Atividade_2
Breno Jesus
2025-09-16
ATIVIDADE 2
Um experimento químico foi repetido 5 vezes, sob uma mesma temperatura fixa, e foi observada a quantidade de um certo composto químico catalisado em 100 mil de água. Os dados abaixo são relativos à quantidade, em gramas, do componente químico, a várias temperaturas, em C.
Estime os coeficientes da reta que estabelece a relação entre a temperatura e a quantidade do componente;
Construa o gráfico de linha para o modelo estimado
Quando a quantidade for 55, qual será o valor da temperatura?
Encontre os resíduos
Interprete os resultados encontrados.
RESOLUÇÃO
O conjunto de dados é apresentado a seguir:
x=seq(0,90,by=10)
temperatura=rep(x,each=5)
quantidade=c(7,8,8,6,7,10,12,11,10,12,15,18,17,18,20,22,25,28,21,26,32,30,35,33,32,38,37,38,40,41,46,43,49,45,48,50,52,54,52,53,55,58,56,58,56,60,64,58,59,61)
dados=data.frame(temperatura,quantidade)
dados## temperatura quantidade
## 1 0 7
## 2 0 8
## 3 0 8
## 4 0 6
## 5 0 7
## 6 10 10
## 7 10 12
## 8 10 11
## 9 10 10
## 10 10 12
## 11 20 15
## 12 20 18
## 13 20 17
## 14 20 18
## 15 20 20
## 16 30 22
## 17 30 25
## 18 30 28
## 19 30 21
## 20 30 26
## 21 40 32
## 22 40 30
## 23 40 35
## 24 40 33
## 25 40 32
## 26 50 38
## 27 50 37
## 28 50 38
## 29 50 40
## 30 50 41
## 31 60 46
## 32 60 43
## 33 60 49
## 34 60 45
## 35 60 48
## 36 70 50
## 37 70 52
## 38 70 54
## 39 70 52
## 40 70 53
## 41 80 55
## 42 80 58
## 43 80 56
## 44 80 58
## 45 80 56
## 46 90 60
## 47 90 64
## 48 90 58
## 49 90 59
## 50 90 61- Os valores de \(\beta_0\) e \(\beta_1\) são dados a seguir:
ajuste_dados=lm(quantidade~temperatura,data=dados)
ajuste_dados##
## Call:
## lm(formula = quantidade ~ temperatura, data = dados)
##
## Coefficients:
## (Intercept) temperatura
## 6.240 0.632Os resíduos são apresentados a seguir:
previsao_dados=predict(ajuste_dados)
residuos_dados=residuals(ajuste_dados)
resultado_2=data.frame(quantidade,previsao_dados,residuos_dados)
resultado_2## quantidade previsao_dados residuos_dados
## 1 7 6.24 0.76
## 2 8 6.24 1.76
## 3 8 6.24 1.76
## 4 6 6.24 -0.24
## 5 7 6.24 0.76
## 6 10 12.56 -2.56
## 7 12 12.56 -0.56
## 8 11 12.56 -1.56
## 9 10 12.56 -2.56
## 10 12 12.56 -0.56
## 11 15 18.88 -3.88
## 12 18 18.88 -0.88
## 13 17 18.88 -1.88
## 14 18 18.88 -0.88
## 15 20 18.88 1.12
## 16 22 25.20 -3.20
## 17 25 25.20 -0.20
## 18 28 25.20 2.80
## 19 21 25.20 -4.20
## 20 26 25.20 0.80
## 21 32 31.52 0.48
## 22 30 31.52 -1.52
## 23 35 31.52 3.48
## 24 33 31.52 1.48
## 25 32 31.52 0.48
## 26 38 37.84 0.16
## 27 37 37.84 -0.84
## 28 38 37.84 0.16
## 29 40 37.84 2.16
## 30 41 37.84 3.16
## 31 46 44.16 1.84
## 32 43 44.16 -1.16
## 33 49 44.16 4.84
## 34 45 44.16 0.84
## 35 48 44.16 3.84
## 36 50 50.48 -0.48
## 37 52 50.48 1.52
## 38 54 50.48 3.52
## 39 52 50.48 1.52
## 40 53 50.48 2.52
## 41 55 56.80 -1.80
## 42 58 56.80 1.20
## 43 56 56.80 -0.80
## 44 58 56.80 1.20
## 45 56 56.80 -0.80
## 46 60 63.12 -3.12
## 47 64 63.12 0.88
## 48 58 63.12 -5.12
## 49 59 63.12 -4.12
## 50 61 63.12 -2.12Reta dos minimos quadrados
plot(quantidade~temperatura,data=dados)
abline(ajuste_dados,col="red")
Para determinar o valor da temperatura quando a quantidade for 55,
utilizamos a fórmula y=6.24+0.632x, onde y representa a quantidade e x a
tempratura. Substituindo y por 55, temos: 55=6.24+0.632x. Subtraindo
6.24 dos dois lados da equação, obtemos 48,76=0.632x. Dividindo ambos os
lados por 0.632, encontramos x ~ 77,2. Portanto, quando a quantidade for
55 a tempratura sera aproximadamente 77,2 graus.
A análise dos dados revelou uma relação linear positiva entre a
temperatura e a quantidade, indicando que, conforme a temperatura
aumenta, a quantidade também tende a aumentar. O modelo de regressão
linear ajustado forneceu os coeficientes \(\beta_0\) e \(\beta_1\), que representam,
respectivamente, o valor inicial da quantidade (quando a temperatura é
zero) e a taxa média de crescimento da quantidade para cada unidade de
aumento na temperatura. A reta dos mínimos quadrados traçada sobre o
gráfico evidencia um bom ajuste visual do modelo aos dados observados.
Além disso, a análise dos resíduos — as diferenças entre os valores
observados e os previstos pelo modelo — não indicou padrões
sistemáticos, o que sugere que o modelo linear é apropriado para
descrever a relação entre as variáveis dentro do intervalo analisado.
Dessa forma, o modelo pode ser utilizado com segurança para realizar
estimativas e previsões nesse contexto.