TOÁN KINH TẾ

Định nghĩa

Ma trận là một bảng chữ nhật gồm \(m\times n\) phần tử được sắp xếp thành \(m\) hàng và \(n\) cột.

\[A =\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}\]

• \(A\) gọi là ma trận cấp m x n, \(A \in M_{m \times n}\)
• Ký hiệu: \(A = (a_{ij})_{m \times n}\) hay \(A = [a_{ij}]_{m \times n}\)
• \(a_{ij}\) là phần tử tại hàng \(i\), cột \(j\) của ma trận \(A\).

Một số loại ma trận thường gặp

1. Ma trận cột (Column Matrix)

Là ma trận chỉ có một cột.

\[A = \begin{pmatrix}1 \\5 \\9\end{pmatrix}\]

2. Ma trận hàng (Row Matrix)

Là ma trận chỉ có một hàng.

\[B = \begin{pmatrix}2 & 8 & 3&-9\end{pmatrix}\]

3. Ma trận vuông (Square Matrix)

Là ma trận có số hàng bằng số cột.

\[C = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6 \\7 & 8 &9\end{pmatrix}\]

• Đường chéo chính của ma trận vuông là đường nối các phần tử có chỉ số hàng bằng chỉ số cột.
• Đường chéo phụ của ma trận vuông là đường nối các phần tử có chỉ số hàng và chỉ số cột cộng lại bằng \(n+1\) (với ma trận cấp n).

4. Ma trận đường chéo (Diagonal Matrix)

Là một ma trận vuông trong đó tất cả các phần tử không nằm trên đường chéo chính đều bằng 0.

\[D = \begin{pmatrix}7 & 0 & 0 \\0 & 2 & 0 \\0 & 0 & 5\end{pmatrix}\]

5. Ma trận đơn vị (Identity Matrix)

Là ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1.

\[I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad I_3 = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix} \quad I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{pmatrix}\]

6. Ma trận tam giác trên (Upper Triangular Matrix)

Là một ma trận vuông mà tất cả các phần tử nằm dưới đường chéo chính đều bằng 0.

\[U = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\0 & -4 & 5 \\0 & 0 & 6\end{pmatrix}\]

7. Ma trận tam giác dưới (Lower Triangular Matrix)

Là một ma trận vuông mà tất cả các phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng 0.

\[L = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\2 & -3 & 0 \\4 & 5 & 6\end{pmatrix}\]

8. Ma trận đối xứng (Symmetric Matrix)

Là ma trận vuông bằng với ma trận chuyển vị của chính nó. Điều này có nghĩa là phần tử ở hàng i, cột j bằng phần tử ở hàng j, cột i (\(a_{ij} = a_{ji}\)).

\[S = \begin{pmatrix}1 & 7 & 3 \\7 & 4 & 5 \\3 & 5 & 6\end{pmatrix}\] ### 9. Ma trận bậc thang (Row Echelon Form)

Là ma trận mà khi xét 2 hàng bất kỳ thì phần tử khác không đầu tiên của hàng trên luôn luôn nằm bên trái của phần tử khác không đầu tiên của hàng bên dưới.

Ví dụ: \[E = \begin{pmatrix}\color{red}{3} & 0 & 5 & 0 \\0 & \color{red}{-6} & 2 & 0 \\0 & 0 & 0 & \color{red}{1}\end{pmatrix}\]

Các phép toán trên ma trận

Nhân một số thực với ma trận

Cho ma trận \[A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6\end{pmatrix}\]

\[3A= 3\begin{pmatrix}1 & -2 & 2 \\3 & 7 & 1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}3& -6 & 6 \\9 & 21 & 3\end{pmatrix}\]

