EJERCICIO 9 (2.1 variable aleatoria discreta, sección 11)

Nos dice que una fabricante de lapiceros tiene un programa de control de calidad que incluye la inspección de lapiceros recibidos para revisar que no tengan defectos. Supone que, en cierto día, él recibe lapiceros en lotes de cinco y se seleccionan dos lapiceros de un lote para inspeccionarlos. Podemos representar los posibles resultados del proceso de selección por pares. Por ejemplo, el par (3,4) representa la selección de los lapiceros 3 y 4 para inspeccionarlos.

nos piden:

a.Hacer una lista de los resultados diferentes.

b.Supongamos que los lapiceros 3 y 4 son los únicos defectuosos de un lote de cinco y se van a escoger dos lapiceros al azar. Defina la variable aleatoria X como el número de de lapiceros defectuosos observado entre los inspeccionados. Encuentre la función de probabilidad de X y represéntela gráficamente.

c.Encuentrar la función de distribución acumulada F de X y representarla gráficamente.

d.Hallar la esperanza y la varianza de X

PROCEDIMIENTO

1. Hallar todos los resultados posibles (sin importar orden)

Tenemos \(5\) lapiceros numerados del \(1\) al \(5\).
El número total de formas de elegir \(2\) de ellos sin importar el orden es: \[ \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,(5-2)!} = 10 \] Por lo tanto, los pares posibles son: \[ \{(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5)\} \]

2. Hallar la Función de probabilidad de X

Definimos \(X =\) número de lapiceros defectuosos seleccionados.
Sabemos que los defectuosos son \(3\) y \(4\), por lo que \(X \in \{0,1,2\}\).

Ahora usamos la distribución hipergeométrica:

\[ P(X = k) = \frac{\binom{2}{k}\binom{3}{2-k}}{\binom{5}{2}} \]

Cálculos:

\[ P(X = 0) = \frac{\binom{2}{0}\binom{3}{2}}{\binom{5}{2}} = \frac{1 \cdot 3}{10} = 0.3 \]

\[ P(X = 1) = \frac{\binom{2}{1}\binom{3}{1}}{\binom{5}{2}} = \frac{2 \cdot 3}{10} = 0.6 \]

\[ P(X = 2) = \frac{\binom{2}{2}\binom{3}{0}}{\binom{5}{2}} = \frac{1 \cdot 1}{10} = 0.1 \]

Por lo tanto, la función de probabilidad es:

\[ P(X = k) = \begin{cases} 0.3 & k = 0 \\ 0.6 & k = 1 \\ 0.1 & k = 2 \end{cases} \] esto se comprueba si sumamos los 3 casos, que nos da 1

gráfica de la función de la probabilidad de X:

3.Hallar la Función de distribución acumulada:

\[ F(0) = P(X \leq 0) = P(X = 0) = 0.30 \]

\[ F(1) = P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0.30 + 0.60 = 0.90 \]

\[ F(2) = 1.00 \]

grafica de la distribuciòn acumulada de X

4. Hallar la esperanza y varianza de X

esperanza:

\[ E[X] = n \cdot \frac{K}{N} \]

Aquí (n = 2, K = 2, N = 5 E[X] = 2 = = 0.8. ]

Verificación por pmf: \[ E[X] = 0 \cdot 0.3 + 1 \cdot 0.6 + 2 \cdot 0.1 = 0.8. \]

varianza:

\[ \mathrm{Var}(X) = n \frac{K}{N} \left(1 - \frac{K}{N}\right) \frac{N-n}{N-1} \]

Sustituyendo \(n = 2,\ K/N = 2/5 = 0.4,\ N-n = 3,\ N-1 = 4\): \[ \mathrm{Var}(X) = 2 \cdot 0.4 \cdot 0.6 \cdot \frac{3}{4} = 0.36. \]

Verificación por pmf: \[ E[X^2] = 0^2 \cdot 0.3 + 1^2 \cdot 0.6 + 2^2 \cdot 0.1 = 1.0. \]

\[ \mathrm{Var}(X) = E[X^2] - E[X]^2 = 1.0 - 0.8^2 = 1.0 - 0.64 = 0.36. \]

CALCULO EN R

x <- c(0,1,2)
p <- c(0.3,0.6,0.1)

# Esperanza
E_X <- sum(x * p)

# Varianza
E_X2 <- sum(x^2 * p)
Var_X <- E_X2 - E_X^2

E_X
## [1] 0.8
Var_X
## [1] 0.36