Control de calidad: lapiceros (ejercicio)

Valentina Arias Cortez

2025-09-13

Se reciben lotes de 5 lapiceros; se eligen 2 para inspección (sin orden). Representamos las selecciones por pares (por ejemplo (3,4)).
En este lote los lapiceros defectuosos son los números 3 y 4 (exactamente esos dos).

Sea X = número de lapiceros defectuosos entre los inspeccionados.

library(ggplot2)

# 1. Espacio muestral
pens <- 1:5
pairs <- combn(pens, 2, simplify = FALSE)
pairs
## [[1]]
## [1] 1 2
## 
## [[2]]
## [1] 1 3
## 
## [[3]]
## [1] 1 4
## 
## [[4]]
## [1] 1 5
## 
## [[5]]
## [1] 2 3
## 
## [[6]]
## [1] 2 4
## 
## [[7]]
## [1] 2 5
## 
## [[8]]
## [1] 3 4
## 
## [[9]]
## [1] 3 5
## 
## [[10]]
## [1] 4 5
# 2. Función de probabilidad de X
N <- 5   # total
K <- 2   # defectuosos en la población
n <- 2   # tamaño de la muestra
x_vals <- 0:2
px <- choose(K, x_vals) * choose(N-K, n - x_vals) / choose(N, n)
data.frame(X = x_vals, `P(X=x)` = px)
##   X P.X.x.
## 1 0    0.3
## 2 1    0.6
## 3 2    0.1
# Gráfico de la función de probabilidad de X
dfX <- data.frame(X = x_vals, p = px)
ggplot(dfX, aes(x = factor(X), y = p)) +
  geom_col(fill="#ffcc00", color="black") +
  geom_text(aes(label = round(p,3)), vjust = -0.5) +
  labs(title = "Función de probabilidad de X",
       x = "Número de defectuosos (X)", y = "P(X=x)") +
  theme_minimal(base_size = 12)

# 3. Función de distribución acumulada de X
Fx <- cumsum(px)
data.frame(X = x_vals, `F_X(x)` = Fx)
##   X F_X.x.
## 1 0    0.3
## 2 1    0.9
## 3 2    1.0
ggplot(data.frame(X = x_vals, F = Fx), aes(x = X, y = F)) +
  geom_step(direction = "hv", size=1, color="blue") +
  geom_point(size=3, color="red") +
  scale_x_continuous(breaks = x_vals) +
  labs(title = "Función de distribución acumulada F_X",
       x = "x", y = "F_X(x)") +
  theme_minimal(base_size = 12)

# 4. Esperanza y varianza de X
EX <- sum(x_vals * px)
EX2 <- sum(x_vals^2 * px)
VarX <- EX2 - EX^2
data.frame(Estadistico = c("E[X]", "E[X^2]", "Var(X)"),
           Valor = c(EX, EX2, VarX))
##   Estadistico Valor
## 1        E[X]  0.80
## 2      E[X^2]  1.00
## 3      Var(X)  0.36
# 5. Variable Y = número de lapiceros no defectuosos
y_vals <- 0:2
pY <- rev(px) # porque Y = 2 - X
data.frame(Y = y_vals, `P(Y=y)` = pY)
##   Y P.Y.y.
## 1 0    0.1
## 2 1    0.6
## 3 2    0.3
# Gráfico de la función de probabilidad de Y
dfY <- data.frame(Y = y_vals, p = pY)
ggplot(dfY, aes(x = factor(Y), y = p)) +
  geom_col(fill="#33cc33", color="gray") +
  geom_text(aes(label = round(p,3)), vjust = -0.5) +
  labs(title = "Función de probabilidad de Y",
       x = "Número de no defectuosos (Y)", y = "P(Y=y)") +
  theme_minimal(base_size = 12)

# 6. Función de distribución acumulada de Y
Fy <- cumsum(pY)
data.frame(Y = y_vals, `F_Y(y)` = Fy)
##   Y F_Y.y.
## 1 0    0.1
## 2 1    0.7
## 3 2    1.0
ggplot(data.frame(Y = y_vals, F = Fy), aes(x = Y, y = F)) +
  geom_step(direction = "hv", size=1, color="blue") +
  geom_point(size=3, color="red") +
  scale_x_continuous(breaks = y_vals) +
  labs(title = "Función de distribución acumulada F_Y",
       x = "y", y = "F_Y(y)") +
  theme_minimal(base_size = 12)

# 7. Esperanza y varianza de Y
EY <- sum(y_vals * pY)
EY2 <- sum(y_vals^2 * pY)
VarY <- EY2 - EY^2
data.frame(Estadistica = c("E[Y]", "E[Y^2]", "Var(Y)"),
           Valor = c(EY, EY2, VarY))
##   Estadistica Valor
## 1        E[Y]  1.20
## 2      E[Y^2]  1.80
## 3      Var(Y)  0.36