INTRODUCCIÓN

En esta parte del curso se desarrollarán los capítulos 2,3,4, 5 y 6 del libro de Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias de Walpole.

Definición 1: Espacio muestral

El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. El espacio muestra, se simboliza con la letra \(S\).

Ejemplo 1 : Se lanza una moneda al aire, entonces: \[ \small S = \{cara, sello\} \] Se lanza una moneda al aire dos veces, entonces, \[ \small S = \{cc, cs,sc,ss\} \]

library(DiagrammeR)

# Diagrama en formato DOT
grViz("
digraph arbol_moneda {
  node [shape=circle, style=filled, color=lightblue]

  Inicio -> Cara1 [label='Cara']
  Inicio -> Sello1 [label='Sello']

  Cara1 -> Cara2 [label='Cara']
  Cara1 -> Sello2 [label='Sello']

  Sello1 -> Cara3 [label='Cara']
  Sello1 -> Sello3 [label='Sello']

  Inicio [label='Inicio']
  Cara1 [label='Cara']
  Sello1 [label='Sello']
  Cara2 [label='Cara']
  Sello2 [label='Sello']
  Cara3 [label='Cara']
  Sello3 [label='Sello']
}
")
Nota

Cuando el número de elementos de \(\small S\) es grande lo mejor calcular sus elementos.

Ejemplo 2: Cuántos elementos tiene el espacio muestral del experimento de conocer todas las respuestas posibles de un cuestionario de 5 preguntas de opción múltiple con cuatro posibilidades?

Solución

\(n\small(S)= 4^5\)

Definición 2: Evento

Un evento es cualquier subconjunto de un espacio muestral. Se simbolizan con letras mayúsculas del alfabeto occidental.

Ejemplo 3: Sea \(\small S=\{1,2,3,4,5,6\}\) que representa el espacio muestral del lanzamiento de un dado legal. Se definen los siguientes eventos:

\(\small A=\{1,2,4,5\}\), \(\small B=\{1,3,4,6\}\), \(\small C=\{1,2,5,6\}\), \(\small S\), \(\small pni\)

Definición 3: Operaciones entre conjuntos

#Ejercicio 2

Si S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y sean: A = {0, 2, 4,6, 8}, B = {1, 3, 5, 7, 9}, C = {2, 3, 4, 5} y D = {1, 6, 7}, liste los elementos de los conjuntos que corresponden a los siguientes eventos: a) A ∪ C; b) A ∩ B; c) C’; d) (C’ ∩ D) ∪ B; e) (S ∩ C)’ ; f) A ∩ C ∩ D’

Solución 

S <- 0:9 
A <- c(0, 2, 4, 6, 8)
B <- c(1, 3, 5, 7, 9)
C <- c(2, 3, 4, 5)
D <- c(1, 6, 7)
a <- union(A,C);a
## [1] 0 2 4 6 8 3 5
d <- union(intersect(setdiff(S,C),D),B);d
## [1] 1 6 7 3 5 9

#(A´y B´) y D

E <- setdiff(S,A) #Complemento de A 
F <- setdiff(S,A) #Complemento de B
G <- intersect(E,F)
H <- setdiff(S,G) 
i <- intersect(H,D)
Nota

set permite realizar el complemento entre conjuntos,diff realiza la diferencia entre conjuntos.

Técnicas de Conteo

Sirven para determinar el numero de puntos muestrales en un evento o en el espacio. Veremos 3 metodos de conteo: a. Regla del producto. b. La permutacion. c. La combinatoria

a. Regla del Producto :

Si una operación se puede llevar a cabo en \(n_1\) formas, y si para cada una de éstas se puede realizar una segunda operación en \(n_2\) formas, entonces las dos operaciones se pueden ejecutar juntas de \(n_1 * n_2\) formas.

Ejemplo: Un urbanista de una nueva subdivisión ofrece a los posibles compradores de una casa elegir entre Tudor, rústica, colonial y tradicional el estilo de la fachada, y entre una planta, dos pisos y desniveles el plano de construcción. ¿En cuántas formas diferentes puede un comprador ordenar una de estas casas?

