Suponga que en el supermercado Plazavea la cantidad diaria de carne de res (\(X\); en decenas de kilos) y la cantidad diaria de carne de cerdo (\(Y\); en decenas de kilos) que se venden tienen la siguiente función de densidad conjunta:
\[ f(x, y) = \begin{cases} k, & \text{si } 2 \leq x \leq 4, \, 2 \leq y \leq 4 \\ 0, & \text{de otro modo} \end{cases} \]
Para que \(f(x, y)\) sea una función de densidad válida, debe cumplir: \[ \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \, dy \, dx = 1 \]
Dado que \(f(x, y) = k\) en la región \(2 \leq x \leq 4\), \(2 \leq y \leq 4\) (un cuadrado de lado 2), tenemos:
\[ \int_{2}^{4} \int_{2}^{4} k \, dy \, dx = 1 \]
Calculamos: \[ \int_{2}^{4} \int_{2}^{4} k \, dy \, dx = k \int_{2}^{4} \left[ y \right]_{2}^{4} \, dx = k \int_{2}^{4} (4 - 2) \, dx = k \int_{2}^{4} 2 \, dx = 2k \left[ x \right]_{2}^{4} = 2k (4 - 2) = 4k \]
Igualamos a 1: \[ 4k = 1 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{1}{4} \]
✅ Respuesta: \(k = \frac{1}{4}\).
El coeficiente de correlación se define como: \[ \rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y} \]
Dado que la región es simétrica y la densidad es constante, \(X\) e \(Y\) son independientes. Verificamos:
Densidad marginal de \(X\): \[ f_X(x) = \int_{2}^{4} f(x, y) \, dy = \int_{2}^{4} \frac{1}{4} \, dy = \frac{1}{4} (4 - 2) = \frac{1}{2}, \quad \text{para } 2 \leq x \leq 4 \]
Densidad marginal de \(Y\): \[ f_Y(y) = \int_{2}^{4} f(x, y) \, dx = \int_{2}^{4} \frac{1}{4} \, dx = \frac{1}{4} (4 - 2) = \frac{1}{2}, \quad \text{para } 2 \leq y \leq 4 \]
Como \(f(x, y) = f_X(x) f_Y(y)\), \(X\) e \(Y\) son independientes.
Si \(X\) e \(Y\) son independientes, \(\text{Cov}(X, Y) = 0\).
\[ \rho_{XY} = \frac{0}{\sigma_X \sigma_Y} = 0 \]
✅ Interpretación: El coeficiente de correlación es cero, lo que indica que no hay una relación lineal entre la cantidad diaria de carne de res y la cantidad diaria de carne de cerdo vendidas en Plazavea. Esto es consistente con la independencia de las variables.
El valor de \(k\) es \(\frac{1}{4}\) y el coeficiente de correlación es \(0\), indicando independencia entre las variables.
Suponga que en el supermercado Plazavea la cantidad diaria de leche vendida (\(X\); en cientos de litros) y la cantidad diaria de pan vendido (\(Y\); en cientos de unidades) tienen la siguiente función de densidad conjunta:
\[ f(x, y) = \begin{cases} k(x + y), & \text{si } 0 \leq x \leq 2, \, 0 \leq y \leq 2 \\ 0, & \text{de otro modo} \end{cases} \]
Para que \(f(x, y)\) sea una función de densidad válida, debe cumplir: \[ \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \, dy \, dx = 1 \]
Dado que \(f(x, y) = k(x + y)\) en la región \(0 \leq x \leq 2\), \(0 \leq y \leq 2\), tenemos:
\[ \int_{0}^{2} \int_{0}^{2} k(x + y) \, dy \, dx = 1 \]
Calculamos la integral interior: \[ \int_{0}^{2} (x + y) \, dy = \left[ xy + \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{2} = 2x + 2 \]
Ahora la integral exterior: \[ \int_{0}^{2} k(2x + 2) \, dx = k \left[ x^2 + 2x \right]_{0}^{2} = k \left( (4 + 4) - 0 \right) = 8k \]
Igualamos a 1: \[ 8k = 1 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{1}{8} \]
✅ Respuesta: \(k = \frac{1}{8}\).
