Ma trận là một bảng chữ nhật gồm \(m\times n\) phần tử được sắp xếp thành \(m\) hàng và \(n\) cột.
\[A =\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}\]
Là ma trận chỉ có một cột.
\[A = \begin{pmatrix}1 \\5 \\9\end{pmatrix}\]
Là ma trận chỉ có một hàng.
\[B = \begin{pmatrix}2 & 8 & 3&-9\end{pmatrix}\]
Là ma trận có số hàng bằng số cột.
\[C = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6 \\7 & 8 &9\end{pmatrix}\]
Là một ma trận vuông trong đó tất cả các phần tử không nằm trên đường chéo chính đều bằng 0.
\[D = \begin{pmatrix}7 & 0 & 0 \\0 & 2 & 0 \\0 & 0 & 5\end{pmatrix}\]
Là ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1.
\[I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad I_3 = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix} \quad I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{pmatrix}\]
Là một ma trận vuông mà tất cả các phần tử nằm dưới đường chéo chính đều bằng 0.
\[U = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\0 & -4 & 5 \\0 & 0 & 6\end{pmatrix}\]
Là một ma trận vuông mà tất cả các phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng 0.
\[L = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\2 & -3 & 0 \\4 & 5 & 6\end{pmatrix}\]
Là ma trận vuông bằng với ma trận chuyển vị của chính nó. Điều này có nghĩa là phần tử ở hàng i, cột j bằng phần tử ở hàng j, cột i (\(a_{ij} = a_{ji}\)).
\[S = \begin{pmatrix}1 & 7 & 3 \\7 & 4 & 5 \\3 & 5 & 6\end{pmatrix}\] ### 9. Ma trận bậc thang (Row Echelon Form)
Là ma trận mà khi xét 2 hàng bất kỳ thì phần tử khác không đầu tiên của hàng trên luôn luôn nằm bên trái của phần tử khác không đầu tiên của hàng bên dưới.
Ví dụ: \[E = \begin{pmatrix}\color{red}{3} & 0 & 5 & 0 \\0 & \color{red}{-6} & 2 & 0 \\0 & 0 & 0 & \color{red}{1}\end{pmatrix}\]
Cho ma trận \[A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6\end{pmatrix}\]
\[3A= 3\begin{pmatrix}1 & -2 & 2 \\3 & 7 & 1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}3& -6 & 6 \\9 & 21 & 3\end{pmatrix}\]
Cho 2 ma trận \[A = \begin{pmatrix}1 & 5 \\3 & 7 \\8 & 2\end{pmatrix};B = \begin{pmatrix}4 & 9 \\6 & 1 \\0 & 5\end{pmatrix}\] \[A+B = \begin{pmatrix}1 & 5 \\3 & 7 \\8 & 2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4 & 9 \\6 & 1 \\0 & 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 & 14 \\9 & 8 \\8 & 7\end{pmatrix}\]
\[A = \begin{pmatrix}10 & 8 & 5 \\4 & 12 & 9 \\7 & 3 & 1 \\15 & 6 & 11\end{pmatrix}; B = \begin{pmatrix}2 & 3 & 1 \\0 & 5 & 6 \\7 & 1 & -2 \\8 & -4 & 5\end{pmatrix}\]
\[A-B = \begin{pmatrix}10 & 8 & 5 \\4 & 12 & 9 \\7 & 3 & 1 \\15 & 6 & 11\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}2 & 3 & 1 \\0 & 5 & 6 \\7 & 1 & -2 \\8 & -4 & 5\end{pmatrix}=C = \begin{pmatrix} 8 & 5 & 4 \\4 & 7 & 3 \\0 & 2 & 3 \\7 & 10 & 6\end{pmatrix}\]
ĐK: Số cột của ma trận đứng trước phải bằng số hàng của ma trận đứng sau. Cho 2 ma trận \[A_{m \times n}; B_{n \times p}\] \[c_{ik} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot b_{jk}, \quad (1 \leq i \leq m, \; 1 \leq k \leq p)\]
Cho 2 ma trận \[A = \begin{pmatrix}1 & -2 \\7 & 4 \\5 & 0\end{pmatrix};B = \begin{pmatrix}-1 & 3 \\2 & 2\end{pmatrix}\]
\[AB = \begin{pmatrix}1 & -2 \\7 & 4 \\5 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1 & 3 \\2 & 2\end{pmatrix}=\]
\[BA = \begin{pmatrix}-1 & 3 \\2 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & -2 \\7 & 4 \\5 & 0\end{pmatrix}=\]
Lũy thừa ma trận (vuông): \[A^k = A\times A\times A\times \dots \times A\] Ví dụ tính :\[A^3\]
Cho ma trận vuông cấp \(n\), \(A\). Nếu tồn tại ma trận vuông cấp \(n\), \(B\) sao cho: \[AB = BA = I_n\] thì \(B\) gọi là ma trận nghịch đảo của A, kí hiệu là \(A^{-1}\)
Nếu ma trận A có ma trận nghịch đảo thì A gọi là ma trận khả nghịch, ngược lại A gọi là ma trận không khả nghịch (hay suy biến).
