1. En un pueblo caribeño un estudio determinó que la temperatura ambiente se comporta de acuerdo a una distribución normal, con una media de 32° y una desviación estándar de 4°, calcule: a. ¿Cuántos días al mes se espera que la temperatura se encuentre entre 27° y 35°? b. ¿Cuál es la probabilidad que la temperatura sea superior a 37°? c. ¿Cuál es probabilidad de que la temperatura sea menor a 23°?.

prob1<-pnorm(27,32,4)
prob2<-pnorm(35,32,4)
prob3<-(prob2-prob1)*100 
cat("La probabilidad de que se encuentre entre 27° o 35° es de:",prob3,"%")
## La probabilidad de que se encuentre entre 27° o 35° es de: 66.77229 %
dias<-(0.6677229*30)
cat("Se espera que por:",round(dias,1),"dias se encuentre la temperatura entre 27° y 35°")
## Se espera que por: 20 dias se encuentre la temperatura entre 27° y 35°
prob4<-pnorm(37,32,4,lower.tail = F)*100
cat("La probabilidad de que sea superior a 37 es de:",prob4,"%")
## La probabilidad de que sea superior a 37 es de: 10.56498 %
prob5<-pnorm(23,32,4,lower.tail = T)*100
cat("La probabilidad de que sea menor a 23° es:",prob5,"%")
## La probabilidad de que sea menor a 23° es: 1.222447 %

El tiempo de atención al cliente en un servicio de información de un almacén de cadena sigue una distribución exponencial, con un tiempo de servicio medio (media) de 5 minutos. a. Calcule la varianza del tiempo de espera. b. ¿Cuál es la probabilidad de que una consulta de un cliente dure más de 10 minutos? c. Si el hecho de permanecer en consulta más de 10 minutos representa para la empresa costos adicionales de $920 por cliente, ¿Cuál es el costo probable de pérdidas para la empresa en un mes donde se laboran 24 días y en promedio en un día ingresan 273 clientes?.

#Solución

media<-5
lambda<-(1/media)
varianza<-1/(lambda^2)
cat("La varianza del tiempo de espera es:",varianza)
## La varianza del tiempo de espera es: 25
prob6<-pexp(10,0.20,lower.tail = F)
cat("La probabilidad de que dure más de 10 minutos es:",prob6)
## La probabilidad de que dure más de 10 minutos es: 0.1353353
clientes<-273
dias<-24
r<-(clientes*dias)
clientes2<-(r*prob6)
costos<-920
total<-(costos*clientes2)
cat("El costo sería de:",total)
## El costo sería de: 815779.4

3. Un grupo de investigadores de una universidad de la ciudad de Santa Marta afirma que el tiempo de llegada en minutos de los estudiantes para los almuerzos escolares sigue una distribución exponencial con parámetro (λ=0.21). a. ¿Cuál es la media del tiempo de llegadas? b. ¿Cuál es la desviación estándar de los tiempos de llegadas a urgencia? c. ¿Qué proporción de los pacientes llega antes de 5 minutos al servicio de urgencias? d. ¿Qué proporción llega después de media hora? e. ¿Cuál es la mediana de los tiempos de llegada?.

Solución a)

lambda<-0.21
media<-(1/lambda)
cat("La media del tiempo de llegadas es:",media)
## La media del tiempo de llegadas es: 4.761905
desviación<-sqrt(1/lambda^2)
cat("La desviación estandar es:",desviación)
## La desviación estandar es: 4.761905
prob7<-pexp(5,0.21)*100
cat("La proporción que llega antes de 5 min es:",prob7,"%")
## La proporción que llega antes de 5 min es: 65.00623 %
prob8<-1-pexp(30,0.21)
cat("La probabilidad es de:",prob8*100)
## La probabilidad es de: 0.1836305
mediana<-qexp(0.5,0.21)
cat("La mediana es:",mediana)
## La mediana es: 3.300701

