Atividade

Um experimento químico foi repetido 5 vezes, sob uma mesma temperatura fixa, e foi observada a quantidade de um certo composto químico catalisado em 100 mil de água. Os dados abaixo são relativos à quantidade, em gramas, do componente químico, a várias temperatudas, em C.

a)Estime os coeficientes da reta que estabelece a relação entre a temperatura e a quantidade do componente;

b)Construa o gráfico de linha para o modelo estimado;

c)Quando a quantidade for 55, qual será o valor da temperatura?

e)Encontre os resíduos;

Interprete os resultados encontrados.

O conjunto de dados é apresentado a seguir:

x=seq(0,90,by=10) 
temperatura=rep(x,each=5) 
quantidade=c(7,8,8,6,7,10,12,11,10,12,15,18,17,18,20,22,25,28,21,26,32,30,35,33,32,38,37,38,40,41,46,43,49,45,48,50,52,54,52,53,55,58,56,58,56,60,64,58,59,61)
dados=data.frame(temperatura,quantidade)
dados
##    temperatura quantidade
## 1            0          7
## 2            0          8
## 3            0          8
## 4            0          6
## 5            0          7
## 6           10         10
## 7           10         12
## 8           10         11
## 9           10         10
## 10          10         12
## 11          20         15
## 12          20         18
## 13          20         17
## 14          20         18
## 15          20         20
## 16          30         22
## 17          30         25
## 18          30         28
## 19          30         21
## 20          30         26
## 21          40         32
## 22          40         30
## 23          40         35
## 24          40         33
## 25          40         32
## 26          50         38
## 27          50         37
## 28          50         38
## 29          50         40
## 30          50         41
## 31          60         46
## 32          60         43
## 33          60         49
## 34          60         45
## 35          60         48
## 36          70         50
## 37          70         52
## 38          70         54
## 39          70         52
## 40          70         53
## 41          80         55
## 42          80         58
## 43          80         56
## 44          80         58
## 45          80         56
## 46          90         60
## 47          90         64
## 48          90         58
## 49          90         59
## 50          90         61

O modelo vai ser dado a seguir nos valores de \(\beta_0\) e \(\beta_1\)

dados=lm(temperatura~quantidade)
summary(dados)
## 
## Call:
## lm(formula = temperatura ~ quantidade)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -7.3240 -2.0863 -0.2326  2.0011  8.6455 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -9.06411    1.07937  -8.398 5.56e-11 ***
## quantidade   1.55894    0.02753  56.626  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 3.56 on 48 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9853, Adjusted R-squared:  0.9849 
## F-statistic:  3207 on 1 and 48 DF,  p-value: < 2.2e-16

O gráfico de linhas é apresentado abaixo:

plot(temperatura,quantidade)

Quando a quantidade for 55, o valor da temperatura é

O valor dos resíduos é dado abaixo:

previsao_exel=predict(dados)
residuos_exel=residuals(dados)
resultado=data.frame(temperatura,previsao_exel,residuos_exel)
resultado
##    temperatura previsao_exel residuos_exel
## 1            0     1.8484854   -1.84848543
## 2            0     3.4074274   -3.40742743
## 3            0     3.4074274   -3.40742743
## 4            0     0.2895434   -0.28954343
## 5            0     1.8484854   -1.84848543
## 6           10     6.5253114    3.47468857
## 7           10     9.6431954    0.35680457
## 8           10     8.0842534    1.91574657
## 9           10     6.5253114    3.47468857
## 10          10     9.6431954    0.35680457
## 11          20    14.3200214    5.67997857
## 12          20    18.9968474    1.00315257
## 13          20    17.4379054    2.56209457
## 14          20    18.9968474    1.00315257
## 15          20    22.1147314   -2.11473143
## 16          30    25.2326154    4.76738457
## 17          30    29.9094414    0.09055856
## 18          30    34.5862674   -4.58626744
## 19          30    23.6736734    6.32632657
## 20          30    31.4683834   -1.46838344
## 21          40    40.8220354   -0.82203544
## 22          40    37.7041514    2.29584856
## 23          40    45.4988614   -5.49886144
## 24          40    42.3809774   -2.38097744
## 25          40    40.8220354   -0.82203544
## 26          50    50.1756874   -0.17568744
## 27          50    48.6167454    1.38325456
## 28          50    50.1756874   -0.17568744
## 29          50    53.2935714   -3.29357144
## 30          50    54.8525134   -4.85251344
## 31          60    62.6472234   -2.64722344
## 32          60    57.9703974    2.02960256
## 33          60    67.3240494   -7.32404945
## 34          60    61.0882814   -1.08828144
## 35          60    65.7651074   -5.76510745
## 36          70    68.8829914    1.11700855
## 37          70    72.0008754   -2.00087545
## 38          70    75.1187594   -5.11875945
## 39          70    72.0008754   -2.00087545
## 40          70    73.5598174   -3.55981745
## 41          80    76.6777014    3.32229855
## 42          80    81.3545274   -1.35452745
## 43          80    78.2366434    1.76335655
## 44          80    81.3545274   -1.35452745
## 45          80    78.2366434    1.76335655
## 46          90    84.4724115    5.52758855
## 47          90    90.7081795   -0.70817945
## 48          90    81.3545274    8.64547255
## 49          90    82.9134695    7.08653055
## 50          90    86.0313535    3.96864655

A análise dos dados revela que o modelo de previsão tem desempenho variável conforme a temperatura. Para temperaturas mais baixas (0°C), os resíduos são consistentemente negativos e de grande magnitude, indicando que o modelo tende a superestimar os valores previstos. À medida que a temperatura aumenta, especialmente nas faixas de 10°C a 50°C, os resíduos se tornam menores e mais equilibrados, sugerindo uma melhor precisão nas previsões. No entanto, ainda existem alguns resíduos negativos e positivos, como observado para 20°C e 30°C. Em temperaturas mais altas (60°C a 90°C), os resíduos se tornam mais erráticos, com variações tanto positivas quanto negativas, indicando que o modelo tem dificuldades em lidar com temperaturas extremas. Apesar disso, o modelo ainda apresenta algumas previsões com resíduos pequenos, como em 70°C e 80°C. Em resumo, o modelo parece funcionar melhor em temperaturas intermediárias, enquanto as previsões para temperaturas extremas apresentam maiores erros.