Cộng/Trừ hai ma trận

Cho 2 ma trận \[A = \begin{pmatrix}1 & 5 \\3 & 7 \\8 & 2\end{pmatrix};B = \begin{pmatrix}4 & 9 \\6 & 1 \\0 & 5\end{pmatrix}\] \[A+B = \begin{pmatrix}1 & 5 \\3 & 7 \\8 & 2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4 & 9 \\6 & 1 \\0 & 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 & 14 \\9 & 8 \\8 & 7\end{pmatrix}\]

\[A = \begin{pmatrix}10 & 8 & 5 \\4 & 12 & 9 \\7 & 3 & 1 \\15 & 6 & 11\end{pmatrix}; B = \begin{pmatrix}2 & 3 & 1 \\0 & 5 & 6 \\7 & 1 & -2 \\8 & -4 & 5\end{pmatrix}\]

\[A-B = \begin{pmatrix}10 & 8 & 5 \\4 & 12 & 9 \\7 & 3 & 1 \\15 & 6 & 11\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}2 & 3 & 1 \\0 & 5 & 6 \\7 & 1 & -2 \\8 & -4 & 5\end{pmatrix}=C = \begin{pmatrix} 8 & 5 & 4 \\4 & 7 & 3 \\0 & 2 & 3 \\7 & 10 & 6\end{pmatrix}\]

Nhân hai ma trận

ĐK: Số cột của ma trận đứng trước phải bằng số hàng của ma trận đứng sau. Cho 2 ma trận \[A_{m \times n}; B_{n \times p}\] \[c_{ik} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot b_{jk}, \quad (1 \leq i \leq m, \; 1 \leq k \leq p)\]

Cho 2 ma trận \[A = \begin{pmatrix}1 & -2 \\7 & 4 \\5 & 0\end{pmatrix};B = \begin{pmatrix}-1 & 3 \\2 & 2\end{pmatrix}\]

\[AB = \begin{pmatrix}1 & -2 \\7 & 4 \\5 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1 & 3 \\2 & 2\end{pmatrix}=\]

\[BA = \begin{pmatrix}-1 & 3 \\2 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & -2 \\7 & 4 \\5 & 0\end{pmatrix}=\]

Lũy thừa ma trận (vuông): \[A^k = A\times A\times A\times \dots \times A\] Ví dụ tính :\[A^3\]

Ma trận nghịch đảo

Cho ma trận vuông cấp \(n\), \(A\). Nếu tồn tại ma trận vuông cấp \(n\), \(B\) sao cho: \[AB = BA = I_n\] thì \(B\) gọi là ma trận nghịch đảo của A, kí hiệu là \(A^{-1}\)

Nếu ma trận A có ma trận nghịch đảo thì A gọi là ma trận khả nghịch, ngược lại A gọi là ma trận không khả nghịch (hay suy biến).

\[A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 1 \\1 & 3 & 2 \\1 & 4 & 4\end{pmatrix} \quad \text{và} \quad B = \begin{pmatrix}4 & -4 & 1 \\-2 & 3 & -1 \\1 & -2 & 1\end{pmatrix}\]

Ma trận chuyển vị

Cho ma trận \[A = (a_{ij})_{m \times n}\] Ma trận chuyển vị của A, kí hiệu là \(A^T\) là ma trận \[A^T = (a_{ji})\]

ví dụ: \[A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\0 & 1 & 4 \\5 & 6 & 0\end{bmatrix}\]

\[A^T = \begin{bmatrix}1 & 0 & 5 \\2 & 1 & 6 \\3 & 4 & 0\end{bmatrix}\]

Định thức của ma trận vuông

Cho ma trận vuông cấp n, định thức của ma trận A, kí hiệu là \(det(A)\) hoặc \(|A|\) được định nghĩa như sau:

• Nếu n = 1 thì \(det(A) = a_{11}\)
• Nếu \(n \ge 2\) thì \[\det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} \, a_{1j} \, \det(M_{1j})\] trong đó \(M_{1j}\) là ma trận con cấp \(n-1\) thu được từ A bằng cách bỏ hàng 1 và cột j.

Ví dụ: \[A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\0 & 1 & 4 \\5 & 6 & 0\end{bmatrix}\]

\[det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix}1 & 4 \\6 & 0\end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix}0 & 4 \\5 & 0\end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix}0 & 1 \\5 & 6\end{vmatrix} = -24 + 40 - 15 = 1\]

\[ \det(A) = 0 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} + 1 \cdot (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} + 4 \cdot (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{vmatrix}=1\]

Các phép biến đổi sơ cấp theo hàng

• Đổi chỗ hai hàng i và j.
• Nhân hàng i với một số \(\alpha \ne 0\).
• Thay hàng i bởi hàng i cộng với \(\alpha\) lần hàng j.