El coeficiente de correlación se define como: \[ \rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y} \]
donde: - \(\text{Cov}(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y]\) - \(\sigma_X = \sqrt{E[X^2] - (E[X])^2}\) - \(\sigma_Y = \sqrt{E[Y^2] - (E[Y])^2}\)
La función de densidad es: \[ f(x, y) = \frac{1}{8}(x + y), \quad 0 \leq x \leq 2, \, 0 \leq y \leq 2 \]
\[ E[X] = \int_{0}^{2} \int_{0}^{2} x \cdot \frac{1}{8}(x + y) \, dy \, dx \] Calculamos la integral interior: \[ \int_{0}^{2} (x + y) \, dy = \left[ xy + \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{2} = 2x + 2 \] Entonces: \[ E[X] = \frac{1}{8} \int_{0}^{2} x(2x + 2) \, dx = \frac{1}{8} \int_{0}^{2} (2x^2 + 2x) \, dx = \frac{1}{8} \left[ \frac{2x^3}{3} + x^2 \right]_{0}^{2} = \frac{1}{8} \left( \frac{16}{3} + 4 \right) = \frac{1}{8} \cdot \frac{28}{3} = \frac{7}{6} \]
Por simetría, \(E[Y] = \frac{7}{6}\).
\[ E[X^2] = \int_{0}^{2} \int_{0}^{2} x^2 \cdot \frac{1}{8}(x + y) \, dy \, dx \] Integral interior: \[ \int_{0}^{2} (x + y) \, dy = 2x + 2 \] Entonces: \[ E[X^2] = \frac{1}{8} \int_{0}^{2} x^2(2x + 2) \, dx = \frac{1}{8} \int_{0}^{2} (2x^3 + 2x^2) \, dx = \frac{1}{8} \left[ \frac{x^4}{2} + \frac{2x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{1}{8} \left( 8 + \frac{16}{3} \right) = \frac{1}{8} \cdot \frac{40}{3} = \frac{5}{3} \]
Por simetría, \(E[Y^2] = \frac{5}{3}\).
\[ E[XY] = \int_{0}^{2} \int_{0}^{2} xy \cdot \frac{1}{8}(x + y) \, dy \, dx = \frac{1}{8} \int_{0}^{2} \int_{0}^{2} (x^2y + xy^2) \, dy \, dx \]
Calculamos la integral iterada: \[ \int_{0}^{2} \int_{0}^{2} (x^2y + xy^2) \, dy \, dx = \int_{0}^{2} \left[ \frac{x^2 y^2}{2} + \frac{x y^3}{3} \right]_{0}^{2} \, dx = \int_{0}^{2} \left( 2x^2 + \frac{8x}{3} \right) \, dx = \left[ \frac{2x^3}{3} + \frac{4x^2}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3} \]
Entonces: \[ E[XY] = \frac{1}{8} \cdot \frac{32}{3} = \frac{4}{3} \]
Covarianza: \[ \text{Cov}(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = \frac{4}{3} - \left( \frac{7}{6} \right)^2 = \frac{4}{3} - \frac{49}{36} = \frac{48 - 49}{36} = -\frac{1}{36} \]
Varianza de \(X\): \[ \sigma_X^2 = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{5}{3} - \left( \frac{7}{6} \right)^2 = \frac{5}{3} - \frac{49}{36} = \frac{60 - 49}{36} = \frac{11}{36} \] \[ \sigma_X = \sqrt{\frac{11}{36}} = \frac{\sqrt{11}}{6} \]
Por simetría, \(\sigma_Y = \frac{\sqrt{11}}{6}\).
\[ \rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = \frac{-\frac{1}{36}}{\left( \frac{\sqrt{11}}{6} \right)^2} = \frac{-\frac{1}{36}}{\frac{11}{36}} = -\frac{1}{11} \]
✅ Interpretación: El coeficiente de correlación es \(\rho_{XY} = -\frac{1}{11} \approx -0.0909\). Esto indica una ligera correlación negativa entre la cantidad diaria de leche y la cantidad diaria de pan vendidos en Plazavea. A medida que aumenta la venta de leche, tiende a disminuir ligeramente la venta de pan, y viceversa. Sin embargo, la correlación es débil.
El valor de \(k\) es \(\frac{1}{8}\) y el coeficiente de correlación es \(-\frac{1}{11}\), indicando una ligera correlación negativa entre las variables.