\[A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 1 \\1 & 3 & 2 \\1 & 4 & 4\end{pmatrix} \quad \text{và} \quad B = \begin{pmatrix}4 & -4 & 1 \\-2 & 3 & -1 \\1 & -2 & 1\end{pmatrix}\]
Cho ma trận \[A = (a_{ij})_{m \times n}\] Ma trận chuyển vị của A, kí hiệu là \(A^T\) là ma trận \[A^T = (a_{ji})\]
ví dụ: \[A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\0 & 1 & 4 \\5 & 6 & 0\end{bmatrix}\]
\[A^T = \begin{bmatrix}1 & 0 & 5 \\2 & 1 & 6 \\3 & 4 & 0\end{bmatrix}\]
Cho ma trận vuông cấp n, định thức của ma trận A, kí hiệu là \(det(A)\) hoặc \(|A|\) được định nghĩa như sau:
Ví dụ: \[A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\0 & 1 & 4 \\5 & 6 & 0\end{bmatrix}\]
\[det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix}1 & 4 \\6 & 0\end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix}0 & 4 \\5 & 0\end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix}0 & 1 \\5 & 6\end{vmatrix} = -24 + 40 - 15 = 1\]
\[ \det(A) = 0 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} + 1 \cdot (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} + 4 \cdot (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{vmatrix}=1\]
Ví dụ: \[ \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \\ 5 & -1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{h_1 \leftrightarrow h_3}\\ \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 & 5 \\ 5 & -1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{h_2:= -2h_2}\\ \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 4 \\ 0 & -2 & -4 & -6 \\ 3 & 2 & 1 & 5 \\ 5 & -1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{h_3 := h_3 - 3h_1} \\ \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 4 \\ 0 & -2 & -4 & -6 \\ 0 & -7 & -5 & -7 \\ 5 & -1 & 2 & 0 \end{pmatrix}\]
\[ B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 &-5 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & -3 & 1 \\ 4 & 1 & 0 & -6 \end{bmatrix} \xrightarrow{\begin{smallmatrix} h_3 \to h_3 - 2h_1 \\ h_4 \to h_4 - 4h_1 \end{smallmatrix}} \\ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -5 & -1 & 2 \\ 0 & -4 & -9 & -7 \\ 0 & -7 & -12 & -22 \end{bmatrix} \xrightarrow{\begin{smallmatrix} h_3 \to h_3 - \frac{4}{5}h_2 \\ h_4 \to h_4 - \frac{7}{5}h_2 \end{smallmatrix}}\\ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -5 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & -41/5 & -43/5 \\ 0 & 0 & -53/5 & -124/5 \end{bmatrix} \xrightarrow{h_4 \to h_4 - \frac{53}{41}h_3} \\ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -5 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & -41/5 & -43/5 \\ 0 & 0 & 0 & -561/41 \end{bmatrix} \]
\[ \begin{pmatrix}1 & 2 & -1 & 3 \\2 & 4 & 1 & -2 \\3 & 6 & 3 & -7\end{pmatrix} \xrightarrow{\begin{smallmatrix} h)_2:= h_2 - 2h_1 \\ h_3:= h_3 - 3h_1 \end{smallmatrix}} \begin{pmatrix}1 & 2 & -1 & 3 \\0 & 0 & 3 & -8 \\0 & 0 & 6 & -16\end{pmatrix} \xrightarrow{h_3:= h_3 - 2h_2} \begin{pmatrix}1 & 2 & -1 & 3 \\0 & 0 & 3 & -8 \\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \]
Định nghĩa: Hạng của ma trận là cấp cao nhất của định thức con khác không của ma trận đó.