Ví dụ: \[ \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \\ 5 & -1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{h_1 \leftrightarrow h_3}\\ \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 & 5 \\ 5 & -1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{h_2:= -2h_2}\\ \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 4 \\ 0 & -2 & -4 & -6 \\ 3 & 2 & 1 & 5 \\ 5 & -1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{h_3 := h_3 - 3h_1} \\ \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 4 \\ 0 & -2 & -4 & -6 \\ 0 & -7 & -5 & -7 \\ 5 & -1 & 2 & 0 \end{pmatrix}\]

Biến đổi thành ma trận tam giác trên

\[ B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 &-5 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & -3 & 1 \\ 4 & 1 & 0 & -6 \end{bmatrix} \xrightarrow{\begin{smallmatrix} h_3 \to h_3 - 2h_1 \\ h_4 \to h_4 - 4h_1 \end{smallmatrix}} \\ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -5 & -1 & 2 \\ 0 & -4 & -9 & -7 \\ 0 & -7 & -12 & -22 \end{bmatrix} \xrightarrow{\begin{smallmatrix} h_3 \to h_3 - \frac{4}{5}h_2 \\ h_4 \to h_4 - \frac{7}{5}h_2 \end{smallmatrix}}\\ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -5 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & -41/5 & -43/5 \\ 0 & 0 & -53/5 & -124/5 \end{bmatrix} \xrightarrow{h_4 \to h_4 - \frac{53}{41}h_3} \\ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -5 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & -41/5 & -43/5 \\ 0 & 0 & 0 & -561/41 \end{bmatrix} \]

Biến đổi Ma trận về thành ma trận Bậc thang

\[ \begin{pmatrix}1 & 2 & -1 & 3 \\2 & 4 & 1 & -2 \\3 & 6 & 3 & -7\end{pmatrix} \xrightarrow{\begin{smallmatrix} h)_2:= h_2 - 2h_1 \\ h_3:= h_3 - 3h_1 \end{smallmatrix}} \begin{pmatrix}1 & 2 & -1 & 3 \\0 & 0 & 3 & -8 \\0 & 0 & 6 & -16\end{pmatrix} \xrightarrow{h_3:= h_3 - 2h_2} \begin{pmatrix}1 & 2 & -1 & 3 \\0 & 0 & 3 & -8 \\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \]

Hạng của ma trận

Định nghĩa: Hạng của ma trận là cấp cao nhất của định thức con khác không của ma trận đó.

Hạng của ma trận (rank) là số lượng các hàng khác không trong dạng bậc thang của nó.

Ví dụ: Tìm hạng của ma trận A

\[ A = \begin{pmatrix}1 & -2 & 0 & 3 \\2 & 0 & 1 & 5 \\0 & 4 & 1 & -1\end{pmatrix} \xrightarrow{h_2 \to h_2 - 2h_1} \begin{pmatrix}1 & -2 & 0 & 3 \\0 & 4 & 1 & -1 \\0 & 4 & 1 & -1\end{pmatrix} \xrightarrow{h_3 \to h_3 - h_2} \begin{pmatrix}1 & -2 & 0 & 3 \\0 & 4 & 1 & -1 \\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \]

Giải hệ bằng phương pháp khử Gauss

Cho hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + y + z = 6 \\x - y + z = 2 \\x + y - z = 0\end{cases} \]

1. Lập ma trận hệ số mở rộng (\(\bar{A}\)): \[ \bar{A} = \left[ \begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\1 & -1 & 1 & 2 \\1 & 1 & -1 & 0 \end{array} \right] \xrightarrow{\begin{smallmatrix} h_2:= h_2 - h_1 \\ h_3:= h_3 - h_1 \end{smallmatrix}} \left[\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\0 & -2 & 0 & -4 \\0 & 0 & -2 & -6 \end{array} \right] \] Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất (1, 2, 3).

