THE RETURN OF VARMA MODELS.

RISULTATI PRINCIPALI

VARMA(2,2)

Genero un VARMA(1,1) non identificato.

## VARMA(1, 1) model with 3 time series
## 
## AR part:
##         y1_[t-1]    y2_[t-1]    y3_[t-1]
## y1_t -0.37851669 -0.05666913 -0.01543593
## y2_t -0.05666913  0.45311750  0.22757325
## y3_t -0.01543593  0.22757325 -0.32037249
## 
## MA part:
##        e1_[t-1]  e2_[t-1]    e3_[t-1]
## y1_t 0.25741275 0.1046695  0.02718904
## y2_t 0.10466952 0.2187254  0.25224096
## y3_t 0.02718904 0.2522410 -0.61936749
## 
## Covariance matrix:
##     e1  e2  e3
## e1 1.0 0.2 0.2
## e2 0.2 1.0 0.2
## e3 0.2 0.2 1.0

Controllo stazionarietà e non identificabilità

Radici unitarie

Varma stazionario dato che i suoi autovalori sono all’interno del cerchio unitario.

Varma non identificato data la costruzione del VARMA.

Numero di ritardi: 7

Valori della IRF

## 
##   IRF ritardo 0 
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    0    0
## [2,]    0    1    0
## [3,]    0    0    1
## 
##   IRF ritardo 1 
##             [,1]      [,2]        [,3]
## [1,] -0.12110394 0.0480004  0.01175311
## [2,]  0.04800040 0.6718429  0.47981422
## [3,]  0.01175311 0.4798142 -0.93973998
## 
##   IRF ritardo 2 
##             [,1]         [,2]         [,3]
## [1,] 0.042938300 -0.063648080 -0.017133644
## [2,] 0.031287369  0.410896516  0.002886495
## [3,] 0.009027584 -0.001566731  0.410078299
## 
##   IRF ritardo 3 
##              [,1]         [,2]          [,3]
## [1,] -0.018165240 0.0008308979 -8.143838e-06
## [2,]  0.013798015 0.1894347354  9.560172e-02
## [3,]  0.003565186 0.0949934609 -1.304564e-01
## 
##   IRF ritardo 4 
##             [,1]        [,2]         [,3]
## [1,] 0.006038893 -0.01251592 -0.003400867
## [2,] 0.008092871  0.10740708  0.013630877
## [3,] 0.002278269  0.01266416  0.063551176
## 
##   IRF ritardo 5 
##              [,1]         [,2]          [,3]
## [1,] -0.002779605 -0.001544663 -0.0004661362
## [2,]  0.003843276  0.052259317  0.0208316609
## [3,]  0.001018610  0.020578924 -0.0172055301
## 
##   IRF ritardo 6 
##              [,1]         [,2]          [,3]
## [1,] 0.0008186086 -0.002694464 -0.0007384883
## [2,] 0.0021307818  0.028450358  0.0055500871
## [3,] 0.0005911978  0.005323745  0.0102601026
## 
##   IRF ritardo 7 
##               [,1]          [,2]          [,3]
## [1,] -0.0004397322 -0.0006745343 -0.0001933626
## [2,]  0.0010536455  0.0142555898  0.0048916160
## [3,]  0.0002828695  0.0048105506 -0.0020126040

Procedimento degli eseperimenti seguenti: genero inizialmente una serie dal modello originale con la funzione sim_varma, poi uso questi dati per stimarmi un vamra attraverso la funzione ih_varma, controllo che il varma sia stazionario(altrimenti ripeto i passaggi), poi stimo le IRF del nuovo modello stimato e calcolo le metriche finali. Itero il processo un numero di volte uguale al numero di simulazioni.

