Problema

Una fabricante de lapiceros tiene un programa de control de calidad que incluye la inspección de lapiceros recibidos para revisar que no tengan defectos. Supongamos que, en cierto día, él recibe lapiceros en lotes de cinco y se seleccionan dos lapiceros de un lote para inspeccionarlos. Podemos representar los posibles resultados del proceso de selección por pares. Por ejemplo, el par (3,4) representa la selección de los lapiceros 3 y 4 para inspeccionarlos.

  1. Haga una lista de los resultados diferentes.
  2. Supongamos que los lapiceros 3 y 4 son los únicos defectuosos de un lote de cinco y se van a escoger dos lapiceros al azar. Defina la variable aleatoria 𝑋 como el número de de lapiceros defectuosos observado entre los inspeccionados. Encuentre la función de probabilidad de 𝑋 y represéntela gráficamente.
  3. Encuentre la función de distribución acumulada 𝐹 de 𝑋 y represéntela gráficamente.
  4. Halle la esperanza de 𝑋.
  5. Halle la varianza de 𝑋.

Desarrollo

a) Espacio muestral

Espacio muestral: \[\Omega = \{(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5)\}\]

b) Definir la variable aleatoria y su función de probabilidad

Variable aleatoria X: # de lapiceros defectuosos.

Lapiceros defectuosos: 3 y 4

Función de probabilidad de X
X P(X = x) Fracción
0 0.3 3/10
1 0.6 6/10
2 0.1 1/10

c) Distribución acumulada

Función de distribución acumulada
x F(x) = P(X ≤ x) Fracción
0 0.3 6/10
1 0.9 9/10
2 1.0 10/10

Podemos entenderlo mejor como:

\[F(x) = P(X \leq x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ 0.6 & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ 0.9 & \text{si } 1 \leq x < 2 \\ 1 & \text{si } x \geq 2 \end{cases}\]

d) Esperanza

\[E[X] = \sum_{x} x \cdot P(X = x)\]

Cálculo de la esperanza
x P(X = x) x · P(X = x)
0 0.3 0.0
1 0.6 0.6
2 0.1 0.2

\[E[X] = 0 \times 0.6 + 1 \times 0.3 + 2 \times 0.1 = 0.8\]

e) Varianza

Cálculo de E[X²]
x x² P(X = x) x² · P(X = x)
0 0 0.3 0.0
1 1 0.6 0.6
2 4 0.1 0.4

\[E[X^2] = 0^2 \times 0.6 + 1^2 \times 0.3 + 2^2 \times 0.1 = 1\]

Entonces,

\[Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 1 - (0.8)^2 = 0.36\]

También es útil:

\[\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{0.36} = 0.6\]