Introducción

En esta parte del curso se desarrollarán los capítulos 2, 3, 4, 5 y 6 del libro de Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias de Walpole.

Definición 1: Espacio muestral

El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. El espacio muestra, se simboliza con la letra \(S\).

Ejemplo 1

Se lanza una moneda al aire, entonces: \[ S = \{cara, sello\} \] ###### Ejemplo 1 Se lanza una moneda al aire dos veces, entonces, \[ S = \{cc, cs,sc,ss\} \]

library(DiagrammeR)

# Diagrama en formato DOT
grViz("
digraph arbol_moneda {
  node [shape=circle, style=filled, color=lightblue]

  Inicio -> Cara1 [label='Cara']
  Inicio -> Sello1 [label='Sello']

  Cara1 -> Cara2 [label='Cara']
  Cara1 -> Sello2 [label='Sello']

  Sello1 -> Cara3 [label='Cara']
  Sello1 -> Sello3 [label='Sello']

  Inicio [label='Inicio']
  Cara1 [label='Cara']
  Sello1 [label='Sello']
  Cara2 [label='Cara']
  Sello2 [label='Sello']
  Cara3 [label='Cara']
  Sello3 [label='Sello']
}
")

Nota Cuando el número de elementos de \(S\) es grande lo mejor calcular sus elementos.

Ejemplo 2: Cuántos elementos tiene el espacio muestral del experimento de conocer todas las respuestas posibles de un cuestionario de 5 preguntas de opción múltiple con cuatro posibilidades?

Solución \(n(S)= 4^5\)

Definición 2: Evento

Un evento es cualquier subconjunto de un espacio muestral. Se simbolizan con letras mayúsculas.

Definición 3: operaciones entre conjuntos
  • Unión \(A\cup B\)
  • Intersección \(A\cap B\)
  • El complemento \(A^c\)

La unión de dos eventos A y B, que se denota con el símbolo A ∪ B, es el evento que contiene todos los elementos que pertenecen a A o a B, o a ambos. \(A\cup B = \{x: x\in A \vee x\in B\}\)

Ejercicio 2.14: operaciones entre conjuntos

Si S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y A = {0, 2, 4, 6, 8}, B = {1, 3, 5, 7, 9}, C = {2, 3, 4, 5} y D = {1, 6,7}, liste los elementos de los conjuntos que corresponden a los siguientes eventos:

  1. A ∪ C;
  2. A ∩ B;
  3. C´;
  4. (C´ ∩ D) ∪ B;
  5. (S ∩ C)’ ;
  6. A ∩ C ∩ D´

Solución

 S <- 0:9
 A <- c(0, 2, 4, 6, 8)
 B <- c(1, 3, 5, 7, 9)
 C <- c(2, 3, 4, 5)
 D <- c(1, 6,7)

 a <- union(A,C);a
## [1] 0 2 4 6 8 3 5
 d <- union(intersect(setdiff(S,C),D),B);d
## [1] 1 6 7 3 5 9

Técnicas de conteo

Las técnicas de conteo sirven para determinar el número de puntos muestrales en un evento o en el espacio muestral. Veremos tres métodos de conteo:

  1. Regla del producto.
  2. Permutación
  3. Combinatoria

Si una operación se puede llevar a cabo en \(n_1\) formas, y si para cada una de éstas se puede realizar una segunda operación en \(n_2\) formas, entonces las dos operaciones se pueden ejecutar juntas de \(n_1\)*\(n_2\) formas.

#### Ejemplo 5 Un urbanista de una nueva subdivisión ofrece a los posibles compradores de una casa elegir entre Tudor, rústica, colonial y tradicional el estilo de la fachada, y entre una planta, dos pisos y desniveles el plano de construcción. ¿En cuántas formas diferentes puede un comprador ordenar una de estas casas?

Solución

Gráfica del ejemplo
Gráfica del ejemplo

Como una extensión de la regla de la multiplicación se tiene:

Si una operación se puede ejecutar en n1 formas, y si para cada una de éstas se puede levar a cabo una segunda operación en n2 formas, y para cada una de las primeras dos se puede realizar una tercera operación en n3 formas, y así sucesivamente, entonces la serie de k operaciones se puede realizar en n1n2…nk formas.