Como una extensión de la regla de la multiplicación se tiene:

Si una operación se puede ejecutar en \(\small n_1\) formas, y si para cada una de éstas se puede llevar a cabo una segunda operación en \(\small n_2\) formas, y para cada una de las primeras dos se puede realizar una tercera operación en \(\small n_3\) formas, y así sucesivamente, entonces la serie de k operaciones se puede realizar en \(\small n_1\)*\(\small n_2\)…\(\small n_k\) formas

b. Permutación :

Una permutación es un arreglo de K objetos tomado de n objetos con \(\small k ≤n\) en el que el orden importa.

\[ \small {}_nP_k=\small\frac{n!}{(n-k)!} \]

Nota

\(n!=n(n-1)(n-2)......2.1\), el factorial de 0, \(0! = 1\)

Ejemplo 2: En un año se otorgará uno de tres premios (a la investigación, la enseñanza y el servicio) a algunos de los estudiantes, de un grupo de 25, de posgrado del departamento de estadística. Si cada estudiante puede recibir un premio como máximo, ¿cuántas selecciones posibles habría? Solución: Como los premios son distinguibles, se trata de un problema de permutación. El número total de puntos muestrales es

perm <- function(n,k){factorial(n)/factorial(n-k)}
perm(25,3)
## [1] 13800
cat ("El número de premios posibles es :",perm(25,3))
## El número de premios posibles es : 13800

c. Combinación o Combinatoria

Una combinación o combinatoria es un arreglo de K objetos tomado de n objetos con \(\small k ≤n\) en el que el orden no importa.

\[ \small {}_nC_k=\small\frac{n!}{k(n-k)!} \]

Ejemplo: Se quere saber de cuantas formas se puede organizar a estudiantes en grupos de a 3 de un salon de 32 estudiantes, donde no importa el orden

k <- 3
n <- 32
solucion <- choose(32,3) #Choose hace la combinatoria
cat("El numero total es:", solucion)
## El numero total es: 4960

Si K=n entonces obtenemos \(\frac {n!}{0!} = 1\)

Reglas de conteo Permutación, Multiplicación, Conteo.

Probabilidad de un evento

La probabilidad de un evento A es la suma de los pesos de todos los puntos muestrales en A. Por lo tanto, \[ 0\leq P(A) \leq 1 \] \[ P(\emptyset) = 0 \]

\[ P(S) = 1 \]

\[ P(A_1 U A_2 U A_3 U ...) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) + ... \] Nota La suma de los pesos en el espacio muestral es 1

Ejemplo 2.25: Se carga un dado de forma que exista el doble de probabilidades de que salga un número par que uno impar. Si E es el evento de que ocurra un número menor que 4 en un solo lanzamiento del dado, calcule P(E).

S <-  1:6
E <- c(1,2,3)
impar <- 1/9
par <- 2/9
p.E <- 1/9 + 2/9 + 1/9
cat("P(E)=",p.E)
## P(E)= 0.4444444

Definición :

Si un experimento puede dar como resultado cualquiera de N diferentes resultados que tienen las mismas probabilidades de ocurrir, y si exactamente n de estos resultados corresponden al evento A, entonces la probabilidad del evento A es

\[ P(A)= \small\frac{n(A)}{n(S)} \]

Ejemplo 2.28 : En una mano de póquer que consta de 5 cartas encuentre la probabilidad de tener 2 ases y 3 jotas.

t <- 52 #Total de cartas
a <- 5 #Número de carta para cada jugador
s <- choose(t,a) #Número de formas de repartir 5 cartas de 52. 
ases <- 4
jotas <- 4
A <- choose(ases,2)*choose(jotas,3) #El número de repartir 2 ases de 4 y 3 jotas de 4 
p.A <- A/s
cat("La probabilidad de tener 2 ases y 3 jotas es:", p.A)
## La probabilidad de tener 2 ases y 3 jotas es: 9.234463e-06

