Prova 16.09.25
Ariana da Silva
2025-09-16
Prova 16-09-25
Um experimento químico foi repetido 5 vezes, sob uma mesma temperatura fixa, e foi observada a quantidade de um certo composto químico catalisado em 100 mil de água. Os dados abaixo são relativos à quantidade, em gramas, do componente químico, a várias temperaturas, em C.
- Estime os coeficientes da reta que estabelece a relação entre a temperatura e a quantidade do componente;
- Construa o gráfico de linha para o modelo estimado
- Quando a quantidade for 55, qual será o valor da temperatura?
- Encontre os resíduos
- Interprete os resultados encontrados.
Resolução
O conjunto de dados é apresentado a seguir:
## temperatura quantidade
## 1 0 7
## 2 0 8
## 3 0 8
## 4 0 6
## 5 0 7
## 6 10 10
## 7 10 12
## 8 10 11
## 9 10 10
## 10 10 12
## 11 20 15
## 12 20 18
## 13 20 17
## 14 20 18
## 15 20 20
## 16 30 22
## 17 30 25
## 18 30 28
## 19 30 21
## 20 30 26
## 21 40 32
## 22 40 30
## 23 40 35
## 24 40 33
## 25 40 32
## 26 50 38
## 27 50 37
## 28 50 38
## 29 50 40
## 30 50 41
## 31 60 46
## 32 60 43
## 33 60 49
## 34 60 45
## 35 60 48
## 36 70 50
## 37 70 52
## 38 70 54
## 39 70 52
## 40 70 53
## 41 80 55
## 42 80 58
## 43 80 56
## 44 80 58
## 45 80 56
## 46 90 60
## 47 90 64
## 48 90 58
## 49 90 59
## 50 90 61- Os valores de \(\beta_0\) e \(\beta_1\) são dados a seguir:
##
## Call:
## lm(formula = quantidade ~ temperatura, data = dados)
##
## Coefficients:
## (Intercept) temperatura
## 6.240 0.632A seguir é apresentado uma análise dos coeficientes encontrados:
##
## Call:
## lm(formula = quantidade ~ temperatura, data = dados)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -5.12 -1.43 0.16 1.51 4.84
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 6.24000 0.59583 10.47 5.46e-14 ***
## temperatura 0.63200 0.01116 56.63 < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 2.267 on 48 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9853, Adjusted R-squared: 0.9849
## F-statistic: 3207 on 1 and 48 DF, p-value: < 2.2e-16- O gráfico de linha é apresentado a seguir:
- Quando a quantidade for 55, o valor da temperatura será de aproximadamente 77,15, conforme abaixo:
\[ 55 = 6,240 + 0,632x\\ 55 − 6,240 = 0,632x\\ 48,760 = 0,632x\\ x = 48,760 / 0,632\\ x ≈ 77,14 \]
- Os resíduos são apesentados a seguir:
## quantidade previsao_dados residuos_dados
## 1 7 6.24 0.76
## 2 8 6.24 1.76
## 3 8 6.24 1.76
## 4 6 6.24 -0.24
## 5 7 6.24 0.76
## 6 10 12.56 -2.56
## 7 12 12.56 -0.56
## 8 11 12.56 -1.56
## 9 10 12.56 -2.56
## 10 12 12.56 -0.56
## 11 15 18.88 -3.88
## 12 18 18.88 -0.88
## 13 17 18.88 -1.88
## 14 18 18.88 -0.88
## 15 20 18.88 1.12
## 16 22 25.20 -3.20
## 17 25 25.20 -0.20
## 18 28 25.20 2.80
## 19 21 25.20 -4.20
## 20 26 25.20 0.80
## 21 32 31.52 0.48
## 22 30 31.52 -1.52
## 23 35 31.52 3.48
## 24 33 31.52 1.48
## 25 32 31.52 0.48
## 26 38 37.84 0.16
## 27 37 37.84 -0.84
## 28 38 37.84 0.16
## 29 40 37.84 2.16
## 30 41 37.84 3.16
## 31 46 44.16 1.84
## 32 43 44.16 -1.16
## 33 49 44.16 4.84
## 34 45 44.16 0.84
## 35 48 44.16 3.84
## 36 50 50.48 -0.48
## 37 52 50.48 1.52
## 38 54 50.48 3.52
## 39 52 50.48 1.52
## 40 53 50.48 2.52
## 41 55 56.80 -1.80
## 42 58 56.80 1.20
## 43 56 56.80 -0.80
## 44 58 56.80 1.20
## 45 56 56.80 -0.80
## 46 60 63.12 -3.12
## 47 64 63.12 0.88
## 48 58 63.12 -5.12
## 49 59 63.12 -4.12
## 50 61 63.12 -2.12- A análise de regressão linear simples realizada entre a variável
dependente
quantidadee a variável independentetemperaturarevelou uma forte relação positiva entre as duas. O coeficiente angular da regressão (0,632) indica que, para cada aumento de 1 unidade na temperatura, espera-se um aumento médio de aproximadamente 0,632 unidades na quantidade. O valor do intercepto é 6,240, sugerindo que, quando a temperatura é zero, a quantidade estimada é 6,240 unidades. O modelo apresenta um ajuste excelente, com um R² de 0,9853, o que indica que aproximadamente 98,5% da variação na quantidade pode ser explicada pela temperatura. Além disso, os valores de p para ambos os coeficientes são extremamente baixos (p < 0,001), indicando que os efeitos observados são estatisticamente significativos. O erro padrão residual é de 2,267, sugerindo uma variação relativamente pequena dos resíduos em torno da linha de regressão. Em suma, o modelo é altamente significativo e eficaz na explicação da relação entre temperatura e quantidade.