ATIVIDADE_2
Paulo H P Mendes
2025-09-16
ATIVIDADE 2
Um experimento químico foi repetido 5 vezes, sob uma mesma temperatura fixa, e foi observada a quantidade de um certo composto químico catalisado em 100 mil de água. Os dados abaixo são relativos à quantidade, em gramas, do componente químico, a várias temperaturas, em C.
Estime os coeficientes da reta que estabelece a relação entre a temperatura e a quantidade do componente;
Construa o gráfico de linha para o modelo estimado
Quando a quantidade for 55, qual será o valor da temperatura?
Encontre os resíduos
Interprete os resultados encontrados.
Resolução:
O conjunto de dados é apresentado a seguir:
## temperatura quantidade
## 1 0 7
## 2 0 8
## 3 0 8
## 4 0 6
## 5 0 7
## 6 10 10
## 7 10 12
## 8 10 11
## 9 10 10
## 10 10 12
## 11 20 15
## 12 20 18
## 13 20 17
## 14 20 18
## 15 20 20
## 16 30 22
## 17 30 25
## 18 30 28
## 19 30 21
## 20 30 26
## 21 40 32
## 22 40 30
## 23 40 35
## 24 40 33
## 25 40 32
## 26 50 38
## 27 50 37
## 28 50 38
## 29 50 40
## 30 50 41
## 31 60 46
## 32 60 43
## 33 60 49
## 34 60 45
## 35 60 48
## 36 70 50
## 37 70 52
## 38 70 54
## 39 70 52
## 40 70 53
## 41 80 55
## 42 80 58
## 43 80 56
## 44 80 58
## 45 80 56
## 46 90 60
## 47 90 64
## 48 90 58
## 49 90 59
## 50 90 61A - Os valores de \(\beta_o\) e \(\beta_1\) (coeficiêntes) são dados a seguir:
##
## Call:
## lm(formula = quantidade ~ temperatura, data = dados)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -5.12 -1.43 0.16 1.51 4.84
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 6.24000 0.59583 10.47 5.46e-14 ***
## temperatura 0.63200 0.01116 56.63 < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 2.267 on 48 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9853, Adjusted R-squared: 0.9849
## F-statistic: 3207 on 1 and 48 DF, p-value: < 2.2e-16B - Abaixo gráfico de linha do modelo estimado
C - Para encontrar a temperatura quando a quantidade for 55, podemos utilizar o modelo, representado pela equação a seguir:
\[ y = 6{,}240 + 0{,}632x \]
\[ 55 = 6{,}240 + 0{,}632x \]
\[ 55 - 6{,}240 = 0{,}632x \]
\[ 48{,}76 = 0{,}632x \]
\[ x = \frac{48{,}76}{0{,}632} \]
\[ x \approx 77{,}1518987341772 \]
Logo,
Quando a quantidade for 55, a temperatura será ~77,15
D - Os redíduos são dados a seguir:
## quantidade prev1 residual1
## 1 7 6.24 0.76
## 2 8 6.24 1.76
## 3 8 6.24 1.76
## 4 6 6.24 -0.24
## 5 7 6.24 0.76
## 6 10 12.56 -2.56
## 7 12 12.56 -0.56
## 8 11 12.56 -1.56
## 9 10 12.56 -2.56
## 10 12 12.56 -0.56
## 11 15 18.88 -3.88
## 12 18 18.88 -0.88
## 13 17 18.88 -1.88
## 14 18 18.88 -0.88
## 15 20 18.88 1.12
## 16 22 25.20 -3.20
## 17 25 25.20 -0.20
## 18 28 25.20 2.80
## 19 21 25.20 -4.20
## 20 26 25.20 0.80
## 21 32 31.52 0.48
## 22 30 31.52 -1.52
## 23 35 31.52 3.48
## 24 33 31.52 1.48
## 25 32 31.52 0.48
## 26 38 37.84 0.16
## 27 37 37.84 -0.84
## 28 38 37.84 0.16
## 29 40 37.84 2.16
## 30 41 37.84 3.16
## 31 46 44.16 1.84
## 32 43 44.16 -1.16
## 33 49 44.16 4.84
## 34 45 44.16 0.84
## 35 48 44.16 3.84
## 36 50 50.48 -0.48
## 37 52 50.48 1.52
## 38 54 50.48 3.52
## 39 52 50.48 1.52
## 40 53 50.48 2.52
## 41 55 56.80 -1.80
## 42 58 56.80 1.20
## 43 56 56.80 -0.80
## 44 58 56.80 1.20
## 45 56 56.80 -0.80
## 46 60 63.12 -3.12
## 47 64 63.12 0.88
## 48 58 63.12 -5.12
## 49 59 63.12 -4.12
## 50 61 63.12 -2.12E - Interpretação dos dados abaixo:
A análise de regressão linear entre a temperatura e a quantidade mostra uma relação positiva, conforme indicado pelo coeficiente angular (β₁ = 0,632), ou seja, a cada aumento de 1 grau na temperatura, espera-se um aumento médio de aproximadamente 0,632 unidades na quantidade. O coeficiente linear (β₀ = 6,240) indica que, quando a temperatura é 0, a quantidade estimada é 6,24. Apesar da tendência geral crescente, os resíduos (diferenças entre os valores observados e os previstos) revelam que o modelo não ajusta perfeitamente os dados — há variações positivas e negativas ao longo de toda a faixa de temperatura, com alguns desvios relativamente grandes, especialmente em temperaturas intermediárias e altas (por exemplo, resíduos de -5,12 e +4,84). Isso sugere que, embora o modelo capture a tendência geral, pode haver outros fatores influenciando a variável resposta (quantidade), ou uma relação não totalmente linear entre as variáveis.