INTRODUCCIÓN

En esta parte del curso se desarrollarán los capítulos 2,3,4, 5 y 6 del libro de Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias de Walpole. Cuando se escribe un solo guión bajo es para que aparezca en cursiva

Definición 1. Espacio muestral

El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. El espacio muestra, se simboliza con la letra $\small S$.

Ejemplo 1

Se lanza una moneda al aire, entonces:

\[ S = \{cara, sello\} \] Es aleatorio y tengo dos posibilidades: cara o sello

Ejemplo 2

Se lanza una moneda al aire dos veces, entonces,

\[ S = \{cc, cs,sc,ss\} \]

library(DiagrammeR)

# Diagrama en formato DOT
grViz("
digraph arbol_moneda {
  node [fontname='Times-BoldItalic', fontsize=12, fontcolor=black,shape=hexagon, style=filled, color=lightblue, peripheries=2]

  Inicio -> Cara1 [label='Cara', fontname='Times-Italic']
  Inicio -> Sello1 [label='Sello', fontname='Times-Italic']

  Cara1 -> Cara2 [label='Cara', fontname='Times-Italic']
  Cara1 -> Sello2 [label='Sello', fontname='Times-Italic']

  Sello1 -> Cara3 [label='Cara', fontname='Times-Italic']
  Sello1 -> Sello3 [label='Cara', fontname='Times-Italic']

  Inicio [label='Inicio', color=deeppink, shape=circle]
  Cara1 [label='Cara', color=lightpink]
  Sello1 [label='Sello', color=lightpink]
  Cara2 [label='Cara', color=mistyrose, shape=box]
  Sello2 [label='Sello', color=mistyrose, shape=box]
  Cara3 [label='Cara', color=mistyrose, shape=box]
  Sello3 [label='Sello', color=mistyrose, shape=box]
}
")

Nota

Cuando el número de elementos de $\small S$ es grande lo mejor calcular el número de sus elementos.

Ejemplo 3

Cuántos elementos tiene el espacio muestral del experimento de conocer todas las respuestas posibles de un cuestionario de 5 preguntas de opción múltiple con cuatro posibilidades?

Solución:

\[n(S)= 4^5\]

Definición 2. Evento

Un evento es cualquier subconjunto de un espacio muestral. Se simbolizan los eventos con letras mayúsculas del alfabeto occidental.

Ejemplo 4

Sea $\small S=\{1,2,3,4,5,6\}$ que representa el espacio muestral del lanzamiento de un dado legal. Se definen los siguientes eventos:

$\small A=\{1,2,4,5\}$, $\small B=\{1,3,4,6\}$, $\small C=\{1,2,5,6\}$ $\small S$, $\small \phi$

Definición 3. Operaciones Entre Conjuntos

Unión $A\cup B$

La unión de dos eventos A y B, que se denota con el símbolo A ∪ B, es el evento que contiene todos los elementos que pertenecen a A o a B, o a ambos.

$A\cup B = \{x: x\in A \vee x\in B\}$ ´

knitr::include_graphics("Unión.png")

Intersección $A\cap B$

Dados dos conjuntos A y B, su intersección es otro subconjunto cuyos elementos, necesariamente, pertenecen a ambos conjunto.

$A\cap B = \{x: x\in A \wedge x\in B\}$

knitr::include_graphics("Interseccion.png")

El complemento $A^c$

Es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al conjunto universal (U) pero que no pertenecen al conjunto A

$A^c = \{x : x \notin A\}$

knitr::include_graphics("Complemento.png")

Ejercicio 1

Si S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A = {0, 2, 4, 6, 8}, B = {1, 3, 5, 7, 9}, C = {2, 3, 4, 5}, D = {1, 6,7}

Liste los elementos de los conjuntos que corresponden a los siguientes eventos: a) A ∪ C; b) A ∩ B; c) C’; d) (C’ ∩ D) ∪ B; e) (S ∩ C)’ ; f) A ∩ C ∩ D’

Solucion:

