Ejercicio9_2.1

PUNTO 9 INCISO 2.1

Una fabricante de lapiceros tiene un programa de control de calidad que incluye la inspección de lapiceros recibidos para revisar que no tengan defectos. Supongamos que, en cierto día, él recibe lapiceros en lotes de cinco y se seleccionan dos lapiceros de un lote para inspeccionarlos. Podemos representar los posibles resultados del proceso de selección por pares. Por ejemplo, el par \((3,4)\) representa la selección de los lapiceros 3 y 4 para inspeccionarlos.

Punto A

Haga una lista de los resultados diferentes. \(Ω = {(1,2; (1,3);(1,4);(1,5);(2,3),(2,4);(2,5),(3,4);(3,5);(4,5)}\) # Punto B Supongamos que los lapiceros 3 y 4 son los únicos defectuosos de un lote de cinco y se van a escoger dos lapiceros al azar. Defina la variable aleatoria \(X\) como el número de de lapiceros defectuosos observado entre los inspeccionados. Encuentre la función de probabilidad de \(X\) y represéntela gráficamente.

El tamaño de \(Ω\) es:

nsamp <- function(n, k, replace = FALSE, ordered = FALSE) {
  if (ordered) {
    if (replace) {
      return(n^k)  # Producto cartesiano con repetición
    } else {
      return(factorial(n) / factorial(n - k))  # Permutaciones sin repetición
    }
  } else {
    if (replace) {
      return(choose(n + k - 1, k))  # Combinaciones con repetición
    } else {
      return(choose(n, k))  # Combinaciones sin repetición
    }
  }
}

nsamp(5, 2)

## [1] 10

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD:

Probabilidad de 0 defectuosos: \(f(0) = P(X=0) = P((1,2), (1,5),(2,5)) = \frac{3}{10} = 0.3\)

Probabilidad de 1 defectuosos: \(f(1) = P(X=1) = P((1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,5), (4,5)) = \frac{6}{10} = 0.6\)

Probabilidad de 2 defectuosos: \(f(2) = P(X=2) = P((3,4)) = \frac{1}{10} = 0.1\)

Punto C

\(F(0) = F(X≤0) = P(X=0) = f(0) = 0.3\)

\(F(1) = F(X≤1) = P(X=0)+P(X=1) = f(0)+f(1) = 0.3+0.6 = 0.9\)

\(F(2) = F(X≤2) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) = f(0)+f(1)+f(2) = 0.3+0.6+0.1 = 1\)

Punto D

\(E(X) = 0 \times f(0) + 1 \times f(1) + 2 \times f(2) = 0 + 1 \times 0.6 + 2 \times 0.1 = 0.8\)

\(E(X) = 0.8\)

Punto E

\(E(X^2) = (0^2)f(0) + (1^2)f(1) + (2^2)f(2) = 0 + 0.6 + 0.4 = 1\)

\(V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 1 - (0.8)^2 = 1 - 0.64 = 0.36\)

\(V(X) = 0.36\)