Hạng của ma trận (rank) là số lượng các hàng khác không trong dạng bậc thang của nó.
Ví dụ: Tìm hạng của ma trận A
\[ A = \begin{pmatrix}1 & -2 & 0 & 3 \\2 & 0 & 1 & 5 \\0 & 4 & 1 & -1\end{pmatrix} \xrightarrow{h_2 \to h_2 - 2h_1} \begin{pmatrix}1 & -2 & 0 & 3 \\0 & 4 & 1 & -1 \\0 & 4 & 1 & -1\end{pmatrix} \xrightarrow{h_3 \to h_3 - h_2} \begin{pmatrix}1 & -2 & 0 & 3 \\0 & 4 & 1 & -1 \\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \]
Cho hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + y + z = 6 \\x - y + z = 2 \\x + y - z = 0\end{cases} \]
1. Lập ma trận hệ số mở rộng (\(\bar{A}\)): \[ \bar{A} = \left[ \begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\1 & -1 & 1 & 2 \\1 & 1 & -1 & 0 \end{array} \right] \xrightarrow{\begin{smallmatrix} h_2:= h_2 - h_1 \\ h_3:= h_3 - h_1 \end{smallmatrix}} \left[\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\0 & -2 & 0 & -4 \\0 & 0 & -2 & -6 \end{array} \right] \] Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất (1, 2, 3).
Hệ phương trình: \[\begin{cases} x + y + z = 3 \\x + 2y + 3z = 6 \\2x + 3y + 4z = 9\end{cases}\] 1. Lập ma trận hệ số mở rộng (\(\bar{A}\)): \[ \bar{A} = \left[ \begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 3 \\1 & 2 & 3 & 6 \\2 & 3 & 4 & 9 \end{array} \right] \xrightarrow{\begin{smallmatrix} h_2:= h_2 - h_1 \\ h_3:= h_3 - 2h_1 \end{smallmatrix}} \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3 \\0 & 1 & 2 & 3 \\0 & 1 & 2 & 3\end{array} \right] \xrightarrow{h_3:= h_3 - h_2} \left[ \begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 3 \\0 & 1 & 2 & 3 \\0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \]
Kết luận: Hệ có vô số nghiệm dạng \((t, 3-2t, t)\) với \(t \in \mathbb{R}\).```
Hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + y + z = 3 \\x + 2y + 3z = 6 \\2x + 3y + 4z = 10 \end{cases} \]
1. Lập ma trận hệ số mở rộng (\(\bar{A}\)): \[ Ā = \left[ \begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 3 \\1 & 2 & 3 & 6 \\2 & 3 & 4 & 10\end{array} \right] \xrightarrow{\begin{smallmatrix} h_2:= h_2 - h_1 \\ h_3:= h_3 - 2_1 \end{smallmatrix}} \left[ \begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 3 \\0 & 1 & 2 & 3 \\0 & 1 & 2 & 4\end{array} \right] \xrightarrow{h_3:= h_3 - h_2} \left[ \begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 3 \\0 & 1 & 2 & 3 \\0 & 0 & 0 & 1\end{array} \right] \]
Kết luận: Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Xét hệ phương trình tuyến tính Ax = b có n ẩn, với A là ma trận hệ số, \(\bar{A}\) là ma trận hệ số mở rộng.
Khi đó, số nghiệm của hệ được xác định bởi hạng (rank) của hai ma trận này:
Ma trận vuông \(A\) khả nghịch khi và chỉ khi \(|A| \ne 0\).
Công thức: \[A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} A^*\]
Trong đó, \(A^*\) là ma trận phụ hợp (chuyển vị của ma trận các phần phụ đại số).
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của A
\[A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\0 & 1 & 4 \\5 & 6 & 0\end{pmatrix}\]
Bước 1: Tính định thức \[\det(A) = 1(0-24) - 2(0-20) + 3(0-5) = -24 + 40 - 15 = 1\] Vì \(det(A) = 1 \ne 0\) nên ma trận \(A\) có ma trận nghịch đảo.