S <- 0:9 
A <- c(0, 2, 4, 6, 8)
B <- c(1, 3, 5, 7, 9)
C <- c(2, 3, 4, 5)
D <- c(1, 6, 7)

ca <- setdiff(S,A);ca

## [1] 1 3 5 7 9

cb <- setdiff(S,B);cb

## [1] 0 2 4 6 8

intab <- intersect(ca,cb);intab

## integer(0)

dif <- setdiff(S,intab);dif

##  [1] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

inter <- intersect(dif,D);inter

## [1] 1 6 7

ej <- intersect(setdiff(S, intersect(setdiff(S,A),setdiff(S,B))),D);ej

## [1] 1 6 7

Técnicas de conteo

Sirven para determinar el numero de puntos muestrales en un evento o en el espacio. Veremos 3 metodos de conteo:

Regla del producto.
La permutacion.
La combinatoria

Regla del Producto

Si una operación se puede llevar a cabo en $n_1$ formas, y si para cada una de éstas se puede realizar una segunda operación en $n_2$ formas, entonces las dos operaciones se pueden ejecutar juntas de $n_1 * n_2$ formas.

Ejemplo

Un urbanista de una nueva subdivisión ofrece a los posibles compradores de una casa elegir entre Tudor, rústica, colonial y tradicional el estilo de la fachada, y entre una planta, dos pisos y desniveles el plano de construcción. ¿En cuántas formas diferentes puede un comprador ordenar una de estas casas?

knitr::include_graphics("multiplicacion.png")

Como una extensión de la regla de la multiplicación se tiene: Si una operación se puede ejecutar en $n_1$ formas, y si para cada una de éstas se puede llevar a cabo una segunda operación en $n_2$ formas, y para cada una de las primeras dos se puede realizar una tercera operación en $n_3$ formas, y así sucesivamente, entonces la serie de k operaciones se puede realizar en $n_1$*$n_2$…$n_k$ formas

Permutación

Una permutación es un arreglo de k objetos tomados de n objetos con \[ \small k <= n \] en el que le orden importa.

\[ \small {}_nP_k=\frac{n!}{(n-k)!} \] - Nota: el factorian $n! = n(n-1)(n-2)...2.1$, el factorial de 0 $0!=1$

Ejemplo

En un año se otorgará uno de tres premios (a la investigación, la enseñanza y el servicio) a algunos de los estudiantes, de un grupo de 25, de posgrado del departamento de estadística. Si cada estudiante puede recibir un premio como máximo, ¿cuántas selecciones posibles habría?

Solución: Como los premios son distinguibles, se trata de un problema de permutación. El número total de puntos muestrales es

perm <- function(n,k){factorial(n)/factorial(n-k)}
perm(3,3)

## [1] 6

cat("El número de premios posibles es:", perm(3,3))

## El número de premios posibles es: 6

Combinación

Una combinación o combinatoria es un arreglo de k objetos tomados de n objetos con \[ \small k <= n \] en el que le orden importa.

\[ \small {}_nC_k=\frac{n!}{k(n-k)!} \]

Ejemplo

Se quere saber de cuantas formas se puede organizar a estudiantes en grupos de a 3 de un salón de 32, donde no importa el orden

k <- 3
n <- 32
sol <- choose(52,5) #hace la combinatoria
cat("El numero total es:", sol)

## El numero total es: 2598960

Probabilidad de un evento

La probabilidad de un evento A es la suma de los pesos de todos los puntos muestrales en A.

Por lo tanto:

La probabilidad es un número entre 0 y 1

\[ 0 ≤ P(A) ≤ 1 \] - Probabilidad del evento imposible. La probabilidad de vacío es 0

\[ P(ϕ)=0 \] - Probabilidad del evento seguro (si compro toda las boletas de la rifa)

\[ P(S)=1 \]

\[ P(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup ...) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) + ... \]

Ejemplo

Se carga un dado de forma que exista el doble de probabilidades de que salga un número par que uno impar. Si E es el evento de que ocurra un número menor que 4 en un solo lanzamiento del dado, calcule P(E).

