THE RETURN OF VARMA MODELS.

RISULTATI PRINCIPALI

VARMA(2,2)

Genero un VARMA(2,2) non identificato.

## VARMA(2, 2) model with 3 time series
## 
## AR part:
##        y1_[t-1]    y2_[t-1]    y3_[t-1]
## y1_t  0.2383986 -0.17634603 -0.04885383
## y2_t -0.2236280  0.02641148 -0.01938148
## y3_t  0.1828417 -0.12194662 -0.03122827
##         y1_[t-2]    y2_[t-2]   y3_[t-2]
## y1_t  0.28110661 -0.01520734 0.03280334
## y2_t -0.08373321  0.22342318 0.09291100
## y3_t  0.19837477 -0.03168018 0.01332220
## 
## MA part:
##         e1_[t-1]  e2_[t-1]  e3_[t-1]
## y1_t  0.01863016 0.4715652 0.2238564
## y2_t  0.43570302 0.4862768 0.2900115
## y3_t -0.02908148 0.2727996 0.1238377
##        e1_[t-2]  e2_[t-2]   e3_[t-2]
## y1_t 0.13789591 0.2009876 0.11387356
## y2_t 0.15355716 0.3175602 0.17078241
## y3_t 0.07868544 0.1057148 0.06076936
## 
## Covariance matrix:
##     e1  e2  e3
## e1 1.0 0.2 0.2
## e2 0.2 1.0 0.2
## e3 0.2 0.2 1.0

Controllo stazionarietà e non identificabilità

Radici unitarie

Varma stazionario dato che i suoi autovalori sono all’interno del cerchio unitario.

Varma non identificato data la costruzione del VARMA.

Numero di ritardi: 7

Valori della IRF

## 
##   IRF ritardo 0 
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    0    0
## [2,]    0    1    0
## [3,]    0    0    1
## 
##   IRF ritardo 1 
##           [,1]      [,2]       [,3]
## [1,] 0.2570288 0.2952192 0.17500261
## [2,] 0.2120750 0.5126883 0.27063000
## [3,] 0.1537602 0.1508530 0.09260948
## 
##   IRF ritardo 2 
##            [,1]       [,2]       [,3]
## [1,] 0.43536747 0.15837979 0.13614843
## [2,] 0.01496622 0.48558124 0.22991075
## [3,] 0.29339229 0.06078153 0.07019489
## 
##   IRF ritardo 3 
##            [,1]       [,2]       [,3]
## [1,]  0.1608897 0.02929772 0.03660119
## [2,] -0.0625048 0.08007144 0.02868113
## [3,]  0.1149340 0.01217701 0.02204096
## 
##   IRF ritardo 4 
##             [,1]       [,2]      [,3]
## [1,]  0.17554471 0.03140041 0.0396696
## [2,] -0.04570942 0.09620273 0.0386344
## [3,]  0.12325083 0.01205713 0.0231663
## 
##   IRF ritardo 5 
##             [,1]         [,2]         [,3]
## [1,]  0.09383692 -0.002650638  0.012088084
## [2,] -0.05961095  0.011853164 -0.002908698
## [3,]  0.06924989 -0.002929343  0.008464244
## 
##   IRF ritardo 6 
##             [,1]        [,2]        [,3]
## [1,]  0.08358456 0.005180331 0.014305003
## [2,] -0.03736125 0.020947495 0.004518454
## [3,]  0.06017780 0.001503333 0.009254718
## 
##   IRF ritardo 7 
##             [,1]         [,2]         [,3]
## [1,]  0.05313137 -0.003553927  0.005881282
## [2,] -0.03558661  0.001963700 -0.004134654
## [3,]  0.03938550 -0.002594598  0.004378414

Procedimento degli eseperimenti seguenti: genero inizialmente una serie dal modello originale con la funzione sim_varma, poi uso questi dati per stimarmi un vamra attraverso la funzione ih_varma, controllo che il varma sia stazionario(altrimenti ripeto i passaggi), poi stimo le IRF del nuovo modello stimato e calcolo le metriche finali. Itero il processo un numero di volte uguale al numero di simulazioni.