Bước 2: Tìm ma trận phụ hợp \(A^*\) \[ A^*= C^T = \begin{pmatrix}-24 & 20 & -5 \\18 & -15 & 4 \\5 & -4 & 1\end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix}-24 & 18 & 5 \\20 & -15 & -4 \\-5 & 4 & 1\end{pmatrix} \]
Bước 3: Áp dụng công thức \[ A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix}-24 & 18 & 5 \\20 & -15 & -4 \\-5 & 4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-24 & 18 & 5 \\20 & -15 & -4 \\-5 & 4 & 1\end{pmatrix} \]
Ý tưởng: Lập ma trận mở rộng [A|I], sau đó dùng các phép biến đổi sơ cấp theo hàng để đưa ma trận A (vế trái) về ma trận đơn vị I. Khi đó, ma trận I (vế phải) sẽ biến thành ma trận nghịch đảo \(A^{-1}\).
\[[A|I] \xrightarrow{\text{Các phép biến đổi sơ cấp}} [I|A^{-1}]\]
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của A \[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 5 & 4 \\ 3 & 7 & 4 \end{pmatrix}\]
Quá trình biến đổi: \[ \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 7 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \xrightarrow{\begin{smallmatrix} h_2:= h_2 - 2h_1 \\ h_3:= h_3 - 3h_1 \end{smallmatrix}} \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 7 & -3 & 0 & 1 \end{array} \right] \] \[ \xrightarrow{h_3:= h_3 - h_2} \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 \end{array} \right] \xrightarrow{\begin{smallmatrix} h_1:= h_1 + h_3 \\ h_2:= h_2 - 6h_3 \end{smallmatrix}} \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & 7 & -6 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 \end{array} \right] \] \[ \xrightarrow{h_1:= h_1 - 2h_2} \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -8 & -15 & 13 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & 7 & -6 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 \end{array} \right] \]
Kết luận: \[A^{-1} = \begin{pmatrix}-8 & -15 & 13 \\4 & 7 & -6 \\-1 & -1 & 1\end{pmatrix}\]
Nguyên tắc: Một hệ phương trình tuyến tính có dạng Ax = b, nếu ma trận A khả nghịch (tức là det(A) ≠ 0), thì hệ có nghiệm duy nhất được tìm bằng công thức: \[X = A^{-1}B\]
Ví dụ: Giải hệ phương trình sau: \[ \begin{cases} x + 2y + 3z = 3 \\ y + 4z = 3 \\ 5x + 6y = 1 \end{cases} \]
Bước 1: Viết hệ dưới dạng ma trận AX = B \[ \underbrace{ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix} }_{A} \underbrace{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} }_{X} = \underbrace{ \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} }_{B} \]
Bước 2: Tìm ma trận nghịch đảo \(A^{-1}\)
det(A) = 1(0-24) - 2(0-20) + 3(0-5) = 1.det(A) ≠ 0, ma trận A có ma trận nghịch đảo.Bước 3: Tính nghiệm x = A⁻¹b \[ x = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-24)(3) + (18)(3) + (5)(1) \\ (20)(3) + (-15)(3) + (-4)(1) \\ (-5)(3) + (4)(3) + (1)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -72 + 54 + 5 \\ 60 - 45 - 4 \\ -15 + 12 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13 \\ 11 \\ -2 \end{pmatrix} \]
Kết luận: Vậy nghiệm của hệ là \(x = -13, y = 11, z = -2\).