Ejercicio Individual 1 

n <- 32
dias <- 365
# Probabilidad de que todos los alumnos cumplan años en días distintos
p_distinto<-1;for(i in 0:(n-1)){p_distinto<-p_distinto*(dias-i)/dias}
  
# Complemento: al menos dos estudiantes del salon cumplen años el mismo día
p_mismo_dia <- 1 - p_distinto

p_distinto * 100 
## [1] 24.66525
p_mismo_dia * 100 
## [1] 75.33475
cat ("La probabilidad que todos los estudiantes cumplan años en días distintos es:", p_distinto , "y la probabilidad de que al menos dos de los estudiantes de clase cumplan años el mismo día es:",p_mismo_dia)
## La probabilidad que todos los estudiantes cumplan años en días distintos es: 0.2466525 y la probabilidad de que al menos dos de los estudiantes de clase cumplan años el mismo día es: 0.7533475

Ejercicio Individual 2

Encontrar la probabilidad de ganarse el baloto.El juego de baloto consiste en acertar en cualquier orden 5 números del 1 al 43 sin repetir. La probabilidad de acertar es:

\[ P = \small \frac{1}{\binom{43}{5}} \] Nota: (43 6 ) surge de la formula de la combinatoria.

Probabilidad de ganar el Baloto

balot_total <- choose(43, 5)   # Combinaciones posibles en las que se desarrolla el baloto 
prob_baloto <- 1 / balot_total

balot_total     # Número total de combinaciones
## [1] 962598
prob_baloto      # Probabilidad de ganar el baloto
## [1] 1.038855e-06
cat("La probabilidad de ganar el baloto es:",prob_baloto)
## La probabilidad de ganar el baloto es: 1.038855e-06

Reglas aditivas

Regla 1

Si A y B son dos eventos, de tal manera que los eventos \[ \small P( A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

Regla 2

Si A y B son mutuamente exclueyentes, entonces: \[ P(A U B) = P(A) + P(B) \]

Regla 3

Si \(A_1,A_2,...,A_n\) son mutuamente excluyentes, entonces

\[ P(A_1 ∪ A_2 ∪ ··· ∪ A_n) = P(A_1) + P(A_2) + ··· + P(A_n). \]

Regla 4

Si \(A_1,A_2,...,A_n\) es una partición de un espacio muestral S, entonces

\[ P(A_1 ∪ A_2 ∪ ··· ∪ A_n) = P(A_1) + P(A_2) + ··· + P(A_n) = P(S) = 1. \]

Ejercicio : En un grupo de 100 estudiantes graduados de preparatoria, 54 estudiaron matemáticas, 69 estudiaron historia y 35 cursaron matemáticas e historia. Si se selecciona al azar uno de estos estudiantes, calcule la probabilidad de que:

  1. el estudiante haya cursado matemáticas o historia;
  2. el estudiante no haya llevado ninguna de estas materias;
  3. el estudiante haya cursado historia pero no matemáticas.

Solución del ejercicio

p.m <- 54/100 #Probabilidad de estudiar Matemáticas
p.h <- 69/100 #Probabilidad de estudiar Historia
p.myh <- 35/100 #Probabilidad de estudiar ambas
N <- 100 # Total de estudiantes
p.moh <- p.m + p.h - p.myh
cat("La probabilidad solicitada es :", p.moh)
## La probabilidad solicitada es : 0.88
Regla 5

Si \(A\) y \(A'\) son eventos complementarios, entonces:

\[ P(A) + P(A') = 1 \] Solución del ejercicio

solucion_b <- 1 - p.moh
cat("La probabilidad de que no estudie nada es :", solucion_b )
## La probabilidad de que no estudie nada es : 0.12
h <- 69
myh <- 35
p.hsm <- h - myh
p.hymc <- (34/100)
cat("Como se puede ver en el gráfico el total de estudiantes que cursaron historia pero no matemáticas es igual a :", p.hsm )
## Como se puede ver en el gráfico el total de estudiantes que cursaron historia pero no matemáticas es igual a : 34
cat("Y su probabilidad es igual a :", p.hymc)
## Y su probabilidad es igual a : 0.34
Probabilidad condicional ,Independcia Y Regla del Producto

