Enunciado del Problema

Una fabricante de lapiceros tiene un programa de control de calidad que incluye la inspección de lapiceros recibidos para revisar que no tengan defectos.
Supongamos que, en cierto día, él recibe lapiceros en lotes de cinco y se seleccionan dos lapiceros de un lote para inspeccionarlos.
Podemos representar los posibles resultados del proceso de selección por pares.
Por ejemplo, el par (3, 4) representa la selección de los lapiceros 3 y 4 para inspeccionarlos.

Incisos

a.

Haga una lista de los resultados diferentes.

as.data.frame(t(combn(1:5, 2)))
##    V1 V2
## 1   1  2
## 2   1  3
## 3   1  4
## 4   1  5
## 5   2  3
## 6   2  4
## 7   2  5
## 8   3  4
## 9   3  5
## 10  4  5

b.

Supongamos que los lapiceros 3 y 4 son los únicos defectuosos de un lote de cinco y se van a escoger dos lapiceros al azar.
Defina la variable aleatoria \(X\) como el número de lapiceros defectuosos observados entre los inspeccionados.
Encuentre la función de probabilidad de \(X\) y represéntela gráficamente.

# Valores y probabilidades
x  <- 0:2
px <- c(0.3, 0.6, 0.1)

# Tabla
data.frame(X = x, Probabilidad = px)
##   X Probabilidad
## 1 0          0.3
## 2 1          0.6
## 3 2          0.1
# Gráfico de barras
barplot(px, names.arg = x,
        main = "Función de probabilidad de X",
        xlab = "Número de defectuosos (X)",
        ylab = "P(X = x)",
        col  = "skyblue")

c.

Encuentre la función de distribución acumulada \(F\) de \(X\) y represéntela gráficamente.

x  <- 0:2
px <- c(0.3, 0.6, 0.1)

# Cálculo de la CDF (acumulada)
Fx_values <- cumsum(px)   # [0.3, 0.9, 1.0]
cdf_df <- data.frame(x = x, F_x = Fx_values)
cdf_df
##   x F_x
## 1 0 0.3
## 2 1 0.9
## 3 2 1.0
# Definimos puntos para graficar la función por tramos (escalonada)
xs_plot <- c(-1, 0, 0.999, 1, 1.999, 2, 3)
ys_plot <- c(0, 0.3, 0.3, 0.9, 0.9, 1.0, 1.0)

# Gráfico tipo escalón (step)
plot(xs_plot, ys_plot, type = "s",
     main = "Función de distribución acumulada F_X(x)",
     xlab = "x", ylab = "F_X(x)",
     xlim = c(-1, 3), ylim = c(0, 1.05))
points(x, Fx_values, pch = 16)              # puntos en los saltos (valores a la derecha del salto)
abline(h = 0:1, v = x, col = "gray", lty = 3) # guías opcionales

d.

Halle la esperanza de \(X\).

x  <- 0:2
px <- c(0.3, 0.6, 0.1)
EX <- sum(x * px)   
EX
## [1] 0.8

e.

Halle la varianza de \(X\).

EX2 <- sum((x^2) * px)
VarX <- EX2 - EX^2
VarX
## [1] 0.36