Primo esperimento

Numero simulazioni: 5

Numero valori del campione: 1000

Medie dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1]  0.008004462 -0.073345857 -0.054580011 -0.022935991 -0.021640031
## [6] -0.008708372 -0.007990889

RMSE

## [1] 0.08058897 0.15175238 0.06827749 0.06520551 0.04577895 0.03536939 0.02587315

Differenze IRF

## [1] 0.09476491

Varianze dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1] 0.0005062296 0.0021838037 0.0007412321 0.0022333625 0.0007687066
## [6] 0.0007533979 0.0002930473

COverage

## [1] 0.2777778

secondo esperimento

Simulazioni: 100

Medie dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1]  0.002183549 -0.041030375 -0.077593549 -0.046563569 -0.048994693
## [6] -0.037456833 -0.032932193

RMSE

## [1] 0.08985429 0.16044665 0.11674783 0.09670451 0.08887998 0.07236432 0.06720917

Differenze IRF

## [1] 0.1164542

Varianze dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1] 0.001145205 0.004650089 0.007128655 0.006084408 0.005202787 0.003844858
## [7] 0.003498248

COverage

## [1] 0.7222222

Terzo esperimento

Simulazioni: 1000

Medie dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1] -0.0004743705 -0.0366976780 -0.0729366094 -0.0437542429 -0.0479444112
## [6] -0.0362692075 -0.0320118898

RMSE

## [1] 0.09004252 0.16053924 0.11475320 0.09738164 0.08994587 0.07597672 0.06968853

Differenze IRF

## [1] 0.1156836

Varianze dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1] 0.001090459 0.004975136 0.007141828 0.006378900 0.005486122 0.004506776
## [7] 0.003945915

COverage

## [1] 0.7361111

Confronto

## [1] "Medie"
##     valori1     valori2     valori3 
## -0.03153353 -0.04742854 -0.04493567
## [1] "RMSE"
##       RMS1       RMS2       RMS3 
## 0.06537615 0.10039208 0.10138087
## [1] "irf_diff"
##             [,1]
## diff1 0.09476491
## diff2 0.11645416
## diff3 0.11568363
## [1] "Varianze"
##     values1     values2     values3 
## 0.001162258 0.005068174 0.005405779
## [1] "Coverage"
##                [,1]
## coverage1 0.2777778
## coverage2 0.7222222
## coverage3 0.7361111

Cambio di numero di valori del campione

Primo esperimento

Numero simulazioni: 10

Numero valori del campione: 1000

Medie dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1]  0.001477312 -0.045388220 -0.105988864 -0.067016983 -0.073552698
## [6] -0.053140485 -0.049076025

RMSE

## [1] 0.09200684 0.14917415 0.12114436 0.09633096 0.09572080 0.08054638 0.07462582

Differenze IRF

## [1] 0.1187929

Varianze dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1] 0.001380910 0.003001259 0.003288153 0.004173009 0.003759384 0.003862338
## [7] 0.003392188

COverage

## [1] 0.1666667

secondo esperimento

Numero simulazioni: 10

Numero valori del campione: 5000

Medie dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1]  0.002843083 -0.033304150 -0.090567762 -0.065687220 -0.068587589
## [6] -0.053171667 -0.047197602

RMSE

## [1] 0.08084362 0.14658420 0.10954256 0.09590599 0.09511674 0.08199827 0.07685271

Differenze IRF

## [1] 0.115729

Varianze dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1] 0.0002858422 0.0025485962 0.0033507804 0.0043623641 0.0044539616
## [6] 0.0043559371 0.0041964403

COverage

## [1] 0.2083333

Terzo esperimento

Numero simulazioni: 10

Numero valori del campione: 10^{4}

Medie dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1]  0.0006097411 -0.0597319458 -0.1014518652 -0.0763889465 -0.1007443486
## [6] -0.0920566083 -0.0897736107

RMSE

## [1] 0.07908076 0.16506240 0.16630295 0.15771802 0.15552188 0.13975654 0.13408812

Differenze IRF

## [1] 0.1492231

Varianze dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1] 0.0001106033 0.0052406342 0.0191745894 0.0214161026 0.0164278722
## [6] 0.0132339358 0.0119449168