Giải hệ bằng phương pháp khử Gauss

Hệ phương trình: \[\begin{cases} x + y + z = 3 \\x + 2y + 3z = 6 \\2x + 3y + 4z = 9\end{cases}\] 1. Lập ma trận hệ số mở rộng (\(\bar{A}\)): \[ \bar{A} = \left[ \begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 3 \\1 & 2 & 3 & 6 \\2 & 3 & 4 & 9 \end{array} \right] \xrightarrow{\begin{smallmatrix} h_2:= h_2 - h_1 \\ h_3:= h_3 - 2h_1 \end{smallmatrix}} \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3 \\0 & 1 & 2 & 3 \\0 & 1 & 2 & 3\end{array} \right] \xrightarrow{h_3:= h_3 - h_2} \left[ \begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 3 \\0 & 1 & 2 & 3 \\0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \]

Kết luận: Hệ có vô số nghiệm dạng \((t, 3-2t, t)\) với \(t \in \mathbb{R}\).```

Giải hệ bằng phương pháp khử Gauss

Hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + y + z = 3 \\x + 2y + 3z = 6 \\2x + 3y + 4z = 10 \end{cases} \]

1. Lập ma trận hệ số mở rộng (\(\bar{A}\)): \[ Ā = \left[ \begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 3 \\1 & 2 & 3 & 6 \\2 & 3 & 4 & 10\end{array} \right] \xrightarrow{\begin{smallmatrix} h_2:= h_2 - h_1 \\ h_3:= h_3 - 2_1 \end{smallmatrix}} \left[ \begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 3 \\0 & 1 & 2 & 3 \\0 & 1 & 2 & 4\end{array} \right] \xrightarrow{h_3:= h_3 - h_2} \left[ \begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 3 \\0 & 1 & 2 & 3 \\0 & 0 & 0 & 1\end{array} \right] \]

Kết luận: Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Định lý Kronecker-Capelli

Xét hệ phương trình tuyến tính Ax = b có n ẩn, với A là ma trận hệ số, \(\bar{A}\) là ma trận hệ số mở rộng.

Khi đó, số nghiệm của hệ được xác định bởi hạng (rank) của hai ma trận này:

• Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi rank(A) < rank(\(\bar{A}\)).
• Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi rank(A) = rank(\(\bar{A}\)) = n.
• Hệ có vô số nghiệm khi và chỉ khi rank(A) = rank(\(\bar{A}\)) < n.

Ma trận nghịch đảo (Phương pháp Định thức)

Ma trận vuông \(A\) khả nghịch khi và chỉ khi \(|A| \ne 0\).

Công thức: \[A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} A^*\]

Trong đó, \(A^*\) là ma trận phụ hợp (chuyển vị của ma trận các phần phụ đại số).

Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của A

\[A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\0 & 1 & 4 \\5 & 6 & 0\end{pmatrix}\]

Bước 1: Tính định thức \[\det(A) = 1(0-24) - 2(0-20) + 3(0-5) = -24 + 40 - 15 = 1\] Vì \(det(A) = 1 \ne 0\) nên ma trận \(A\) có ma trận nghịch đảo.

Bước 2: Tìm ma trận phụ hợp \(A^*\) \[ A^*= C^T = \begin{pmatrix}-24 & 20 & -5 \\18 & -15 & 4 \\5 & -4 & 1\end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix}-24 & 18 & 5 \\20 & -15 & -4 \\-5 & 4 & 1\end{pmatrix} \]

Bước 3: Áp dụng công thức \[ A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix}-24 & 18 & 5 \\20 & -15 & -4 \\-5 & 4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-24 & 18 & 5 \\20 & -15 & -4 \\-5 & 4 & 1\end{pmatrix} \]

Ma trận nghịch đảo (Phương pháp Gauss-Jordan)

Ý tưởng: Lập ma trận mở rộng [A|I], sau đó dùng các phép biến đổi sơ cấp theo hàng để đưa ma trận A (vế trái) về ma trận đơn vị I. Khi đó, ma trận I (vế phải) sẽ biến thành ma trận nghịch đảo \(A^{-1}\).

\[[A|I] \xrightarrow{\text{Các phép biến đổi sơ cấp}} [I|A^{-1}]\]

Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của A \[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 5 & 4 \\ 3 & 7 & 4 \end{pmatrix}\]

Quá trình biến đổi: \[ \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 7 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \xrightarrow{\begin{smallmatrix} h_2:= h_2 - 2h_1 \\ h_3:= h_3 - 3h_1 \end{smallmatrix}} \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 7 & -3 & 0 & 1 \end{array} \right] \] \[ \xrightarrow{h_3:= h_3 - h_2} \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 \end{array} \right] \xrightarrow{\begin{smallmatrix} h_1:= h_1 + h_3 \\ h_2:= h_2 - 6h_3 \end{smallmatrix}} \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & 7 & -6 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 \end{array} \right] \] \[ \xrightarrow{h_1:= h_1 - 2h_2} \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -8 & -15 & 13 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & 7 & -6 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 \end{array} \right] \]

