Ejercicio de control de calidad - Lapiceros

Introducción

Una fabricante de lapiceros tiene un programa de control de calidad que incluye la inspección de lapiceros recibidos para revisar que no tengan defectos. En un lote de 5 lapiceros, se seleccionan 2 al azar para inspeccionarlos. Supongamos que los lapiceros 3 y 4 son los defectuosos.

Definimos la variable aleatoria:

\(X = \text{número de lapiceros defectuosos observados entre los inspeccionados}\).

Este documento desarrolla:

• Lista de resultados posibles.
  
• Función de probabilidad de X y gráfico.
  
• Función de distribución acumulada de X y gráfico.
  
• Esperanza y varianza de X.

a) Resultados posibles

# Lista de resultados (pares sin orden de 2 entre 5)
resultados <- combn(1:5, 2, simplify = FALSE)
resultados

## [[1]]
## [1] 1 2
## 
## [[2]]
## [1] 1 3
## 
## [[3]]
## [1] 1 4
## 
## [[4]]
## [1] 1 5
## 
## [[5]]
## [1] 2 3
## 
## [[6]]
## [1] 2 4
## 
## [[7]]
## [1] 2 5
## 
## [[8]]
## [1] 3 4
## 
## [[9]]
## [1] 3 5
## 
## [[10]]
## [1] 4 5

b) Función de probabilidad (PMF)

La distribución de X es hipergeométrica:
- Tamaño de la población: N = 5
- Número de defectuosos: K = 2
- Número de seleccionados: n = 2

\[ P(X=k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}, \quad k = 0,1,2. \]

N <- 5; K <- 2; n <- 2
k_values <- 0:2
pmf <- dhyper(k_values, m = K, n = N-K, k = n)
data.frame(x = k_values, P = pmf)

##   x   P
## 1 0 0.3
## 2 1 0.6
## 3 2 0.1

Gráfico de la PMF:

barplot(pmf, names.arg = k_values, xlab = "x", ylab = "P(X = x)",
        main = "PMF de X (hipergeométrica)")

c) Función de distribución acumulada (CDF)

cdf_vals <- cumsum(pmf)
data.frame(x = k_values, F = cdf_vals)

##   x   F
## 1 0 0.3
## 2 1 0.9
## 3 2 1.0

Gráfico de la CDF:

xx <- c(-1, 0, 1, 2)
yy <- c(0, cdf_vals)
Ffun <- stepfun(xx[-1], yy)
plot(Ffun, main = "Función de distribución acumulada F de X",
     xlab = "x", ylab = "F(x)", xlim = c(-0.5, 2.5), ylim = c(0,1))

d) Esperanza de X

esperanza <- n * K / N
esperanza

## [1] 0.8

e) Varianza de X

varianza <- n * (K/N) * (1 - K/N) * ((N - n) / (N - 1))
varianza

## [1] 0.36

Verificación con la definición de varianza:

EX <- sum(k_values * pmf)
EX2 <- sum((k_values^2) * pmf)
var_from_pmf <- EX2 - EX^2
c(Esperanza = EX, Varianza = var_from_pmf)

## Esperanza  Varianza 
##      0.80      0.36

Conclusión

Se comprobó que la variable aleatoria \(X\) sigue una distribución hipergeométrica con:

• PMF: P(0)=0.3, P(1)=0.6, P(2)=0.1.
  
• CDF: F(0)=0.3, F(1)=0.9, F(2)=1.0.
  
• Esperanza: E[X] = 0.8.
  
• Varianza: Var(X) = 0.36.