4. En un laboratorio de genética científicos han expuesto bacterias a radiaciones beta. Una bacteria seleccionada tiene un tiempo x de supervivencia en días con una distribución gamma de parámetros \(α=8\) y \(λ=1/15\). (consulta) Calcule: a. La media de los tiempos. b. La varianza de los tiempos. c. La probabilidad que una bacteria sobreviva por lo menos 120 días. d. La probabilidad que una bacteria sobreviva no más de 70 días. e. La probabilidad que una bacteria sobreviva entre 80 y 100 días.

l<-(1/15)
med<-(8/l)
cat("La media es:",med)
## La media es: 120
var<-(8/l^2)
cat("La varianza es:",var)
## La varianza es: 1800
prob9<-pgamma(120,8,1/15,lower.tail = F)*100
cat("La probabilidad de que sobreviva por lo menos 120 dias es:",prob9,"%")
## La probabilidad de que sobreviva por lo menos 120 dias es: 45.29608 %
prob10<-pgamma(70,8,1/15,lower.tail = T)*100
cat("La probabilidad de que sobreviva no mas de 70 dias es de:",prob10,"%")
## La probabilidad de que sobreviva no mas de 70 dias es de: 10.09461 %
prob11<- pgamma(100, 8, 1/15)
prob12<-pgamma(80,8,1/15)
prob13<-(prob11-prob12)*100
cat("La probabilidad de que este entre 80 y 100 es de:",prob13,"%")
## La probabilidad de que este entre 80 y 100 es de: 18.13308 %

5. Un agrónomo desea comparar el peso promedio de frutas recolectadas en dos cultivos diferentes. El propósito del estudio es verificar si los frutos de un cultivo presentan un peso significativamente mayor que los del otro. Se recolectan 10 frutas por cada cultivo con los siguientes datos (en gramos): Cultivo A: 450, 460, 440, 455, 470, 435, 445, 460, 450, 440 Cultivo B: 480, 470, 475, 460, 485, 490, 480, 475, 470, 465

a. Determina la distribución muestral para la diferencia de pesos promedio. b. Simula 1000 muestras aleatorias con media y desviación estándar para observar la distribución muestral, recuerda mostrar los gráficos. c. ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia de medias sea mayor que 20 gramos? d. ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia de medias sea menor o igual a 15 gramos?

#Solución

A <- c(450,460,440,455,470,435,445,460,450,440)
B <- c(480,470,475,460,485,490,480,475,470,465)
t.test(B,A,var.equal = T)
## 
##  Two Sample t-test
## 
## data:  B and A
## t = 5.4444, df = 18, p-value = 3.585e-05
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  15.04585 33.95415
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##     475.0     450.5
cat("Es una distribucion muestral que tiene 18 grados de libertad porque se comparan dos medias de muestras pequenas, con varianza desconocida")
## Es una distribucion muestral que tiene 18 grados de libertad porque se comparan dos medias de muestras pequenas, con varianza desconocida
set.seed(123)

#Datos del ejercicio
A <- c(450,460,440,455,470,435,445,460,450,440)
B <- c(480,470,475,460,485,490,480,475,470,465)

#Diferencia de las medias 
ma <- mean(A)
mb <- mean(B)
difm <- mb - ma

# Simulación de las muestras ficticías 
n <- 1000
difmed <- numeric(n)

for(i in 1:n){
  m_A <- sample(A, length(A), replace=TRUE)
  m_B <- sample(B, length(B), replace=TRUE)
  difmed[i] <- mean(m_B) - mean(m_A)
}