S <-  1:6
E <- c(1,2,3)
impar <- 1/9
par <- 2/9
p.E <- 1/9 + 2/9 + 1/9
cat("P(E)=",p.E)

## P(E)= 0.4444444

Definición Clásica de Probabilidad - Esta es la fórmula que debemos usar

Si un experimento puede dar como resultado cualquiera de N diferentes resultados que tienen las mismas probabilidades de ocurrir, y si exactamente n de estos resultados corresponden al evento A, entonces la probabilidad del evento A es

\[ P(A)= \frac{n(A)}{n(S)} \]

Ejemplo

En una mano de póquer que consta de 5 cartas encuentre la probabilidad de tener 2 ases y 3 jotas.

t <- 52 #Total de cartas
a <- 5 #Maso
s <- choose(t,a)
ases <- 4
jotas <- 4
A <- choose(ases,2)*choose(jotas,3)
p.A <- A/s
cat("La probabilidad de tener 2 ases y 3 jotas es:", p.A)

## La probabilidad de tener 2 ases y 3 jotas es: 9.234463e-06

Tarea Baloto

El juego consiste en acertar en cualquier orden 6, 5, 4 o 3 números del 1 al 45. Se puede jugar a través de un tarjetón de juego que tiene 5 paneles para 5 apuestas distintas.

total_numeros <- 45
numeros_ganadores <- 6

# Función para calcular la probabilidad de acertar k números
probabilidad_k <- function(k) {
  formas_acierto <- choose(numeros_ganadores, k) * choose(total_numeros - numeros_ganadores, 6 - k)
  total_combinaciones <- choose(total_numeros, 6)
  return(formas_acierto / total_combinaciones)
}

# Probabilidades de 3, 4, 5 y 6 aciertos
p3 <- probabilidad_k(3)
p4 <- probabilidad_k(4)
p5 <- probabilidad_k(5)
p6 <- probabilidad_k(6)

# Mostrar resultados
cat("Probabilidad de acertar 3 números:", p3, "\n")

## Probabilidad de acertar 3 números: 0.0224406

cat("Probabilidad de acertar 4 números:", p4, "\n")

## Probabilidad de acertar 4 números: 0.001364631

cat("Probabilidad de acertar 5 números:", p5, "\n")

## Probabilidad de acertar 5 números: 2.872907e-05

cat("Probabilidad de acertar 6 números:", p6, "\n")

## Probabilidad de acertar 6 números: 1.227738e-07

Reglas aditivas

Regla 1

Si A y B son dos eventos, entonces:

\[ P( A U B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

Ejemplo

En un grupo de 100 estudiantes graduados de preparatoria, 54 estudiaron matemáticas, 69 estudiaron historia y 35 cursaron matemáticas e historia.

Si se selecciona al azar uno de estos estudiantes, calcule la probabilidad de que:

el estudiante haya cursado matemáticas o historia (probabilidad de la unión)
el estudiante no haya llevado ninguna de estas materias (complemento de la unión);
el estudiante haya cursado historia pero no matemáticas.

Solución de A

## La probabilidad solicitada es : 0.88

Solución de B

## La probabilidad de que no estudie nada es : 0.12

Solución de C

## Como se puede ver en el gráfico el total de estudiantes que cursaron historia pero no matemáticas es igual a : 34

## Y su probabilidad es igual a : 0.34

Regla 2

Si A y B son mutuamente exclueyentes, entonces

\[ P(A \cap B) = P(A) + P(B) \] ### Regla 3

Si $A_1,A_2,...,A_n$ son mutuamente excluyentes, entonces

\[ P(A_1 \cup A_2 \cup ··· \cup A_n) = P(A_1) + P(A_2) + ··· + P(A_n). \]

Regla 4

Si $A_1,A_2,...,A_n$ es una partición de un espacio muestral S, entonces

$$ P(A_1 A_2 ∪ ··· ∪ A_n) = P(A_1) + P(A_2) + ··· + P(A_n) = P(S) = 1.

$$ ### Regla 5

Si $A$ y $A'$ son eventos complementarios, entonces

\[ P(A) + P(A') = 1 \] ## PROBABILIDAD CONDICIONAL, INDEPENDENCIA Y REGLA DEL PRODUCTO

Ejemplo

Suponga que se tiene en una slaón de clases 35 estudiantes, los cuales se dividen en las siguientes categorías:

$\small A$: el individuo es hombre $\small A^c$: el individuo no es hombre $\small B$: el individuo bebe alcohol $\small F^c$: el individuo no bebe alcohol

Se elabora una tabla con la información siguiente:

library(knitr)
t.e <- data.frame("Categoría" = c("Bebe","No bebe","Total"),
                  "Hombre"=c(15, 10,25),
                  "No Hombre"=c(8, 2,10),
                  "Total" = c(23,12,35))

library(flextable)

flextable(t.e)

Categoría	Hombre	No.Hombre	Total
Bebe	15	8	23
No bebe	10	2	12
Total	25	10	35

Si se elige un individuo al azar, calcule las siguientes probabilidades:

A. El individuo bebe B. El individuo no bebe y no es hombre (Probabilidad conjunta) C. El individuo no bebe o no es hombre D. El individuo elegido no es hombre, calcule la probabilidad de que beba (Probailidad condicional)

SOLUCIÓN

A. 23/35 = 0,6571 B. 2/35 = 0,05714 C. 12/35 + 10/35 - 2/35 = 0,5714 D. 8/10 = 0,8

Para resolver las preguntas con R, se utiliza la información de la tabla

p.A <- 23/35 
cat("La probabilidad de que un individuo beba es:", p.A)

## La probabilidad de que un individuo beba es: 0.6571429

p.B <- 2/35
cat("La probabilidad de que un individuo beba es:", p.B)

## La probabilidad de que un individuo beba es: 0.05714286

p.C <- 12/35 + 10/35 - 2/35
cat("La probabilidad de que un individuo beba es:", p.C)

## La probabilidad de que un individuo beba es: 0.5714286

p.D <- 8/10
cat("La probabilidad de que un individuo beba es:", p.D)

## La probabilidad de que un individuo beba es: 0.8

Probabilidad Condicional

La probabilidad condicional de B dado A se define (para que yo pueda encontrar la probabilidad de B ya debe haber ocurrido A):

\[ \scriptsize P (A|B) = \frac {P (A \cap B)} {P (B)} \] - EJEMPLO

Suponga que en una planta se fabrican jeans desde 3 máquinas, A, B y C, con probabilidades 0.3, 0.45 y 0.25. Se sabe que si un jean presenta defectos por las máquinas, las probabilidades son: 0.02, 0.05 y 0,015, respectivamente. Se elige un jean al azar que presente un defecto, cuál es la probabilidad de que lo haya producido la máquina B

A: El jean lo produce la máquina A B: El jean lo produce la máquina B C: El jean lo produce la máquina C D: El jean tiene defectos D^c: El jean no tiene defectos

SOLUCIÓN

Se debe hacer un diagrama de árbol

# Diagrama en formato DOT
grViz("
digraph arbol_jeans {
  node [fontname='Times-BoldItalic', fontsize=12, fontcolor=black,shape=oval, style=filled, color=lightpink, peripheries=2, decorate=true]

  Fábrica -> M_A [label='0.3', fontname='Times-Italic']
  Fábrica -> M_B [label='0.45', fontname='Times-Italic']
  Fábrica -> M_C [label='0.25', fontname='Times-Italic']
  
  M_A -> D1 [label='0.02', fontname='Times-Italic']
  M_A -> Dc1 [label='0.98', fontname='Times-Italic']

  M_B -> D2 [label='0.05', fontname='Times-Italic']
  M_B -> Dc2 [label='0.95', fontname='Times-Italic']
  
  M_C -> D3 [label='0.015', fontname='Times-Italic']
  M_C -> Dc3 [label='0.985', fontname='Times-Italic']

  
  Fábrica [label='Fábrica', color=DarkSalmon, shape=circle]
  M_A [label='Máquina A', color=lightcoral]
  M_B [label='Máquina B', color=lightcoral]
  M_C [label='Máquina C', color=lightcoral]
  D1 [label='D', color=coral, shape=box]
  D2 [label='D', color=coral, shape=box]
  D3 [label='D', color=coral, shape=box]
  Dc1 [label=<<B>D</B><SUP>c</SUP>>, color=lightsalmon, shape=box]
  Dc2 [label=<<B>D</B><SUP>c</SUP>>, color=lightsalmon, shape=box]
  Dc3 [label=<<B>D</B><SUP>c</SUP>>, color=lightsalmon, shape=box]

}
")

Probabilidad

Mariana Pinilla, Mariana Diaz, Paula Mayorga, Ana Rodriguez

2025-09-16

INTRODUCCIÓN

Definición 1. Espacio muestral

Definición 2. Evento

Definición 3. Operaciones Entre Conjuntos

Solucion:

Técnicas de conteo

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Probabilidad de un evento

Ejemplo

Definición Clásica de Probabilidad - Esta es la fórmula que debemos usar

Ejemplo

Reglas aditivas

Regla 1

Ejemplo

Regla 2

Regla 4

Ejemplo

Probabilidad Condicional