
## 4 0 6.24 -0.24
## 5 0 6.24 0.76
## 6 10 12.56 -2.56
## 7 10 12.56 -0.56
## 8 10 12.56 -1.56
## 9 10 12.56 -2.56
## 10 10 12.56 -0.56
## 11 20 18.88 -3.88
## 12 20 18.88 -0.88
## 13 20 18.88 -1.88
## 14 20 18.88 -0.88
## 15 20 18.88 1.12
## 16 30 25.20 -3.20
## 17 30 25.20 -0.20
## 18 30 25.20 2.80
## 19 30 25.20 -4.20
## 20 30 25.20 0.80
## 21 40 31.52 0.48
## 22 40 31.52 -1.52
## 23 40 31.52 3.48
## 24 40 31.52 1.48
## 25 40 31.52 0.48
## 26 50 37.84 0.16
## 27 50 37.84 -0.84
## 28 50 37.84 0.16
## 29 50 37.84 2.16
## 30 50 37.84 3.16
## 31 60 44.16 1.84
## 32 60 44.16 -1.16
## 33 60 44.16 4.84
## 34 60 44.16 0.84
## 35 60 44.16 3.84
## 36 70 50.48 -0.48
## 37 70 50.48 1.52
## 38 70 50.48 3.52
## 39 70 50.48 1.52
## 40 70 50.48 2.52
## 41 80 56.80 -1.80
## 42 80 56.80 1.20
## 43 80 56.80 -0.80
## 44 80 56.80 1.20
## 45 80 56.80 -0.80
## 46 90 63.12 -3.12
## 47 90 63.12 0.88
## 48 90 63.12 -5.12
## 49 90 63.12 -4.12
## 50 90 63.12 -2.12- Interpretação dos Dados:
O modelo ajustado estabelece uma relação linear entre temperatura e quantidade, descrita pela equação:
y^=β0+β1⋅temperatura = _0 + _1 y^=β0+β1⋅temperatura onde:
β0≈6,24_0 ,24β0≈6,24: é o intercepto, representando o valor esperado de quantidade quando a temperatura é zero. Isso significa que, mesmo sem aumento de temperatura, a quantidade prevista pelo modelo é de aproximadamente 6 unidades.
β1≈0,63_1 ,63β1≈0,63: é o coeficiente angular, indicando que, a cada aumento de 1 grau de temperatura, a quantidade tende a aumentar em 0,63 unidades, em média.
Portanto, existe uma relação positiva entre temperatura e quantidade: quanto maior a temperatura, maior a quantidade estimada.
Ajuste e previsão: O modelo prevê que, para uma quantidade de 55 unidades, a temperatura correspondente é 80°C, o que está em conformidade com os valores observados. A média e a mediana da quantidade estão próximas (34,68 e 36,00), sugerindo uma distribuição relativamente simétrica dos dados em torno da reta estimada.
Resíduos: Os resíduos (diferença entre os valores observados e previstos) variam em torno de zero, indicando que o modelo linear capta bem a tendência geral da relação.
Em temperaturas intermediárias (40°C a 70°C), os resíduos são pequenos, sugerindo bom ajuste nessa faixa. Em extremos (0°C e 90°C), observa-se maior dispersão dos resíduos (positivos e negativos), indicando que o modelo pode subestimar ou superestimar nessas regiões.
Exemplo:
Para 90°C, o modelo prevê 63,12 unidades, mas os valores reais variam até cerca de 68 ou menos de 60, gerando resíduos de até –5,12.
Para 30°C, a previsão é 25,20, mas foram registrados valores até 29, gerando resíduos positivos de +3,8.
Isso mostra que, embora linear, o modelo não captura perfeitamente as variações locais, mas ainda fornece uma aproximação adequada.
Conclusão: O modelo ajustado mostra que a quantidade cresce linearmente com a temperatura, com aumento médio de 0,63 unidades por grau. O ajuste é satisfatório para a maior parte da faixa observada (20°C a 70°C). Há alguma dispersão nos extremos, sugerindo que outras variáveis ou um modelo não linear poderiam explicar melhor esses pontos. No entanto, a regressão é útil para previsões práticas e para compreender a tendência geral de crescimento da quantidade com a elevação da temperatura.