# Media y desviación estandár de la distribución muestral
media_sim <- mean(difmed)
sd_sim <- sd(difmed)

media_sim; sd_sim
## [1] 24.432
## [1] 4.186216
cat("la media simulada es:",media_sim)
## la media simulada es: 24.432
cat("la desviación estandar simulada:",sd_sim)
## la desviación estandar simulada: 4.186216
# Grafíco
hist(difmed,breaks=20, col="deeppink",
     main="Distribución muestral de la diferencia de medias",
     xlab="Diferencia de medias (B - A)",ylab="Frecuencia")
abline(v=difm, col="darkviolet", lwd=2)

c<-pnorm(20, mean=media_sim, sd=sd_sim, lower.tail=FALSE)*100
cat("La probabilidad de que la diferencia de medias sea mayor a 20 gramos es:",c,"%")
## La probabilidad de que la diferencia de medias sea mayor a 20 gramos es: 85.51347 %
d<-pnorm(15,mean =media_sim,sd=sd_sim,lower.tail = TRUE )*100
cat("La probabilidad de que la diferencia de medias sea menor a 15 gramos o igual es:",d,"%")
## La probabilidad de que la diferencia de medias sea menor a 15 gramos o igual es: 1.212614 %

6. Un ingeniero agrónomo desea evaluar el rendimiento promedio (en toneladas por hectárea) de una nueva variedad de maíz en una finca experimental. Se ha observado que la producción tiene una media de 7.5 ton/ha con una desviación estándar de 1.2 ton/ha, y se tomarán muestras de 40 parcelas. a. ¿Cuál es la distribución muestral de la media del rendimiento? b. ¿Cuál es la probabilidad de que el rendimiento promedio muestral sea mayor a 8.5 toneladas por hectárea? c. ¿Cuál es la probabilidad de que el rendimiento promedio muestral esté entre 6.5 y 8 toneladas por hectárea? d. Simula 5000 muestras aleatorias para observar la distribución muestral de la media y estima la probabilidad de obtener una media muestral mayor a 8 toneladas.

m1<-7.5
sig<-1.2
n<-40
S<-(sig/sqrt(n))
cat("La distribución muestral de la muestra de rendimiento es:",S,"%")
## La distribución muestral de la muestra de rendimiento es: 0.1897367 %
prob14<- 1 - pnorm(8.5, mean = 7.5, sd = 0.1897)
cat("Laprobabilidad de que el rendimiento promedionmuestral sea mayor a 8.5 toneladas por hectareas es:",(prob14),"%")
## Laprobabilidad de que el rendimiento promedionmuestral sea mayor a 8.5 toneladas por hectareas es: 6.766354e-08 %

c

prob15<- pnorm(8.0, mean = 7.5, sd = 0.1897) - pnorm(6.5, mean = 7.5, sd = 0.1897)*100
cat("La probabilidad de que el rendimiento esté entre 6.5 y 8 toneladas por hectarea es:",prob15,"%")
## La probabilidad de que el rendimiento esté entre 6.5 y 8 toneladas por hectarea es: 0.9957955 %
set.seed(152)
ma<-rnorm(5000,7.5,0.1897367)
prob16<-mean(ma>8)*100
cat("La probabilidad de que la media muestral sea mayor a 8 es:",prob16,"%")
## La probabilidad de que la media muestral sea mayor a 8 es: 0.46 %

7. Se estudian dos parcelas para medir el nivel de pH del suelo con el propósito de evaluar la acidez en cultivos de cítricos, donde la estabilidad del pH es un factor determinante para la absorción de nutrientes. Parcela X: 𝜇𝑥 = 6.2, 𝜎𝑥 = 0.5, 𝑛𝑥 = 25 Parcela Y: 𝜇𝑦 = 6.5, 𝜎𝑥 = 0.7, 𝑛𝑥 = 30 a. ¿Cuál es la media y la varianza de la diferencia muestral entre ambas parcelas? b. ¿Cuál es la probabilidad de que el pH promedio de la parcela Y sea al menos 0.3 unidades mayor que el de la parcela X? c. ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia de medias sea menor que 0.1?