Hệ phương trình: \[ \begin{cases} 2x_1 + x_2 - 3x_3 + 3x_4 = 3 \\ x_1 + x_2 + 5x_3 - x_4 = 1 \\ 3x_1 + 2x_2 - x_3 - x_4 = 2 \\ x_1 - 2x_2 + x_3 + x_4 = 4 \end{cases} \]
Bước 1: Viết hệ dưới dạng ma trận Ax = b \[ \underbrace{ \begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 & 3 \\ 1 & 1 & 5 & -1 \\ 3 & 2 & -1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} }_{A} \underbrace{ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} }_{x} = \underbrace{ \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} }_{b} \]
Bước 2: Tìm ma trận nghịch đảo A⁻¹ (Tính toán cho thấy det(A) = -63 ≠ 0. Giả sử đã tính được A⁻¹ bằng phương pháp Gauss-Jordan)
\[ A^{-1} = -\frac{1}{63} \begin{pmatrix} -7 & 21 & -7 & 28 \\ 1 & -12 & 15 & -9 \\ -7 & 7 & 7 & -7 \\ -14 & -14 & 7 & 7 \end{pmatrix} \]
Bước 3: Tính nghiệm x = A⁻¹b \[ x = -\frac{1}{63} \begin{pmatrix} -7 & 21 & -7 & 28 \\ 1 & -12 & 15 & -9 \\ -7 & 7 & 7 & -7 \\ -14 & -14 & 7 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} = -\frac{1}{63} \begin{pmatrix} -21 + 21 - 14 + 112 \\ 3 - 12 + 30 - 36 \\ -21 + 7 + 14 - 28 \\ -42 - 14 + 14 + 28 \end{pmatrix} = -\frac{1}{63} \begin{pmatrix} 98 \\ -15 \\ -28 \\ -14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -98/63 \\ 15/63 \\ 28/63 \\ 14/63 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -14/9 \\ 5/21 \\ 4/9 \\ 2/9 \end{pmatrix} \]
Kết luận: Vậy nghiệm của hệ là: \(x_1 = -\frac{14}{9}, x_2 = \frac{5}{21}, x_3 = \frac{4}{9}, x_4 = \frac{2}{9}\).
Mô hình Cân đối Liên ngành Leontief (Leontief Input-Output Model) là một công cụ phân tích (kinh tế) định lượng do Wassily Leontief (đoạt giải Nobel Kinh tế năm 1973) phát triển. Mô hình này mô tả sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các ngành sản xuất trong một nền kinh tế.
Về cơ bản, mô hình này trả lời câu hỏi cốt lõi:
Để đáp ứng nhu cầu cuối cùng/tiêu dùng cuối cùng, mỗi ngành trong nền kinh tế cần phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm, biết rằng các ngành này còn sử dụng sản phẩm của nhau để làm đầu vào sản xuất?
Các thành phần chính của Mô hình
Ma trận hệ số kỹ thuật (Ma trận A):
i cần thiết để sản xuất ra một đơn vị giá trị sản phẩm của ngành j.Vector Tổng cầu (Vector X):
i sản xuất ra.Vector Cầu cuối cùng (Vector D):
D_i là giá trị sản phẩm của ngành i dành cho tiêu dùng cuối cùng (không phải để sản xuất tiếp).Phương trình Toán học - mô tả mối quan hệ cơ bản của các thành phần:
Tổng sản lượng = Nhu cầu trung gian + Nhu cầu cuối cùng
Biểu diễn dưới dạng ma trận:
\[X = AX + D\]
Trong đó: * \(X\) là vector Tổng cầu. * \(AX\) là vector Cầu trung gian (lượng sản phẩm các ngành dùng của nhau). * \(D\) là vector Cầu cuối cùng.
Mục tiêu chính
Bài toán phổ biến nhất là: Biết ma trận A và vector cầu cuối cùng D, hãy tìm vector tổng cầu X.
Để giải bài toán này, ta biến đổi phương trình: \[X - AX = D\] \[(I - A)X = D\] \[X = (I - A)^{-1}D\]
Ma trận \(L = (I - A)^{-1}\) được gọi là ma trận nghịch đảo Leontief và nó rất quan trọng, cho biết tổng sản lượng (trực tiếp và gián tiếp) của mỗi ngành cần thiết để đáp ứng một đơn vị cầu cuối cùng.
