Aula 3: Introdução à Econometria com R

1. Introdução: Correlação vs. Causalidade

Em análise de dados, frequentemente observamos que duas variáveis se movem juntas. A isso chamamos correlação. Por exemplo, as vendas de sorvete e o número de afogamentos em uma cidade são positivamente correlacionados. No entanto, seria um erro concluir que o consumo de sorvete causa afogamentos. A verdadeira causa, a variável oculta, é o calor: dias mais quentes levam a um aumento em ambas as atividades.

A econometria busca ir além da correlação, tentando estabelecer e quantificar relações de causalidade com base na teoria econômica. A ferramenta mais básica e fundamental para isso é a regressão linear.

Hoje, vamos usar a regressão para testar uma das mais famosas hipóteses da macroeconomia: a Função Consumo Keynesiana, que postula que o consumo de uma sociedade é uma função positiva de sua renda.

2. O Modelo de Regressão Linear Simples

O modelo matemático que descreve uma relação linear entre uma variável dependente (\(Y\)) e uma variável independente (\(X\)) é:

\[ Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + u_i \]

Onde:

• \(Y_i\): é a variável dependente (o que queremos explicar, ex: Consumo).

• \(X_i\): é a variável independente ou explicativa (o que usamos para explicar, ex: Renda).

• \(\beta_0\): é o intercepto (o valor de \(Y\) quando \(X=0\)).

• \(\beta_1\): é o coeficiente angular (mede a variação em \(Y\) para uma variação unitária em \(X\)). Este é, frequentemente, o nosso principal parâmetro de interesse.

• \(u_i\): é o termo de erro estocástico. Ele captura todos os outros fatores que afetam \(Y\) e que não estão incluídos no modelo.

• O índice \(i\) representa cada observação (ex: cada mês, cada ano, cada país).

Nosso objetivo é obter estimativas para os parâmetros desconhecidos \(\beta_0\) e \(\beta_1\) usando os dados que temos de \(Y\) e \(X\).

3. Estimação por Mínimos Quadrados Ordinários (MQO)

Como encontramos a “melhor” linha que se ajusta aos nossos dados? O método de MQO (em inglês, OLS - Ordinary Least Squares) define a “melhor” linha como aquela que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos.

O resíduo (\(\hat{u}_i\)) é a diferença entre o valor observado de \(Y_i\) e o valor predito pelo modelo, \(\hat{Y}_i\):

\[ \hat{u}_i = Y_i - \hat{Y}_i = Y_i - (\hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X_i) \]

O MQO busca minimizar a Soma dos Quadrados dos Resíduos (SQR):

\[ SQR = \sum_{i=1}^{n} \hat{u}_i^2 = \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \hat{\beta}_0 - \hat{\beta}_1 X_i)^2 \]

Para encontrar os valores de \(\hat{\beta}_0\) e \(\hat{\beta}_1\) que minimizam essa expressão, usamos cálculo, derivando a SQR em relação a cada parâmetro e igualando a zero.

Derivando em relação a \(\hat{\beta}_0\): \[ \frac{\partial SQR}{\partial \hat{\beta}_0} = -2 \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \hat{\beta}_0 - \hat{\beta}_1 X_i) = 0 \]

Derivando em relação a \(\hat{\beta}_1\): \[ \frac{\partial SQR}{\partial \hat{\beta}_1} = -2 \sum_{i=1}^{n} X_i(Y_i - \hat{\beta}_0 - \hat{\beta}_1 X_i) = 0 \]

Resolvendo este sistema de duas equações (conhecidas como equações normais), chegamos às fórmulas dos estimadores de MQO:

\[ \hat{\beta}_1 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2} = \frac{Cov(X, Y)}{Var(X)} \]

\[ \hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X} \]

Onde \(\bar{Y}\) e \(\bar{X}\) são as médias amostrais de \(Y\) e \(X\), respectivamente.

4. Aplicação Prática em R

Vamos agora aplicar esses conceitos para analisar a relação entre o Consumo Pessoal Real (PCEC) e a Renda Pessoal Disponível Real (DSPIC96) nos Estados Unidos.

4.1. Preparação do Ambiente

Primeiro, instalamos e carregamos os pacotes necessários.

