Situación inicial
Una persona compró un automóvil que espera vender en el año 5. También espera que los costos de su mantenimiento sean \(\$1.500.000\) al final del año 1, y que en los años subsiguientes aumenten a razón de \(\$500.000\) cada año. Si la tasa de interés es del \(8\%~EA\) y la persona desea pagar el mantenimiento hoy ¿Cuánto debería pagar?
Solución inicial
Podemos representar de manera gráfica la situación como sigue:
La primera opción se solución que tenemos es la fórmula básica de \(P\) y \(S\)
\[P=\frac{S}{(1+i)^n}\]
En este sentido la solución al problema sería el siguiente:
\[P=\frac{1.500.000}{(1+8\%)^1}+\frac{2.000.000}{(1+8\%)^2}+\frac{2.500.000}{(1+8\%)^3}+\frac{3.000.000}{(1+8\%)^4}+\frac{3.500.000}{(1+8\%)^5}=\$9.675.277,88\]
La segunda opción es utilizar una serie gradiente, para lo cual debemos definir que es un gradiente.
Gradiente
Un gradiente es una serie de pagos que cumple con las siguientes condiciones:
- Todos los pagos cumplen una ley de formación (crecen o decrecen a un ritmo).
- Los pagos se efectúan en iguales intervalos de tiempo.
- Todos los pagos están expuestos a la misma tasa de interés.
- El número de pagos es igual al número de períodos.
Gradiente aritmético
Es el tipo de gradiente en donde la ley de formación es aritmética o lineal, esto es, cada pago es igual al anterior más una constante. Si esta constante es positiva el gradiente será Gradiente aritmético creciente si la constante es negativa el gradiente será un Gradiente aritmético decreciente
Valor presente de un gradiente aritmético creciente
Para el valor presente \(P\) de una serie gradiente aritmética creciente usamos la siguiente expresión:
\[P=A\frac{(1+i)^n-1}{i(1+i)^n}+\frac{G}{i}\left[\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}-\frac{n}{(1+i)^n}\right]\]
Donde:
- \(P:~valor~presente\)
- \(A:~anualidad~(primer~valor~serie)\)
- \(G:~gradiente~(valor~de~crecimiento)\)
- \(n:~períodos~de~tiempo\)
- \(i:~tasa~efectiva~por~período\)
Y podemos calcular el valor de cualquier cuota \(Cn\) como:
\[C_n=A+(n-1)G\]
Para la situación inicial serían los siguientes datos:
- \(P:¿?\)
- \(A:\$1.500.000~anuales\)
- \(G:\$500.000\)
- \(n:5~años\)
- \(i:~8\%~EA\)
Por lo tanto el mantenimiento hoy costaría:
\[P=1.500.000\frac{(1+0,08)^5-1}{0,08(1+0,08)^5}+\frac{500.000}{0,08}\left[\frac{1-(1+0,08)^{-5}}{0,08}-\frac{5}{(1+0,08)^5}\right]=\$9.675.277,88\]
Ejemplo 1
Un repuesto para el torno del laboratorio de procesamiento mecánico de materiales se pactó cancelar en \(18\) cuotas mensuales cuyo valor aumenta cada mes en \(\$30.000\), el mes 1 se pagó una cuota de \(\$220.000\). Si la tasa de interés es del \(3,5\%~EM\) ¿Cuánto costaría el repuesto de contado?
Respuesta: $5.901.028,16
Ejemplo 2
Una deuda de \(\$60.000.000\) se va a financiar a \(36\) cuotas mensuales que aumentan en \(\$30.000\) cada mes. Si la tasa de interés es del \(2,8\%~EM\) determinar el valor de la primera cuota y el valor de la cuota 24.
Respuesta: $2.229.797,24 y $2.919.797,24
Ejemplo 3
¿Con cuantas cuotas mensuales que aumentan en \(\$20.000\) cada mes se cancela el valor de una deuda de \(\$80.000.000\) si la tasa de interés es del \(2,8\%~EM\) y el primer pago fue de \(\$3.200.000\) ¿Cuál será el valor de la cuota 20?
Respuesta: aproximadamente 37,07 y la cuota 20 = $3.580.000
Ejemplo 4.
En qué valor debe aumentar el valor de 48 cuotas mensuales, si se está financiando una obligación de \(\$60.000.000\) y la primera cuota es de \(\$400.000\). La tasa de interés es de \(3\%~EM\)
Respuesta: $109.649,5
Valor presente de un gradiente aritmético decreciente
Para el valor presente \(P\) de una serie gradiente aritmética decreciente usamos la siguiente expresión:
\[P=A\frac{(1+i)^n-1}{i(1+i)^n}-\frac{G}{i}\left[\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}-\frac{n}{(1+i)^n}\right]\]
Donde:
- \(P:~valor~presente\)
- \(A:~anualidad~(primer~valor~serie)\)
- \(G:~gradiente~(valor~de~crecimiento)\)
- \(n:~períodos~de~tiempo\)
- \(i:~tasa~efectiva~por~período\)
Y podemos calcular el valor de cualquier cuota \(Cn\) como:
\[C_n=A-(n-1)G\]
Valor futuro de un gradiente aritmético creciente
Para el valor futuro \(S\) de una serie gradiente aritmética creciente usamos la siguiente expresión:
\[S=A\frac{(1+i)^n-1}{i}+\frac{G}{i}\left[\frac{(1+i)^n-1}{i}-n\right]\]
Ejemplo 1
Una entidad financiera reconoce un interés del \(15\%~ES\). Si se hacen depósitos semestrales que aumentan en \(\$20.000\) cada semestre con un primer depósito de \(\$300.000\) ¿Cuánto se tendrá acumulado al final del año \(12\)?
Respuesta: $76.606.064,55
Ejemplo 2
Para mantener el buen estado de una carretera veredal los hacendados de la zona desean crear un fondo, para proveer dinero de reparaciones futuras. Las reparaciones se estiman en \(\$10.000.000\) el primer año y que el costo aumente en \(\$500.000\) cada año. Si la tasa de interés del fondo es del \(18\%~EA\) ¿Cuánto habrá acumulado en el fondo a los 5 años?
Respuesta: $77.526.013,6
Ejemplo 3
Se han acumulado \(\$725.000.000\) en un fondo de inversión que paga el \(1,13\%~EM\) de intereses. Se han realizado pagos que crecen en \(\$200.000\) pesos mensuales durante \(3\) años. ¿De cuánto fué el primer pago?
Respuesta: $13.173.493,1857003
Valor futuro de un gradiente aritmético decreciente
Para el valor futuro \(S\) de una serie gradiente aritmética decreciente usamos la siguiente expresión:
\[S=A\frac{(1+i)^n-1}{i}-\frac{G}{i}\left[\frac{(1+i)^n-1}{i}-n\right]\]