Một số ký hiệu:
| Số thứ tự | Sản lượng | Sản phẩm trung gian | Tiêu dùng cuối cùng |
|---|---|---|---|
| 1 | \(Q_1\) | \(q_{11} \quad q_{12} \quad \cdots \quad q_{1n}\) | \(q_1\) |
| 2 | \(Q_2\) | \(q_{21} \quad q_{22} \quad \cdots \quad q_{2n}\) | \(q_2\) |
| … | … | … | … |
| n | \(Q_n\) | \(q_{n1} \quad q_{n2} \quad \cdots \quad q_{nn}\) | \(q_n\) |
| \(Q_0\) | \(q_{01} \quad q_{02} \quad \cdots \quad q_{0n}\) | \(q_0\) |
Điều kiện cân đối về quá trình phân phối sản phẩm. \[Q_i = \sum_{j=1}^{n} q_{ij} + q_i, \quad \forall i=\overline{1,n} \tag{1}\]
Điều kiện cân đối về quá trình phân bổ lao động xã hội: \[Q_0 = \sum_{j=1}^{n} q_{0j} + q_0, \quad \forall j=\overline{1,n} \tag{2}\]
Từ hệ (1) suy ra \[Q_i = \sum_{j=1}^{n} \left( \frac{q_{ij}}{Q_j} \right) Q_j + q_i = \sum_{j=1}^{n} \alpha_{ij} Q_j + q_i \quad \forall i=\overline{1,n} \tag{3}\]
\[ \begin{cases} Q_1 = \alpha_{11}Q_1 + \alpha_{12}Q_2 + \dots + \alpha_{1n}Q_n + q_1 \\ Q_2 = \alpha_{21}Q_1 + \alpha_{22}Q_2 + \dots + \alpha_{2n}Q_n + q_2 \\ \vdots \\ Q_n = \alpha_{n1}Q_1 + \alpha_{n2}Q_2 + \dots + \alpha_{nn}Q_n + q_n \end{cases} \]
\[Q = AQ+q\]
Ta có thể suy ra: \[Q=\theta q \text{ với } \theta = (I-A)^{-1}\]
Ý nghĩa.
Một số ký hiệu:
Chắc chắn rồi. Tôi đã xóa cột “Tổng” của “Nhu cầu trung gian” ra khỏi bảng theo yêu cầu của bạn.
Dưới đây là bảng đã được cập nhật:
| Các ngành | Giá trị sản xuất | Nhu cầu trung gian | Nhu cầu cuối cùng | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Tiêu dùng | Tích lũy tài sản | Xuất khẩu | Nhập khẩu | Tổng | |||
| 1 | \(X_1\) | \(x_{11} \quad x_{12} \quad \cdots \quad x_{1n}\) | \(f_{11}\) | \(f_{12}\) | \(f_{13}\) | \(-f_{14}\) | \(x_1\) |
| 2 | \(X_2\) | \(x_{21} \quad x_{22} \quad \cdots \quad x_{2n}\) | \(f_{21}\) | \(f_{22}\) | \(f_{23}\) | \(-f_{24}\) | \(x_2\) |
| … | … | … | … | … | … | … | … |
| n | \(X_n\) | \(x_{n1} \quad x_{n2} \quad \cdots \quad x_{nn}\) | \(f_{n1}\) | \(f_{n2}\) | \(f_{n3}\) | \(-f_{n4}\) | \(x_n\) |
| Các yếu tố đầu vào sơ cấp | Tổng | \(\sum_{i=1}^{n} x_{i1} \quad \cdots \quad \sum_{i=1}^{n} x_{in}\) | \(f_1\) | \(f_2\) | \(f_3\) | \(-f_4\) | Tổng |
| Lao động | \(Y_1\) | \(y_{11} \quad y_{12} \quad \cdots \quad y_{1n}\) | |||||
| Khấu hao | \(Y_2\) | \(y_{21} \quad y_{22} \quad \cdots \quad y_{2n}\) | |||||
| Thuế | \(Y_3\) | \(y_{31} \quad y_{32} \quad \cdots \quad y_{3n}\) | |||||
| Lợi nhuận | \(Y_4\) | \(y_{41} \quad y_{42} \quad \cdots \quad y_{4n}\) | |||||
| Tổng | \(Y_1 + \dots + Y_4\) | \(\sum_{i=1}^{4} y_{i1} \quad \cdots \quad \sum_{i=1}^{4} y_{in}\) | |||||
| GTSX | \(X_1 + \dots + X_n\) | \(X_1 \quad \cdots \quad X_n\) |
\[ \begin{cases} X_1 = x_{11} + x_{12} + \dots + x_{1n} + x_1 \\ X_2 = x_{21} + x_{22} + \dots + x_{2n} + x_2 \\ \vdots \\ X_n = x_{n1} + x_{n2} + \dots + x_{nn} + x_n \end{cases} \]
Đặt \(a_{ij} = \frac{x_{ij}}{X_j}\) ta sẽ có:
\[ \begin{cases} X_1 = a_{11}X_1 + a_{12}X_2 + \dots + a_{1n}X_n + x_1 \\ X_2 = a_{21}X_1 + a_{22}X_2 + \dots + a_{2n}X_n + x_2 \\ \vdots \\ X_n = a_{n1}X_1 + a_{n2}X_2 + \dots + a_{nn}X_n + x_n \end{cases} \] \[X = AX+x\] Với \(X = (X_1,X_2,\dots,X_n)^T\); \(x = (x_1, x_2, \dots, x_n)^T\); \(A = (a_{ij})_{n \times n}\)
\[(I-AX)=x\] \[X = Cx\]
Trong đó \(C = (I - A)^{-1} = (c_{ij})_{n \times n}\) : gọi là ma trận hệ số chi phí toàn bộ dạng giá trị.