# Instalar pacotes (se necessário)
# install.packages("tidyverse")
# install.packages("plotly")
# install.packages("scales")
# install.packages("fredr")
# install.packages("stargazer")

# Carregar os pacotes
library(tidyverse)
library(plotly)
library(scales)
library(fredr)
library(stargazer)

4.2. Obtenção dos Dados

Usaremos o pacote fredr para baixar os dados diretamente do banco de dados do Federal Reserve de St. Louis (FRED). É necessário configurar uma chave de API (gratuita) do FRED.

# Configure sua chave da API do FRED
fredr_set_key("26ab7fb885e4b3bc387f255728b0a8af")

# 1. Obter os dados de Consumo (PCEC)
dados_consumo <- fredr(
  series_id = "PCEC",
  observation_start = as.Date("1990-01-01")
)

# 2. Obter os dados de Renda (DSPIC96)
dados_renda <- fredr(
  series_id = "DSPIC96",
  observation_start = as.Date("1990-01-01")
)

# 3. Juntar os dois dataframes pela data
dados <- 
  # Seleciona e renomeia a coluna 'value' do df de consumo
  select(dados_consumo, date, consumption = value) %>% 
  # Junta com o df de renda, selecionando e renomeando a coluna 'value'
  inner_join(
    select(dados_renda, date, income = value), 
    by = "date"
  ) %>%
  # Garante que não há linhas com dados faltantes
  na.omit()

head(dados)

## # A tibble: 6 × 3
##   date       consumption income
##   <date>           <dbl>  <dbl>
## 1 1990-01-01       3738.  7187.
## 2 1990-04-01       3783.  7253.
## 3 1990-07-01       3847.  7284.
## 4 1990-10-01       3868.  7179.
## 5 1991-01-01       3874.  7206.
## 6 1991-04-01       3927.  7258

4.3. Análise Visual

Antes de estimar o modelo, é fundamental visualizar a relação entre as variáveis.

# Tooltip amigável (pt-BR) com quebras de linha em HTML
dados_plot <- dados %>%
  mutate(
    tooltip = paste0(
      "Data: ", format(date, "%b/%Y"),
      "<br>Renda disp.: ", number(income, accuracy = 0.1, big.mark = ".", decimal.mark = ","), " bi USD",
      "<br>Consumo: ", number(consumption, accuracy = 0.1, big.mark = ".", decimal.mark = ","), " bi USD"
    )
  )

p <- ggplot(dados_plot, aes(x = income, y = consumption)) +
  geom_point(aes(text = tooltip), alpha = 0.5, color = "#02023C") +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, col = "#FEB712") +
  labs(
    title = "Relação entre Consumo e Renda Disponível nos EUA",
    subtitle = "Dados mensais desde 1990",
    x = "Renda Pessoal Disponível Real (Bilhões de USD)",
    y = "Consumo Pessoal Real (Bilhões de USD)",
    caption = "Fonte: FRED"
  ) +
  theme_minimal()

# Converte para plotly usando apenas o 'text' do geom_point no tooltip
ggplotly(p, tooltip = "text")

O gráfico de dispersão mostra uma correlação positiva e forte par valores menores, quase perfeitamente linear, como esperado pela teoria Keynesiana. Entretanto, para valores maiores há um descolamento da linha de fit, o que poderá representar problemas para o modelo

4.4. Estimação do Modelo

Agora, vamos estimar o modelo de regressão linear simples usando a função lm() (linear model).

modelo_simples <- lm(consumption ~ income, data = dados)

4.5. Análise dos Resultados

Podemos ver os resultados detalhados com a função summary().

summary(modelo_simples)

## 
## Call:
## lm(formula = consumption ~ income, data = dados)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -5196.4  -386.5  -227.1   400.1  2623.0 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -6.786e+03  3.200e+02  -21.21   <2e-16 ***
## income       1.395e+00  2.582e-02   54.03   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 966.1 on 140 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9542, Adjusted R-squared:  0.9539 
## F-statistic:  2920 on 1 and 140 DF,  p-value: < 2.2e-16

Para uma visualização mais limpa e profissional, usamos o pacote stargazer.

stargazer(modelo_simples, type = "text",
          title = "Resultados da Regressão: Função Consumo",
          dep.var.labels = "Consumo Pessoal",
          covariate.labels = c("Renda Disponível", "Intercepto"),
          align = TRUE)