Kết luận: \[A^{-1} = \begin{pmatrix}-8 & -15 & 13 \\4 & 7 & -6 \\-1 & -1 & 1\end{pmatrix}\]

Giải hệ bằng Phương pháp Ma trận nghịch đảo

Nguyên tắc: Một hệ phương trình tuyến tính có dạng Ax = b, nếu ma trận A khả nghịch (tức là det(A) ≠ 0), thì hệ có nghiệm duy nhất được tìm bằng công thức: \[X = A^{-1}B\]

Ví dụ: Giải hệ phương trình sau: \[ \begin{cases} x + 2y + 3z = 3 \\ y + 4z = 3 \\ 5x + 6y = 1 \end{cases} \]

Bước 1: Viết hệ dưới dạng ma trận AX = B \[ \underbrace{ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix} }_{A} \underbrace{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} }_{X} = \underbrace{ \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} }_{B} \]

Bước 2: Tìm ma trận nghịch đảo \(A^{-1}\)

• Trước hết, tính định thức: det(A) = 1(0-24) - 2(0-20) + 3(0-5) = 1.
• Vì det(A) ≠ 0, ma trận A có ma trận nghịch đảo.
• Bằng phương pháp phụ hợp, ta tìm được: \[ A^{-1} = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix} \]

Bước 3: Tính nghiệm x = A⁻¹b \[ x = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-24)(3) + (18)(3) + (5)(1) \\ (20)(3) + (-15)(3) + (-4)(1) \\ (-5)(3) + (4)(3) + (1)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -72 + 54 + 5 \\ 60 - 45 - 4 \\ -15 + 12 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13 \\ 11 \\ -2 \end{pmatrix} \]

Kết luận: Vậy nghiệm của hệ là \(x = -13, y = 11, z = -2\).

Giải hệ 4 ẩn bằng Ma trận nghịch đảo

Hệ phương trình: \[ \begin{cases} 2x_1 + x_2 - 3x_3 + 3x_4 = 3 \\ x_1 + x_2 + 5x_3 - x_4 = 1 \\ 3x_1 + 2x_2 - x_3 - x_4 = 2 \\ x_1 - 2x_2 + x_3 + x_4 = 4 \end{cases} \]

Bước 1: Viết hệ dưới dạng ma trận Ax = b \[ \underbrace{ \begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 & 3 \\ 1 & 1 & 5 & -1 \\ 3 & 2 & -1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} }_{A} \underbrace{ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} }_{x} = \underbrace{ \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} }_{b} \]

Bước 2: Tìm ma trận nghịch đảo A⁻¹ (Tính toán cho thấy det(A) = -63 ≠ 0. Giả sử đã tính được A⁻¹ bằng phương pháp Gauss-Jordan)

\[ A^{-1} = -\frac{1}{63} \begin{pmatrix} -7 & 21 & -7 & 28 \\ 1 & -12 & 15 & -9 \\ -7 & 7 & 7 & -7 \\ -14 & -14 & 7 & 7 \end{pmatrix} \]

Bước 3: Tính nghiệm x = A⁻¹b \[ x = -\frac{1}{63} \begin{pmatrix} -7 & 21 & -7 & 28 \\ 1 & -12 & 15 & -9 \\ -7 & 7 & 7 & -7 \\ -14 & -14 & 7 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} = -\frac{1}{63} \begin{pmatrix} -21 + 21 - 14 + 112 \\ 3 - 12 + 30 - 36 \\ -21 + 7 + 14 - 28 \\ -42 - 14 + 14 + 28 \end{pmatrix} = -\frac{1}{63} \begin{pmatrix} 98 \\ -15 \\ -28 \\ -14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -98/63 \\ 15/63 \\ 28/63 \\ 14/63 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -14/9 \\ 5/21 \\ 4/9 \\ 2/9 \end{pmatrix} \]

Kết luận: Vậy nghiệm của hệ là: \(x_1 = -\frac{14}{9}, x_2 = \frac{5}{21}, x_3 = \frac{4}{9}, x_4 = \frac{2}{9}\).