Ejemplo: Suponga que se tiene en un salon de clase 35 estudiantes, los cuales se dividen en las siguientes categorías: \(\small A\): el individuo es hombre \(\small A^c\): el individuo es mujer \(\small B\): el individuo bebe alcohol \(\small B^c\): el individuo no bebe alcohol

Se elabora una tabla con la siguiente información:

t.e <- data.frame("Categoría" = c("Bebe","No bebe","Total"),
                  "Hombre"=c(15,10,25),
                  "Mujer"=c(8,2,10),
                  "Total" = c(23,12,35))
flextable(t.e)

Categoría

Hombre

Mujer

Total

Bebe

15

8

23

No bebe

10

2

12

Total

25

10

35

Si se elige un individuo al azar calcule las siguientes probabilidades:

  1. El individuo bebe
  2. El individuo no bebe y es mujer.
  3. El individuo no bebe o no es mujer.
  4. El individuo elegido no es mujer. Calcule la probabilidad de que beba. Para resolver las preguntas se utiliza la información de la tabla.
p.a <-23/35 #Probabilidad de que el individuo beba
cat("La probabilidad es:",p.a)
## La probabilidad es: 0.6571429
p.b <- 2/35  #Probabilidad de que el individuo no beba y es mujer 
cat("La probabilidad es:",p.b)
## La probabilidad es: 0.05714286
p.c <- 12/35 + 25/35 - 10/35 #Probabilidad de que el individuo no beba o no es mujer (o, indica union). P(no bebe) = 12/35, P(no es mujer)=25/35, P(no bebe y no es mujer)=10/35
cat("La probabilidad es:",p.c)
## La probabilidad es: 0.7714286
# d) Si el individuo no es mujer (es hombre), probabilidad de que beba:
# P(bebe | no es mujer) = P(bebe y no es mujer) / P(no es mujer) = (15/35) / (25/35) = 15/25
p.d <- (15/35) / (25/35)
cat("d) Dado que el individuo es hombre, la probabilidad de que beba es:", p.d)
## d) Dado que el individuo es hombre, la probabilidad de que beba es: 0.6

Ejemplo: Suponga que en una tabla se fabrican jeans desde 3 maquinas . A,B,C , con probabilidades 0.3 , 0.35, 0.25. Se sabe que un jean presenta defectos por las maquinas con probabilidades 0.02 , 0.05 , 0.02 respectivamente. Se elije un jean al azar que produjo la maquina B, cual es la probabilidad de que presente un defecto?

A: El jean lo produce la máquina A. B: El jean lo produce la máquina B. C: El jean lo produce la máquina C. Tiene : El jean tiene defectos . No tiene: El jean No tiene defectos.

Se elabora una tabla con la siguiente información para determinar las probabilidades de que las máquinas tengan defectos o no:

# Probabilidades de las máquinas
p_maquinas <- c(0.30, 0.35, 0.25)

# Probabilidades de defecto condicional
p_defecto <- c(0.02, 0.05, 0.02)

# Probabilidades de no defecto condicional
p_no_defecto <- 1 - p_defecto

# Probabilidades conjuntas
tiene_defecto <- p_maquinas * p_defecto
no_defecto <- p_maquinas * p_no_defecto

p.s <- data.frame(
  "Categoría" = c("A","B","C","Total"),
  "Tiene defecto" = c(tiene_defecto, sum(tiene_defecto)),
  "No tiene defecto" = c(no_defecto, sum(no_defecto)),
  "Total" = c(p_maquinas, 1))  
  
  flextable(p.s)

Categoría

Tiene.defecto

No.tiene.defecto

Total

A

0.0060

0.2940

0.30

B

0.0175

0.3325

0.35

C

0.0050

0.2450

0.25

Total

0.0285

0.8715

1.00

Probabilidad de defecto de la máquina B:
m.b <- 0.0175/0.35
cat("d) La probabilidad de que al usar la maquina B se obtenga un error o defecto es:", p.b)
## d) La probabilidad de que al usar la maquina B se obtenga un error o defecto es: 0.05714286