Problema

Una fabricante de lapiceros tiene un programa de control de calidad que incluye la inspección de lapiceros recibidos para revisar que no tengan defectos. Supongamos que, en cierto día, él recibe lapiceros en lotes de cinco y se seleccionan dos lapiceros de un lote para inspeccionarlos. Podemos representar los posibles resultados del proceso de selección por pares. Por ejemplo, el par (3,4) representa la selección de los lapiceros 3 y 4 para inspeccionarlos.

  1. Haga una lista de los resultados diferentes.
  2. Supongamos que los lapiceros 3 y 4 son los únicos defectuosos de un lote de cinco y se van a escoger dos lapiceros al azar. Defina la variable aleatoria X como el número de de lapiceros defectuosos observado entre los inspeccionados. Encuentre la función de probabilidad de X y represéntela gráficamente.
  3. Encuentre la función de distribución acumulada F de X y represéntela gráficamente.
  4. Halle la esperanza de X
  5. Halle la varianza de X

Solución:

a) Todas las combinaciones posibles de 2 lapiceros entre 5

Lapicero 1 Lapicero 2
1 2
1 3
1 4
1 5
2 3
2 4
2 5
3 4
3 5
4 5

b) Función de probabilidad de \(X\)

Sean los lapiceros defectuosos: 3 y 4. La variable aleatoria \(X\) representa el número de lapiceros defectuosos entre los dos seleccionados aleatoriamente.

Cálculo de \(P(X = x)\):

\[ \begin{aligned} P(X = 0) &= \frac{3}{10} = 0.3 \\\\ P(X = 1) &= \frac{6}{10} = 0.6 \\\\ P(X = 2) &= \frac{1}{10} = 0.1 \end{aligned} \]

Función de probabilidad de \(X\):

\[ P(X = x) = \begin{cases} 0.3 & \text{si } x = 0 \\\\ 0.6 & \text{si } x = 1 \\\\ 0.1 & \text{si } x = 2 \\\\ 0 & \text{en otro caso} \end{cases} \]

c) Función de distribución acumulada \(F(x)\)

La función de distribución acumulada se define como:

\[ F(x) = P(X \le x) \]

Calculamos:

\[ \begin{aligned} F(-1) &= P(X \le -1) = 0 \\ F(0) &= P(X \le 0) = P(0) = 0.3 \\ F(1) &= P(X \le 1) = P(0) + P(1) = 0.3 + 0.6 = 0.9 \\ F(2) &= P(X \le 2) = P(0) + P(1) + P(2) = 0.3 + 0.6 + 0.1 = 1.0 \end{aligned} \]

Por lo tanto, la función de distribución acumulada es:

\[ F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ 0.3 & \text{si } 0 \le x < 1 \\ 0.9 & \text{si } 1 \le x < 2 \\ 1.0 & \text{si } x \ge 2 \end{cases} \]

d) Esperanza de \(X\)

La esperanza de una variable aleatoria discreta se define como:

\[ E(X) = \sum x \cdot P(X = x) \]

Sustituimos los valores obtenidos anteriormente:

\[ E(X) = 0 \cdot 0.3 + 1 \cdot 0.6 + 2 \cdot 0.1 = 0 + 0.6 + 0.2 = 0.8 \]

e) Varianza de \(X\)

La varianza de una variable aleatoria discreta se define como:

\[ \operatorname{V}(X) = E[X^2] - \left(E[X]\right)^2 \]

Primero se calcula el valor esperado de \(X^2\):

\[ E[X^2] = 0^2 \cdot 0.3 + 1^2 \cdot 0.6 + 2^2 \cdot 0.1 = 0 + 0.6 + 0.4 = 1.0 \]

Luego se aplica la fórmula de la varianza:

\[ \operatorname{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 1.0 - (0.8)^2 = 1.0 - 0.64 = 0.36 \]