Ý nghĩa. \(c_{ij}\) cho biết: Để sản xuất một đơn vị giá trị cho nhu cầu tiêu dùng cuối cùng của ngành i, thì ngành i cần phải mua một lượng sản phẩm trị giá là \(c_{ij}\) đơn vị giá trị từ ngành thứ \(j\).
Phương trình phân phối giá trị sản phẩm:
\[X_i = \sum_{j=1}^{n} x_{ij} + f_{i1} + f_{i2} + f_{i3} - f_{i4} = \sum_{j=1}^{n} x_{ij} + x_i \tag{1}\]
Phương trình hình thành cơ cấu GTSP: \[X_i = \sum_{j=1}^{n} x_{ij} + \sum_{h=1}^{4} y_{hi} \tag{2}\]
Từ (1) và (2) suy ra \[x_i = \sum_{h=1}^{4} y_{hi}\]
Giả sử thị trường có \(n\) mặt hàng có liên quan với nhau, nghĩa là khi giá của một mặt hàng nào đó thay đổi thì nó không những ảnh hưởng tới lượng cung \((Q_S_i)\) và lượng cầu (\({Q_D}_i\)) của bản thân mặt hàng đó, mà nó còn ảnh hưởng tới giá và lượng cung, lượng cầu của các mặt hàng còn lại. Người ta thường biểu diễn sự phụ thuộc của lượng cung và lượng cầu vào giá của các hàng hóa bởi hàm cung và hàm cầu như sau:
Chắc chắn rồi. Dưới đây là nội dung từ hình ảnh được chuyển đổi sang định dạng Markdown:
\[Q_{S_i} = S_i(P_1, P_2, ..., P_n), \quad i=1,2,...,n;\] \[Q_{D_i} = D_i(P_1, P_2, ..., P_n), \quad i=1,2,...,n.\]
Trong đó \(P_1, P_2, ..., P_n\) là ký hiệu thứ tự là giá của hàng hóa 1, 2, …, n.
Mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa có liên quan (cân bằng cung cầu) được xác định bởi: \[ Q_{S_i} = Q_{D_i}, \quad i=1, 2, ..., n. \]
Nếu giả thiết các \(Q_{S_i}\) và \(Q_{D_i}\) có dạng tuyến tính, thì mô hình trên chính là một hệ gồm có \(n\) phương trình và \(n\) ẩn \(P_1, P_2,\dots , P_n\).
Thị trường đặt trạng thái cân bằng khi: \[Q_{S_i} = Q_{D_i}\] Giải hệ phương trình này chúng ta sẽ có mức giá và và lượng hàng hóa mà tại đó thị trường đạt được trạng thái cân bằng.
Một số ký hiệu:
Để nền kinh tế đạt được trạng thái cân bằng thì tổng sản phẩm (hay tổng thu nhập) của một nền kinh tế (\(Y\)) phải bằng tổng chi tiêu dự kiến cho hàng hóa và dịch vụ. Nghĩa là: \[Y=G_0 + I_0 +C \tag{1}\] Ngoài ra giữa chi tiêu \(C\) tổng thu nhập có mối quan hệ sau: \[C = aY +b \tag{2}\] từ (1) và (2) ta có: \[\begin{cases} Y = C + I_o + G_o \\ C = aY + b \end{cases}\] Giải hệ phương trình trên ta được mức tiêu dùng và tổng thu nhập mà tại đó nền kinh tế sẽ đạt được trạng thái cân bằng.