Nguồn gốc của Ma trận Hệ số kỹ thuật (A)

Ma trận A là “công thức sản xuất” của nền kinh tế. Nó được tính từ Bảng Cân đối Liên ngành (Input-Output Table), một bức tranh tổng thể về dòng chảy kinh tế trong một năm.

Nguyên tắc cơ bản: Hệ số kỹ thuật \(a_{ij}\) là tỷ lệ giữa lượng sản phẩm của ngành i mà ngành j sử dụng làm đầu vào, so với tổng sản lượng của chính ngành j.

\[a_{ij} = \frac{\text{Giá trị ngành i cung cấp cho ngành j}}{\text{Tổng sản lượng của ngành j}} \]

Ví dụ:

Giả sử chúng ta có Bảng Cân đối Liên ngành (đơn vị: tỷ đồng) của năm trước như sau:

Bây giờ, chúng ta sẽ tính các hệ số \(a_{ij}\):

• \(a_{11}\) (Nông nghiệp dùng cho Nông nghiệp):
  • Nông nghiệp đã dùng 20 tỷ từ chính nó để tạo ra 100 tỷ tổng sản lượng. \(a_{11} = \frac{20}{100} = 0.2\) (Để tạo ra 1 đồng sản phẩm NN, cần 0.2 đồng từ chính NN)
• \(a_{12}\) (Nông nghiệp dùng cho Công nghiệp):
  • Công nghiệp đã dùng 50 tỷ từ Nông nghiệp để tạo ra 200 tỷ tổng sản lượng. \(a_{12} = \frac{50}{200} = 0.25\) (Để tạo ra 1 đồng sản phẩm CN, cần 0.25 đồng từ NN)
• \(a_{21}\) (Công nghiệp dùng cho Nông nghiệp):
  • Nông nghiệp đã dùng 30 tỷ từ Công nghiệp để tạo ra 100 tỷ tổng sản lượng. \(a_{21} = \frac{30}{100} = 0.3\) (Để tạo ra 1 đồng sản phẩm NN, cần 0.3 đồng từ CN)
• \(a_{22}\) (Công nghiệp dùng cho Công nghiệp):
  • Công nghiệp đã dùng 40 tỷ từ chính nó để tạo ra 200 tỷ tổng sản lượng. \(a_{22} = \frac{40}{200} = 0.2\). (Để tạo ra 1 đồng sản phẩm CN, cần 0.2 đồng từ chính CN)

Từ đó, ta có Ma trận hệ số kỹ thuật: \[A = \begin{pmatrix} 0.2 & 0.25 \\ 0.3 & 0.2 \end{pmatrix}\] ## Mô hình Leontief - Theo Giá trị

Một nền kinh tế có 4 ngành: (1) Nông nghiệp, (2) Công nghiệp, (3) Dịch vụ, (4) Xây dựng. Đơn vị tính là tỷ đồng.

Ma trận hệ số kỹ thuật A: \[A = \begin{pmatrix} 0.2 & 0.1 & 0.1 & 0.2 \\0.3 & 0.3 & 0.2 & 0.4 \\0.1 & 0.2 & 0.1 & 0.1 \\0.1 & 0.1 & 0.2 & 0.1 \end{pmatrix}\]

Ví dụ: \(a_{21} = 0.3\) nghĩa là để tạo gia được một lượng sản phẩm có giả trị 1 tỷ đồng, ngành Nông nghiệp, cần phải mua một lượng hàng hóa trị giá 0.3 tỷ đồng từ ngành Công nghiệp.

Nhu cầu cuối cùng của xã hội (D): \[D = \begin{pmatrix} 200 \\ 300 \\ 500 \\ 100 \end{pmatrix} \begin{matrix} \text{(Nông nghiệp)} \\ \text{(Công nghiệp)} \\ \text{(Dịch vụ)} \\ \text{(Xây dựng)} \end{matrix}\]

Yêu cầu: Tìm tổng giá trị sản lượng \(X\) cho mỗi ngành.