Denición:

Una permutación es un arreglo de todo o parte de un conjunto de objetos donde el orden importa. La fórmula es:

\[ {}_nP_k =\frac{n!}{(n-1)!} \]

Ejemplo 2.18: En un año se otorgará uno de tres premios (a la investigación, la enseñanza y el servicio) a algunos de los estudiantes, de un grupo de 25, de posgrado del departamento de estadística. Si cada estudiante puede recibir un premio como máximo, ¿cuántas selecciones posibles habría?

perm <- function(n,k){ (factorial(n)/factorial(n-k))}

perm(25,3)
## [1] 13800
Denición:

Una combinación es un arreglo de todo o parte de un conjunto donde el orden no importa.

\[ {}_nC_k =\frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Ejemplo 2.18: Se quiere saber de cuantas formas se puede organizar individuos en grupos de 3 de un conjunto de 20 individuos en los que no importa el orden.

k <- 3
n <- 20
sol <- choose(20,3)
cat("El número total es : ", sol)
## El número total es :  1140

Probabilidad de un evento.

La probabilidad de un evento A es la suma de los pesos de todos los puntos muestrales en A. Por lo tanto, \[ 0\leq P(A) \leq 1 \] \[ P(\emptyset) = 0 \]

\[ P(S) = 1 \]

\[ P(A_1 U A_2 U A_3 U ...) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) + ... \]

Ejemplo 2.25:

Se carga un dado de forma que exista el doble de probabilidades de que salga un número par que uno impar. Si E es el evento de que ocurra un número menor que 4 en un solo lanzamiento del dado, calcule \(P(E)\)

s <- 1:6
e <- c(1,2,3)
impar <- 1/9
par <- 2/9
p.e <- 1/9+2/9+1/9
cat("P(e) =", p.e)
## P(e) = 0.4444444

Definición :

Si un experimento puede dar como resultado cualquiera de N diferentes resultados que tienen las mismas probabilidades de ocurrir, y si exactamente n de estos resultados corresponden al evento A, entonces la probabilidad del evento A es \[ P(A)= \frac{n(A)}{n(S)} \]

Ejemplo 2.28 :

En una mano de póquer que consta de 5 cartas encuentre la probabilidad de tener 2 ases y 3 jotas.

t <- 52 #Total de cartas
a <- 5 #Total de cartas para cada partdicipante
s <- choose(t,a)
ases <- 4
jotas <- 4
A <- choose(ases,2)*choose(jotas,3)
p.A <- A/s
cat("La probabilidad de tener 2 ases y 3 jotas es ", p.A)
## La probabilidad de tener 2 ases y 3 jotas es  9.234463e-06

Reglas aditivas

Regla 1

Si A y B son dos eventos, entonces

\[ P( A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

Regla 2

Si A y B son mutuamente exclueyentes, entonces

\[ P(A U B) = P(A) + P(B) \]

Regla 3

Si \(A_1,A_2,...,A_n\) son mutuamente excluyentes, entonces

\[ P(A_1 ∪ A_2 ∪ ··· ∪ A_n) = P(A_1) + P(A_2) + ··· + P(A_n). \]

Regla 4

Si \(A_1,A_2,...,A_n\) es una partición de un espacio muestral S, entonces

$$ P(A_1 ∪ A_2 ∪ ··· ∪ A_n) = P(A_1) + P(A_2) + ··· + P(A_n) = P(S) = 1.

$$

Ejercicio 2.61 :

En un grupo de 100 estudiantes graduados de preparatoria, 54 estudiaron matemáticas, 69 estudiaron historia y 35 cursaron matemáticas e historia. Si se selecciona al azar uno de estos estudiantes, calcule la probabilidad de que:

  1. el estudiante haya cursado matemáticas o historia;
  2. el estudiante no haya llevado ninguna de estas materias;
  3. el estudiante haya cursado historia pero no matemáticas.

Solución de A

## La probabilidad solicitada es : 0.88

Regla 5

Si \(A\) y \(A'\) son eventos complementarios, entonces

\[ \P(A) + P(A') = 1 \]

Solución de B

## La probabilidad de que no estudie nada es : 0.12

Solución de C

## Como se puede ver en el gráfico el total de estudiantes que cursaron historia pero no matemáticas es igual a : 34
## Y su probabilidad es igual a : 0.34
PROBABILIDAD CONDICIONAL, INDEPENDENCIA Y REGLA DEL PRODUCTO

Ejemplo Suponga que se tiene en un salon de clase de 35 estudiantes, los cuales se dividen en las siguientes categorías: \(\small A\): el individuo es hombre \(\small A^c\): el individuo NO es hombre \(\small B\): el individuo bebe alcohol \(\small B^c\): el individuo no bebe alcohol

Se elabora una tabla con la información siguiente:

library(flextable)
t.e <- data.frame("Categoría" = c("Bebe","No bebe","Total"),
                  "Hombre"=c(15,10,25),
                  "No hombre"=c(8,2,10),
                  "Total" = c(23,12,35))
flextable(t.e)