m1x <- 6.2; sigma_x <- 0.5; n_x <- 25
m2y<- 6.5; sigma_y <- 0.7; n_y <- 30

mediaD <- m2y - m1x
varD<- (sigma_x^2 / n_x)+ (sigma_y^2/n_y)
sdD <- sqrt(varD)
mediaD; varD; sdD
## [1] 0.3
## [1] 0.02633333
## [1] 0.1622755
cat("Media de la diferencia =", mediaD, "\n",
    "Varianza de la diferencia =", varD, "\n",
    "Desviación estándar =", sdD, "\n")
## Media de la diferencia = 0.3 
##  Varianza de la diferencia = 0.02633333 
##  Desviación estándar = 0.1622755
prob17<- 1 - pnorm(0.3, mean = mediaD, sd = sdD)
cat("La probabilidad de que el pH promedio de la parcela y sea al menos 0.3 unidades mayor que el de la parcela x es:",prob17*100,"%")
## La probabilidad de que el pH promedio de la parcela y sea al menos 0.3 unidades mayor que el de la parcela x es: 50 %
prob18<- pnorm(0.1, mean = mediaD, sd = sdD)*100
cat("La probabilidad de que la diferencia de medias sea menor que 0.1 es:",prob18,"%")
## La probabilidad de que la diferencia de medias sea menor que 0.1 es: 10.88864 %

<span style=“color:midnightblue>8. En el departamento del Magdalena, el rendimiento de arroz por hectárea sigue una distribución normal con media 4.5 toneladas/ha y desviación estándar 0.8 toneladas/ha. Una muestra aleatoria de n = 40 parcelas es evaluada. a. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea menor de 4?3 toneladas/ha? b. ¿Cuál es la probabilidad de que la media esté entre 4.4 y 4.7 toneladas/ha? c. ¿Cuál es la probabilidad de que la media supere 4.8 toneladas/ha?

miu <- 4.5
sigma3 <- 0.8
n3<- 40
s3<- sigma3/sqrt(n3)

prob19<- pnorm(4.3, mean = miu, sd = s3)*100
cat("la probabilidad de que sea menor de 4.3 es:",prob19,"%")
## la probabilidad de que sea menor de 4.3 es: 5.692315 %
prob20<- pnorm(4.7, mean = miu, sd = s3) - pnorm(4.4, mean = miu, sd = s3)
cat("La probabilidad de que esté entre 4.4 y 4.7 es:",prob20*100,"%")
## La probabilidad de que esté entre 4.4 y 4.7 es: 72.84792 %
prob21<- 1 - pnorm(4.8, mean = miu, sd = s3)
cat("Cual es la probabilidad de que la media supere 4.8 Ton/ha es:",prob21*100,"%")
## Cual es la probabilidad de que la media supere 4.8 Ton/ha es: 0.8853033 %

. En parcelas de maíz en Córdoba, la humedad del suelo (en %) se mide y se sabe que la varianza poblacional es de interés. Una muestra de n = 20 observaciones reporta una varianza muestral de σ² = 16. a. ¿Cuál es la probabilidad de que el estadístico chi-cuadrado sea menor que 25? b. ¿Cuál es la probabilidad de que el estadístico esté entre 15 y 35? c. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mayor o igual a 40?

gl <- 19

prob22<- pchisq(25, df = gl)
cat("La probabilidad de que sea 25 es :",prob22*100,"%")
## La probabilidad de que sea 25 es : 83.94578 %
prob23<- pchisq(35, df = gl) - pchisq(15, df = gl)
cat("La probabilidad de que este entre 15 y 35 es:",prob23*100,"%")
## La probabilidad de que este entre 15 y 35 es: 70.86305 %
prob24<-1 - pchisq(40, df = gl)
cat("La probabilidad de que sea mayor o igual a 40 es:",prob24*100,"%")
## La probabilidad de que sea mayor o igual a 40 es: 0.3272317 %

*span style=“color:midnightblue”<10. En cultivos de yuca en Sucre se comparan dos tipos de fertilizante en la producción por hectárea. Fertilizante A: media 22 ton/ha, σ = 4, n = 36. Fertilizante B: media 20 ton/ha, σ = 5, n = 40. a. ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia de medias (A - B) sea mayor de 1 ton/ha? b. ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia esté entre 0 y 3 ton/ha? c. ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia sea menor o igual a 0 ton/ha?

