Für das Lösen der Übungen können Sie R, einen Taschenrechner oder Excel verwenden.

Übung 1

Prävalenz und Indizenz

Betrachten Sie die Abbildung oben, welche den Zeitpunkt des Auftretens sowie die jeweilige Dauer einer Krankheit von 24 erkrankten Personen zeigt. Die 388 Personen, welche in dieser Zeit nicht erkrankten, sind nicht abgebildet. Die beiden blauen Linien repräsentieren Stichtage (t1 und t2).

  • Wie gross ist die Prävalenz am ersten Stichtag?
  • Wie gross ist die Prävalenz am zweiten Stichtag?
  • Wie hoch ist die kumulative Inzidenz zwischen dem ersten und dem zweiten Stichtag?
  • Wie gross ist die Periodenprävalenz, wenn als Periode \(\Delta\) die Zeit zwischen den beiden Stichtagen definiert ist?
  • Welchen Einfluss hat die Krankheitsdauer auf die Punktprävalenz?

Lösung 1

  • Wie gross ist die Prävalenz am ersten Stichtag?

\[ \hat{P_{t1}} = \frac{4}{412} = 0.0097087 \]

Anmerkung: Wir verwenden das Hütchen als Hinweis, dass es sich um eine geschätzte Prävalenz handelt (die Wahre kennen wir nicht).

  • Wie gross ist die Prävalenz am zweiten Stichtag?

\[ \hat{P_{t2}} = \frac{5}{412} = 0.0121359 \]

  • Wie hoch ist die kumulative Inzidenz zwischen dem ersten und dem zweiten Stichtag?

\[ \hat{CI} = \frac{11}{399} = 0.0275689 \]

Anmerkung: Als Population at Risk gelten die 388 + die 11 neu erkrankten Personen. Die zu t1 bereits erkrankten Personen zählen nicht zu \(N_0\). Die Fälle 1 bis 9 könnte man zu \(N_0\) hinzuzählen, wenn ein erneuter Krankheitsausbruch möglich ist und dieser unabhängig vom ersten Ereignis ist. In diesem Fall habe ich diese Personen ausgeschlossen (Annahme: sie können nicht wieder erkranken und zählen somit nicht zur Population at Risk).

  • Wie gross ist die Periodenprävalenz, wenn als Periode \(\Delta\) die Zeit zwischen den beiden Stichtagen definiert ist?

\[ \hat{PP} = \frac{15}{412} = 0.0364078 \]

  • Welchen Einfluss hat die Krankheitsdauer auf die Punktprävalenz?

Die Punktprävalenz misst alle Krankheitsfälle zu einem bestimmten Zeitpunkt, und je länger eine Person krank bleibt, desto länger wird sie in der Zählung geführt, was die Prävalenz erhöht. Daher sind z.B. bei chronischen Krankheiten die Prävalenzen hoch, auch wenn die Inzidenz tief ist. Prävalenz steigt mit Inzidenz und Krankheitsdauer. Bei kurzer Krankheitsdauer fällt die Prävalenz trotz hoher Inzidenz oft niedrig aus.

In einer stabilen Population (keine starken Zu- oder Abnahmen, konstante Inzidenz und Dauer) kann die Punktprävalenz näherungsweise berechnet werden als:

\[ P \approx CI \times \text{Krankheitsdauer} \] Beispiel:

  • Jährliche Inzidenz von 10 pro 1.000
  • Durchschnittliche Krankheitsdauer: 2 Jahre

Dann gilt:

\[ P \approx \frac{10}{1000} \times 2 = 0.02 = 2\% \]

Übung 2

Indizenzdichte

Betrachten Sie die Abbildung oben. Sie zeigt die Beobachtungszeit von 8 Personen sowie deren Endpunkt (Krankheitsfall [blau], kein Krankheitsfalls bis zum Beobachtungsende [rot]).

  • Berechnen Sie die (Gesamt-) Risikozeit \(P\Delta\).
  • Berechnen Sie die Inzidenzdichte \(ID\) und interpretieren Sie.
  • Berechnen Sie die Erkrankungszeit \(EZ\) und interpretieren Sie.

Lösung 2


status n total_observation_time
censored 5 34
event 3 24
Total 8 58


\[ P\Delta = 58 \]


\[ \hat{ID} = \frac{3}{58} = 0.052 \]

Es treten im Mittel 0.052 Neuerkrankungen pro Personenmonat unter Risiko auf. Anders formuliert: Pro 100 Personenmonate Beobachtungszeit wären etwa 5.2 Neuerkrankungen zu erwarten. Pro Jahr in einer einzelnen Person wären 0.624 Neuerkrankungen zu erwarten. Die Erkrankungszeit beträgt:

\[ \hat{EZ} = \frac{1}{\hat{ID}} = \frac{1}{0.052} = 19.2307692. \] Bei einer Inzidenzdichte von 0.052 pro Personenmonat dauert es im Durchschnitt etwa 19.23 Monate, bis eine Person erkrankt, wenn das Risiko über die Zeit gleich bleibt.

Übung 3

Direkte Standardisierung

Altersgruppe M_k N_k N_k_star
0-19 18 1325 1561
20-39 20 1104 2138
40-59 28 2763 1361
60-79 30 2293 2301
80+ 32 574 1427

Betrachten Sie die Tabelle oben. Gegeben sind die Anzahl Todesfälle \(M_k\) pro Alterskategorie \(k\), die Stichprobengrösse \(N_k\) pro Alterskategorie \(k\) sowie die Stichprobengrösse \(N_k^*\) der Standardpopulation für Kategorie \(k\).

  • Ergänzen Sie die Tabelle mit den Mortalitätsraten (\(MR_k\)), den Gewichten \(W_k\) sowie den Standardisierten Gewichten \(W_k^*\) für die \(K = 5\) Gruppen.

  • Berechnen Sie die rohe und die direkt standardisierte Mortalitätsrate. Interpretieren Sie.

Lösung 3

Altersgruppe M_k N_k MR_k W_k N_k_star W_k_star
0-19 18 1325 0.014 0.164 1561 0.178
20-39 20 1104 0.018 0.137 2138 0.243
40-59 28 2763 0.010 0.343 1361 0.155
60-79 30 2293 0.013 0.285 2301 0.262
80+ 32 574 0.056 0.071 1427 0.162 
## Rohe Mortalitätsrate: 0.01588
## Altersstandardisierte Mortalitätsrate: 0.02087

Der Mortalitätsratenquotient \(\frac{MR}{MR_{st}}\) ist 0.76.

Die tatsächlich beobachtete Mortalitätsrate beträgt ca. 76% der altersstandardisierten Mortalitätsrate. Anders gesagt: Die rohe Mortalitätsrate ist etwa 24% niedriger als die altersstandardisierte Rate.

Warum kann das so sein?

Wenn die Studienpopulation z.B. eine “jüngere“ Altersstruktur hat als die Standardbevölkerung, ist die rohe Mortalitätsrate niedriger. Die Standardisierung korrigiert für Altersunterschiede und zeigt, wie hoch die Mortalitätsrate wäre, wenn die Studienpopulation die gleiche Altersstruktur wie die Standardbevölkerung hätte.