Categoría

Hombre

No.hombre

Total

Bebe

15

8

23

No bebe

10

2

12

Total

25

10

35

si se elege un individuo al azar, calcule las siguientes probabilidades a. El individuo bebe b. El individuo No bebe y no es hombre c. El individuo no bebe o es no hombre d. El individuo elegido es no hombre, calcule la probabilidad de que beba

p.a <- 15/35 +8/35
cat("la probabilidad es:", p.a)
## la probabilidad es: 0.6571429
p.b <- 2/35
cat("la probabilidad es:", p.b)
## la probabilidad es: 0.05714286

Definicion

La probabilidad condicional de B dado A o la probabilidad de A dado B

\[ \ P(B|A) = \frac{(A\cap B)}{P(B)} \] ##Ejemplo##

Suponga que en una planta se fabrican jeans desde 3 maquinacas A, B y C, con probabilidades de 0.3, 0.45, 0.25. Se sabe que si un jean preseanta defecto por las maquinas con probabilidades 0.02, 0.05 y 0.015 respectivamente Se elige un jean al azar que produjo la maquina B, cual es la probabilidad de que presente defectos

library(DiagrammeR)

grViz("
digraph arbol {
  
  graph [layout = dot, rankdir = LR]
  node [shape = circle, style = filled, fontname = Verdana]
  
  # Nodos principales
  Inicio [fillcolor = darkolivegreen]
  A [label = 'Máquina A (0.3)', fillcolor = darkolivegreen4]
  B [label = 'Máquina B (0.45)', fillcolor = darkolivegreen4]
  C [label = 'Máquina C (0.25)', fillcolor = darkolivegreen4]
  
  # Defectos (verde muy claro)
  A_def [label = 'A: Defecto', fillcolor = darkolivegreen1]
  B_def [label = 'B: Defecto', fillcolor = darkolivegreen1]
  C_def [label = 'C: Defecto', fillcolor = darkolivegreen1]
  
  # Sin defectos (verde intermedio)
  A_ok [label = 'A: Sin defecto', fillcolor = darkolivegreen2]
  B_ok [label = 'B: Sin defecto', fillcolor = darkolivegreen2]
  C_ok [label = 'C: Sin defecto', fillcolor = darkolivegreen2]
  
  # Conexiones con probabilidades
  Inicio -> A [label = '0.30']
  Inicio -> B [label = '0.45']
  Inicio -> C [label = '0.25']
  
  A -> A_def [label = '0.02', color = darkolivegreen3, fontcolor = darkolivegreen3]
  A -> A_ok  [label = '0.98', color = darkolivegreen, fontcolor = darkolivegreen]
  
  B -> B_def [label = '0.05', color = darkolivegreen3, fontcolor = darkolivegreen3]
  B -> B_ok  [label = '0.95', color = darkolivegreen, fontcolor = darkolivegreen]
  
  C -> C_def [label = '0.015', color = darkolivegreen3, fontcolor = darkolivegreen3]
  C -> C_ok  [label = '0.985', color = darkolivegreen, fontcolor = darkolivegreen]
}
")
P_A <- 0.30
P_B <- 0.45
P_C <- 0.25

# Probabilidades de defecto dado la máquina
P_D_A <- 0.02
P_D_B <- 0.05
P_D_C <- 0.015

# el data frame con probabilidades conjuntas
df <- data.frame(
  Maquina = c("A", "B", "C"),
  P_Maquina = c(P_A, P_B, P_C),
  P_D = c(P_D_A, P_D_B, P_D_C),
  P_NoD = c(1 - P_D_A, 1 - P_D_B, 1 - P_D_C),
  P_D_y_M = c(P_D_A * P_A, P_D_B * P_B, P_D_C * P_C),
  P_NoD_y_M = c((1 - P_D_A) * P_A,
                (1 - P_D_B) * P_B,
                (1 - P_D_C) * P_C))


# Agregamos la probabilidad total de defecto
P_D_total <- round(sum(df$P_D_y_M), 2)

print(df)
##   Maquina P_Maquina   P_D P_NoD P_D_y_M P_NoD_y_M
## 1       A      0.30 0.020 0.980 0.00600   0.29400
## 2       B      0.45 0.050 0.950 0.02250   0.42750
## 3       C      0.25 0.015 0.985 0.00375   0.24625
cat("Probabilidad total de defecto P(D):", P_D_total)
## Probabilidad total de defecto P(D): 0.03
library(DiagrammeR)
library(knitr)
df.f <- kable(df, caption = "Tabla de probabilidades de defectos por máquina")
df.f
Tabla de probabilidades de defectos por máquina
Maquina P_Maquina P_D P_NoD P_D_y_M P_NoD_y_M
A 0.30 0.020 0.980 0.00600 0.29400
B 0.45 0.050 0.950 0.02250 0.42750
C 0.25 0.015 0.985 0.00375 0.24625