COverage

## [1] 0.5972222

Confronto

## [1] "Medie"
##     valori1     valori2     valori3 
## -0.06569388 -0.05975266 -0.08669122
## [1] "RMSE"
##      RMS1      RMS2      RMS3 
## 0.1029237 0.1010001 0.1530750
## [1] "irf_diff"
##            [,1]
## diff1 0.1187929
## diff2 0.1157290
## diff3 0.1492231
## [1] "Varianze"
##     values1     values2     values3 
## 0.003579389 0.003878013 0.014573008
## [1] "Coverage"
##                [,1]
## coverage1 0.1666667
## coverage2 0.2083333
## coverage3 0.5972222

Cambio di numero di valori del campione e simulazioni

Primo esperimento

Numero simulazioni: 10

Numero valori del campione: 1000

Medie dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1]  0.001477312 -0.045388220 -0.105988864 -0.067016983 -0.073552698
## [6] -0.053140485 -0.049076025

RMSE

## [1] 0.09200684 0.14917415 0.12114436 0.09633096 0.09572080 0.08054638 0.07462582

Differenze IRF

## [1] 0.1187929

Varianze dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1] 0.001380910 0.003001259 0.003288153 0.004173009 0.003759384 0.003862338
## [7] 0.003392188

COverage

## [1] 0.1666667

secondo esperimento

Numero simulazioni: 100

Numero valori del campione: 5000

Medie dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1] -0.001133165 -0.039391249 -0.079900007 -0.054374428 -0.064533518
## [6] -0.052677951 -0.049735647

RMSE

## [1] 0.08159251 0.15518102 0.12860948 0.11204906 0.10658696 0.09231416 0.08662834

Differenze IRF

## [1] 0.122917

Varianze dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1] 0.0002255472 0.0037957212 0.0094510839 0.0087563124 0.0069746411
## [6] 0.0059583807 0.0051784367

COverage

## [1] 0.6388889

Terzo esperimento

Numero simulazioni: 1000

Numero valori del campione: 10^{4}

Medie dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1]  0.0004046254 -0.0357034259 -0.0667889283 -0.0359236744 -0.0491316143
## [6] -0.0366393582 -0.0366887527

RMSE

## [1] 0.07989702 0.16183500 0.13009653 0.10605404 0.09811683 0.08311881 0.07809584

Differenze IRF

## [1] 0.1203779

Varianze dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1] 0.0001159853 0.0055834683 0.0119681197 0.0089274147 0.0068971195
## [6] 0.0056917139 0.0048728640

COverage

## [1] 0.7083333

Quarto esperimento

Numero simulazioni: 2000

Numero valori del campione: 5000

Medie dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1]  8.381969e-05 -3.719730e-02 -7.366683e-02 -4.328365e-02 -5.317592e-02
## [6] -3.996416e-02 -3.900606e-02

RMSE

## [1] 0.08153575 0.15845730 0.12404815 0.10378100 0.09878828 0.08471167 0.07951530

Differenze IRF

## [1] 0.119126

Varianze dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1] 0.0002224659 0.0046627024 0.0093658831 0.0077986737 0.0066571296
## [6] 0.0057030233 0.0049590183

COverage

## [1] 0.6944444

Confronto

## [1] "Medie"
##     valori1     valori2     valori3     valori4 
## -0.06569388 -0.05676880 -0.04347929 -0.04771565
## [1] "RMSE"
##      RMS1      RMS2      RMS3      RMS4 
## 0.1029237 0.1135615 0.1095528 0.1082170
## [1] "irf_diff"
##            [,1]
## diff1 0.1187929
## diff2 0.1229170
## diff3 0.1203779
## diff4 0.1191260
## [1] "Varianze"
##     values1     values2     values3     values4 
## 0.003579389 0.006685763 0.007323450 0.006524405
## [1] "Coverage"
##                [,1]
## coverage1 0.1666667
## coverage2 0.6388889
## coverage3 0.7083333
## coverage4 0.6944444