Primo esperimento

Numero simulazioni: 5

Numero valori del campione: 1000

Medie dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1] 0.104891548 0.083557613 0.030543929 0.020984902 0.008857790 0.005392823
## [7] 0.002488650

RMSE

## [1] 0.320075111 0.112928097 0.062826395 0.025378625 0.013646507 0.006218540
## [7] 0.003209576

Differenze IRF

## [1] 0.1856648

Varianze dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1] 5.277375e-04 3.263211e-04 4.236620e-05 6.463805e-06 9.544856e-07
## [6] 1.383842e-07 1.978238e-08

COverage

## [1] 0.09722222

secondo esperimento

Simulazioni: 100

Medie dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1] 0.099324672 0.082361318 0.032291990 0.019559226 0.009884822 0.004696051
## [7] 0.002958775

RMSE

## [1] 0.322267761 0.117454913 0.067425497 0.029737883 0.016749651 0.008851692
## [7] 0.005030347

Differenze IRF

## [1] 0.187549

Varianze dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1] 1.156338e-03 4.060810e-04 1.557289e-04 7.212138e-05 3.373453e-05
## [6] 1.679958e-05 8.650060e-06

COverage

## [1] 0.5138889

Terzo esperimento

Simulazioni: 1000

Medie dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1] 0.096972297 0.083774347 0.031694170 0.019838065 0.009789400 0.004725623
## [7] 0.002978953

RMSE

## [1] 0.320622563 0.117155694 0.067347979 0.030062138 0.017068396 0.009311740
## [7] 0.005510967

Differenze IRF

## [1] 0.1873343

Varianze dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1] 1.078751e-03 3.890671e-04 1.586891e-04 7.710976e-05 3.937375e-05
## [6] 2.193667e-05 1.301705e-05

COverage

## [1] 0.5972222

Confronto

## [1] "Medie"
##    valori1    valori2    valori3 
## 0.02530428 0.02529203 0.02546676
## [1] "RMSE"
##       RMS1       RMS2       RMS3 
## 0.03736796 0.04087500 0.04107615
## [1] "irf_diff"
##            [,1]
## diff1 0.1856648
## diff2 0.1875490
## diff3 0.1873343
## [1] "Varianze"
##      values1      values2      values3 
## 6.271062e-05 1.155192e-04 1.165322e-04
## [1] "Coverage"
##                 [,1]
## coverage1 0.09722222
## coverage2 0.51388889
## coverage3 0.59722222

Cambio di numero di Valori nel campione

Primo esperimento

Numero simulazioni: 10

Numero valori del campione: 1000

Medie dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1] 0.098544227 0.085058965 0.030109384 0.020988034 0.008954274 0.005299167
## [7] 0.002557667

RMSE

## [1] 0.323256854 0.115253522 0.065320131 0.028553625 0.015549735 0.008209271
## [7] 0.004363534

Differenze IRF

## [1] 0.1880186

Varianze dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1] 1.476271e-03 3.890814e-04 1.541824e-04 6.583555e-05 2.944414e-05
## [6] 1.361398e-05 6.432863e-06

COverage

## [1] 0.3333333

secondo esperimento

Numero simulazioni: 10

Numero valori del campione: 5000

Medie dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1] 0.098986925 0.081515268 0.032422513 0.019762155 0.009560067 0.005010621
## [7] 0.002690919

RMSE

## [1] 0.315322249 0.114896713 0.065350620 0.027465968 0.014897769 0.006939234
## [7] 0.003620853

Differenze IRF

## [1] 0.1871068

Varianze dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1] 2.797325e-04 5.955855e-05 2.465010e-05 9.698456e-06 3.397311e-06
## [6] 1.101756e-06 3.410877e-07

COverage

## [1] 0.1944444

Terzo esperimento

Numero simulazioni: 10

Numero valori del campione: 10^{4}

Medie dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1] 0.099412505 0.081424534 0.032398143 0.019807089 0.009524162 0.005033311
## [7] 0.002678321

RMSE

## [1] 0.313335658 0.114164334 0.065109227 0.027276719 0.014836596 0.006911131
## [7] 0.003617523

Differenze IRF

## [1] 0.1870248

Varianze dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1] 1.201056e-04 5.062609e-05 2.566541e-05 1.093695e-05 4.104532e-06
## [6] 1.423026e-06 4.691260e-07