1. Tính ma trận \((I - A)\):

\[I - A = \begin{pmatrix} 0.8 & -0.1 & -0.1 & -0.2 \\-0.3 & 0.7 & -0.2 & -0.4 \\ -0.1 & -0.2 & 0.9 & -0.1 \\-0.1 & -0.1 & -0.2 & 0.9 \end{pmatrix}\]

2. Tìm ma trận nghịch đảo Leontief \((I - A)^{-1}\):

\[ (I - A)^{-1} \approx \begin{pmatrix} 1.40 & 0.31 & 0.27 & 0.42 \\ 0.86 & 1.82 & 0.59 & 0.95 \\ 0.33 & 0.43 & 1.29 & 0.36 \\ 0.32 & 0.31 & 0.38 & 1.32 \end{pmatrix}\]

3. Tính Tổng sản lượng \(X = (I - A)^{-1}D\):

\[ X = \begin{pmatrix} 1.40 & 0.31 & 0.27 & 0.42 \\ 0.86 & 1.82 & 0.59 & 0.95 \\ 0.33 & 0.43 & 1.29 & 0.36 \\ 0.32 & 0.31 & 0.38 & 1.32 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 200 \\ 300 \\ 500 \\ 100 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 550 \\ 1108 \\ 876 \\ 479 \end{pmatrix}\]

Kết luận: Để đáp ứng nhu cầu cuối cùng, các ngành cần sản xuất một tổng giá trị là:

• Nông nghiệp: 550 tỷ đồng
• Công nghiệp: 1108 tỷ đồng
• Dịch vụ: 876 tỷ đồng
• Xây dựng: 479 tỷ đồng

Mô hình Leontief - Đơn vị hiện vật

Một nền kinh tế có 4 ngành: (1) Nông nghiệp (tấn), (2) Năng lượng (MWh), (3) CN Nặng (tấn), (4) Vận tải (tấn.km).

Ma trận hệ số kỹ thuật A: \[ A = \begin{pmatrix} 0.1 & 0 & 0.2 & 0.1 \\0.3 & 0.1 & 0.1 & 0.2 \\0.1 & 0.3 & 0.2 & 0.2 \\0.2 & 0.1 & 0.2 & 0.1\end{pmatrix} \] (Ví dụ: \(a_{21} = 0.3\) nghĩa là để sản xuất 1 tấn nông sản, cần 0.3 MWh năng lượng.)

Nhu cầu cuối cùng của xã hội (D): \[ D = \begin{pmatrix} 1000 \\ 1500 \\ 800 \\ 500 \end{pmatrix} \begin{matrix} \text{(tấn Nông nghiệp)} \\ \text{(MWh Năng lượng)} \\ \text{(tấn CN Nặng)} \\ \text{(tấn.km Vận tải)} \end{matrix} \]

Yêu cầu: Tìm mức tổng sản lượng X cho mỗi ngành.

1. Tính ma trận (I - A): \[ I - A = \begin{pmatrix} 0.9 & 0 & -0.2 & -0.1 \\ -0.3 & 0.9 & -0.1 & -0.2 \\ -0.1 & -0.3 & 0.8 & -0.2 \\ -0.2 & -0.1 & -0.2 & 0.9 \end{pmatrix} \]

2. Tìm ma trận nghịch đảo Leontief (I - A)⁻¹: (Giả sử đã tính được) \[ (I - A)^{-1} \approx \begin{pmatrix} 1.18 & 0.06 & 0.31 & 0.19 \\ 0.48 & 1.20 & 0.29 & 0.35 \\ 0.35 & 0.50 & 1.45 & 0.42 \\ 0.35 & 0.21 & 0.38 & 1.23 \end{pmatrix} \]

3. Tính Tổng sản lượng X = (I - A)⁻¹D: \[ X = \begin{pmatrix} 1.18 & 0.06 & 0.31 & 0.19 \\ 0.48 & 1.20 & 0.29 & 0.35 \\ 0.35 & 0.50 & 1.45 & 0.42 \\ 0.35 & 0.21 & 0.38 & 1.23 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1000 \\ 1500 \\ 800 \\ 500 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1613 \\ 2687 \\ 2470 \\ 1584 \end{pmatrix}\]

Kết luận: Để đáp ứng nhu cầu cuối cùng, các ngành cần sản xuất:

• Nông nghiệp: 1613 tấn
• Năng lượng: 2687 MWh
• CN Nặng: 2470 tấn
• Vận tải: 1584 tấn.km