## 
## Resultados da Regressão: Função Consumo
## ===============================================
##                         Dependent variable:    
##                     ---------------------------
##                           Consumo Pessoal      
## -----------------------------------------------
## Renda Disponível             1.395***          
##                               (0.026)          
##                                                
## Intercepto                 -6,785.883***       
##                              (319.974)         
##                                                
## -----------------------------------------------
## Observations                    142            
## R2                             0.954           
## Adjusted R2                    0.954           
## Residual Std. Error     966.128 (df = 140)     
## F Statistic         2,919.548*** (df = 1; 140) 
## ===============================================
## Note:               *p<0.1; **p<0.05; ***p<0.01

Interpretando os Resultados:

1. Coeficientes (Estimate):
   • Intercepto (\(\hat{\beta}_0\)): -6,785.883. Este é o nível de consumo autônomo, ou seja, o consumo que existiria mesmo com renda zero. Economicamente, pode ser interpretado como o consumo financiado por poupança ou crédito.
   • income (\(\hat{\beta}_1\)): 1.395. Este é o coeficiente mais importante. Ele representa a Propensão Marginal a Consumir (PMgC). A interpretação é: para cada aumento de $1 bilhão na renda disponível real, espera-se que o consumo real aumente em aproximadamente $1.395 bilhões, ceteris paribus.
2. P-valor (Pr(>|t|)):
   • O p-valor para o coeficiente income é extremamente baixo (< 2e-16, que é essencialmente zero). Isso testa a hipótese nula de que \(\beta_1 = 0\). Como o p-valor é menor que qualquer nível de significância convencional (1%, 5%, 10%), nós rejeitamos a hipótese nula. Isso significa que há evidência estatística robusta de que a renda tem um efeito significativo sobre o consumo.
3. R-quadrado (Multiple R-squared):
   • O valor é 0.954. Isso significa que aproximadamente 95.4% da variação no consumo pessoal pode ser explicada pela variação na renda pessoal disponível em nosso modelo. É um valor extremamente alto, indicando um ajuste excelente do modelo aos dados.

5. Outros Testes Relevantes (Diagnóstico)

Para que nossas estimativas sejam confiáveis (não-viesadas e eficientes), o modelo precisa atender a certos pressupostos. Vamos verificar brevemente dois deles:

5.1. Normalidade dos Resíduos

Os resíduos devem seguir uma distribuição normal.

# Extrair resíduos
residuos <- residuals(modelo_simples)

# Histograma dos resíduos
hist(residuos, main = "Histograma dos Resíduos", xlab = "Resíduos", col = "#FEB712", border = "black")

# Teste de Shapiro-Wilk
shapiro.test(residuos)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  residuos
## W = 0.81057, p-value = 2.875e-12

O histograma não parece demonstrar uma distribuição normal. Com efeito, teste de Shapiro-Wilk rejeita a normalidade

(\(H_0\): Normalidade dos resíduos)

5.2. Homocedasticidade

A variância dos resíduos deve ser constante (homocedasticidade). Podemos verificar isso plotando os resíduos contra os valores ajustados.

plot(fitted(modelo_simples), residuos,
     xlab = "Valores Ajustados", ylab = "Resíduos",
     main = "Resíduos vs. Valores Ajustados")
abline(h = 0, col = "#02023C", lty = 2)

Neste gráfico, não devemos ver um padrão claro (como um cone ou funil). No nosso caso, a nuvem de pontos parece relativamente uniforme ao redor da linha zero para rendas mais baixas, o que é um bom sinal para a homocedasticidade. Entretanto, para rendas mais altas, a variância dos resíduos aumenta consideravelmente, formando um funil, o que é sinal de heterocedasticidade e deverá ser tratado para conseguirmos estatísticas interpretáveis.

6. Conclusão

Nesta aula, partimos do conceito de correlação vs. causalidade, apresentamos a matemática por trás do modelo de regressão linear simples e do método de MQO. Aplicamos esses conceitos para testar a Função Consumo Keynesiana usando dados reais dos EUA. Nossos resultados tendem a confirmar em alguma medida a teoria, entretetanto, o dado dos anos mais recentes impõem dificuldades à análise. Isso foi mostrado com a introdução dos testes de diagnóstico para validar a robustez do nosso modelo. Este é o primeiro passo para análises econométricas mais complexas e poderosas.