COverage

## [1] 0.1527778

Confronto

## [1] "Medie"
##    valori1    valori2    valori3 
## 0.02549458 0.02516026 0.02514426
## [1] "RMSE"
##       RMS1       RMS2       RMS3 
## 0.03954164 0.03886186 0.03865259
## [1] "irf_diff"
##            [,1]
## diff1 0.1880186
## diff2 0.1871068
## diff3 0.1870248
## [1] "Varianze"
##      values1      values2      values3 
## 1.097651e-04 1.645788e-05 1.553752e-05
## [1] "Coverage"
##                [,1]
## coverage1 0.3333333
## coverage2 0.1944444
## coverage3 0.1527778

Cambio di numero di valori del campione e simulazioni

Primo esperimento

Numero simulazioni: 10

Numero valori del campione: 1000

Medie dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1] 0.098544227 0.085058965 0.030109384 0.020988034 0.008954274 0.005299167
## [7] 0.002557667

RMSE

## [1] 0.323256854 0.115253522 0.065320131 0.028553625 0.015549735 0.008209271
## [7] 0.004363534

Differenze IRF

## [1] 0.1880186

Varianze dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1] 1.476271e-03 3.890814e-04 1.541824e-04 6.583555e-05 2.944414e-05
## [6] 1.361398e-05 6.432863e-06

COverage

## [1] 0.3333333

secondo esperimento

Numero simulazioni: 100

Numero valori del campione: 5000

Medie dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1] 0.095659843 0.083470281 0.031414808 0.020254220 0.009327138 0.005118100
## [7] 0.002642723

RMSE

## [1] 0.312931108 0.113136206 0.064634065 0.027124431 0.014763085 0.006920342
## [7] 0.003621942

Differenze IRF

## [1] 0.1869787

Varianze dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1] 1.942088e-04 6.947855e-05 3.331570e-05 1.305484e-05 4.641378e-06
## [6] 1.579007e-06 5.264358e-07

COverage

## [1] 0.2777778

Terzo esperimento

Numero simulazioni: 1000

Numero valori del campione: 10^{4}

Medie dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1] 0.097175913 0.082512416 0.031891070 0.020038116 0.009420343 0.005079441
## [7] 0.002658117

RMSE

## [1] 0.312163652 0.112873278 0.064561977 0.026938619 0.014704862 0.006841047
## [7] 0.003595617

Differenze IRF

## [1] 0.1869721

Varianze dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1] 1.107058e-04 4.090574e-05 2.164709e-05 9.312436e-06 3.534912e-06
## [6] 1.259617e-06 4.353621e-07

COverage

## [1] 0.2777778

Quarto esperimento

Numero simulazioni: 2000

Numero valori del campione: 5000

Medie dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1] 0.097167729 0.082684150 0.031832514 0.020024773 0.009458002 0.005041064
## [7] 0.002689162

RMSE

## [1] 0.313619419 0.113353514 0.064981844 0.027415190 0.015001212 0.007134157
## [7] 0.003765307

Differenze IRF

## [1] 0.187005

Varianze dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1] 2.118275e-04 8.062005e-05 4.053799e-05 1.726489e-05 6.775515e-06
## [6] 2.579518e-06 9.765607e-07

COverage

## [1] 0.4027778

Confronto

## [1] "Medie"
##    valori1    valori2    valori3    valori4 
## 0.02549458 0.02537121 0.02526658 0.02528828
## [1] "RMSE"
##       RMS1       RMS2       RMS3       RMS4 
## 0.03954164 0.03836668 0.03825257 0.03860854
## [1] "irf_diff"
##            [,1]
## diff1 0.1880186
## diff2 0.1869787
## diff3 0.1869721
## diff4 0.1870050
## [1] "Varianze"
##      values1      values2      values3      values4 
## 1.097651e-04 2.043265e-05 1.284919e-05 2.479242e-05
## [1] "Coverage"
##                [,1]
## coverage1 0.3333333
## coverage2 0.2777778
## coverage3 0.2777778
## coverage4 0.4027778