m10 <- 22; sigma1 <- 4; n_1 <- 36
m11 <- 20; sigma2 <- 5; n_2 <- 40


md1<- m10 - m11
varc<- (sigma1^2 / n_1) + (sigma2^2 / n_2)
sdx <- sqrt(varc)

prob25<- 1 - pnorm(1, mean = md1, sd = sdx) 
cat("La probabilidad de que la diferencia de medias (A-B) sea mayor de 1ton/ha:",prob25*100,"%")
## La probabilidad de que la diferencia de medias (A-B) sea mayor de 1ton/ha: 83.32249 %
prob26<- pnorm(3, mean = md1, sd = sdx) - pnorm(0, mean = md1, sd = sdx)
cat("La probabilidad de que este entre 0 y 3 es:",prob26*100,"%")
## La probabilidad de que este entre 0 y 3 es: 80.66668 %
prob27<-pnorm(0,md1,sdx)
cat("La probabilidad de que la diferencia sea menor o igual a 0:",prob27*100,"%")
## La probabilidad de que la diferencia sea menor o igual a 0: 2.655809 %

11. En plantaciones de banano en Urabá y el Caribe, el peso de los racimos sigue aproximadamente una distribución normal con media 30 kg y desviación estándar desconocida. Un investigador toma una muestra de n = 15 racimos y obtiene una media muestral de 28.5 kg y desviación estándar muestral de 3.5 kg. a. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea menor o igual a 29 kg? b. ¿Cuál es la probabilidad de que la media esté entre 27.5 y 30 kg? c. ¿Cuál es la probabilidad de que la media supere 31 kg?

prob28<- 28.5   
S_ <- 3.5       
N11<- 15        
GL <- N11 - 1    
S11 <- S_ / sqrt(N11)   

PP <- (29 - prob28) / S11
p29 <- pt(PP, df = GL)
cat("la probabilidad de que la media muestral sea menor o igual a 29 kg es",p29*100,"%")
## la probabilidad de que la media muestral sea menor o igual a 29 kg es 70.56017 %
M27<- (27.5 - 28.5) / S11
M30<- (30 - 28.5) / S11
PROB30 <- pt(M30, df = 14) - pt(M27, df = 14)
cat("la probabilidad de que la media esté entre 27.5 y 30 kg es",PROB30*100,"%")
## la probabilidad de que la media esté entre 27.5 y 30 kg es 79.68489 %
tc <- (31 - prob28) / S11
prob31<- 1 - pt(tc, df = GL)
cat("la probabilidad de que la media supere 31 kg es",prob31*100,"%")
## la probabilidad de que la media supere 31 kg es 0.757426 %

12. En cultivos de palma de aceite en el Cesar se mide la variabilidad en la altura de plantas con dos tratamientos de riego. Tratamiento 1: n = 12, varianza = 25. Tratamiento 2: n = 15, varianza = 16. a. ¿Cuál es la probabilidad de que el estadístico F sea menor que 2? b. ¿Cuál es la probabilidad de que F esté entre 1 y 3? c. ¿Cuál es la probabilidad de que F sea mayor o igual a 3.5?

gl12<-11
gl13<-14
prob32<-pf(2, df1 = 11, df2 = 14)
cat("La probabilidad de que el estadistico sea menor que 2 es:",prob32*100,"%")
## La probabilidad de que el estadistico sea menor que 2 es: 88.87834 %
prob33<-pf(3,gl12,gl13)-pf(1,gl12,gl13)
cat("La probabilidad de que este entre 1 y 3 es:",prob33*100)
## La probabilidad de que este entre 1 y 3 es: 46.26222
prob34<-pf(3.5, df1 = 11, df2 = 14, lower.tail = FALSE)
cat("La probabilidad de que sea mayor o igual a 3.5 es:",prob34*100,"%")
## La probabilidad de que sea mayor o igual a 3.5 es: 1.52291 %