Rangkuman Praktikum 1 ADM 1: Matriks, Vektor, dan Jarak Menggunakan R
Navira Amalia
2025-09-10
Matriks
Secara umum, matriks adalah susunan bilangan yang tersusun dalam baris dan kolom. Matriks biasanya digunakan untuk merepresentasikan data, transformasi linier, atau sistem persamaan. Ukuran sebuah matriks ditentukan oleh jumlah baris dan jumlah kolomnya, misalnya matriks berukuran 3 × 2 berarti memiliki tiga baris dan dua kolom.
Contoh: matriks A ordo 3 x 3 seperti di bawah ini :
\[A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}\]
Dalam analisis data multivariat, matriks digunakan untuk merepresentasikan data dengan banyak variabel.
- Baris → individu/observasi (misalnya responden, negara, sampel)
- Kolom → variabel (misalnya tinggi, berat, umur)
Dengan format ini, data yang kompleks menjadi lebih mudah ditangani secara matematis.
Contoh: data 10 kadal dengan 3 variabel (berat badan, panjang, rentang tubuh) direpresentasikan dalam bentuk matriks 10 × 3.
Input Matriks
Ada dua cara untuk membuat matriks, yaitu berdasarkan baris dan berdasarkan kolom. Untuk membuat matriks, gunakan function matrix().
# Membuat Matriks Ordo 3 x 3 (berdasarkan kolom)
X = matrix(c(2,1,3,
1,2,1,
3,0,2), nrow = 3, ncol = 3); X## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 2 1 3
## [2,] 1 2 0
## [3,] 3 1 2Jika ingin membuat matriks berdasarkan baris, dapat gunakan byrow = TRUE.
# Membuat Matriks Ordo 3 x 3 (berdasarkan baris)
Y = matrix(c(4,1,0,
2,3,1,
1,0,2), nrow = 3, ncol = 3, byrow = TRUE); Y## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 4 1 0
## [2,] 2 3 1
## [3,] 1 0 21 Operasi Matriks
Operasi matriks adalah proses matematis yang dilakukan pada satu atau lebih matriks untuk menghasilkan matriks baru atau nilai tertentu.
1.1 Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Dilakukan dengan menjumlahkan atau mengurangi elemen-elemen yang posisinya sama. Akan tetapi, operasi ini hanya bisa dilakukan apabila kedua matriks memiliki ukuran yang sama.
Syntax:
# Penjumlahan
X + Y## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 6 2 3
## [2,] 3 5 1
## [3,] 4 1 4# Pengurangan
X - Y## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -2 0 3
## [2,] -1 -1 -1
## [3,] 2 1 01.2 Perkalian Matriks
Perkalian matriks adalah salah satu operasi dasar aljabar linear yang menggabungkan dua matriks untuk menghasilkan matriks baru.
Operasi ini terbagi menjadi dua jenis, yaitu:
Perkalian Antar Matriks
Perkalian Antar Elemen
1.2.1 Perkalian Antar Matriks
Perkalian dua matriks tidak dilakukan elemen demi elemen, tetapi dengan aturan baris × kolom. Dengan syarat, jumlah kolom pada matriks pertama harus sama dengan jumlah baris pada matriks kedua. Hasil dari operasi tersebut akan membentuk matriks baru dengan dimensi yang sesuai dengan baris matriks pertama dan kolom matriks kedua.
Syntax:
X %*% Y## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 13 5 7
## [2,] 8 7 2
## [3,] 16 6 5Y %*% X## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 9 6 12
## [2,] 10 9 8
## [3,] 8 3 71.2.2 Perkalian Antar Elemen
Selain perkalian baris-kolom yang umum, ada pula perkalian elemen demi elemen yang lebih sederhana karena hanya mengalikan elemen pada posisi yang sama.
Syntax:
X*Y## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 8 1 0
## [2,] 2 6 0
## [3,] 3 0 42*X## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 4 2 6
## [2,] 2 4 0
## [3,] 6 2 41.3 Transpose Matriks
Transpose matriks adalah operasi yang mengubah baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. Operasi ini tidak memerlukan syarat khusus dan bisa dilakukan pada semua matriks.
Transpose sering digunakan untuk mempermudah perhitungan atau menyesuaikan bentuk matriks agar dapat dioperasikan dengan matriks lain.
Misal, A berordo m x n ditranspose menjadi \(A^T\): \[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} \]
maka \(A^T\) adalah: \[ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} \]
Syntax:
transX = t(X); transX## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 2 1 3
## [2,] 1 2 1
## [3,] 3 0 2transY = t(Y); transY## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 4 2 1
## [2,] 1 3 0
## [3,] 0 1 21.4 Invers Matriks
Invers matriks hanya bisa diterapkan pada matriks persegi. Sebuah matriks dikatakan memiliki invers jika perkaliannya dengan invers tersebut menghasilkan matriks identitas.
Invers matriks dinotasikan sebagai \(A^{-1}\), dengan rumus: \[ A^{-1} = \frac{1}{det(A)} adj(A) \] Dengan syarat, det(A) \(\neq 0\).
Syntax:
inv_X = solve(X); inv_X## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -0.4444444 -0.1111111 0.6666667
## [2,] 0.2222222 0.5555556 -0.3333333
## [3,] 0.5555556 -0.1111111 -0.3333333inv_Y = solve(Y); inv_Y## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 0.2857143 -0.09523810 0.04761905
## [2,] -0.1428571 0.38095238 -0.19047619
## [3,] -0.1428571 0.04761905 0.476190481.5 Determinan Matriks
Determinan adalah sebuah bilangan skalar yang dapat dihitung dari sebuah matriks persegi dan nilainya memberikan banyak informasi penting tentang sifat-sifat matriks tersebut, seperti dapat dijadikan penentu apakah suatu matriks bisa diinvers atau tidak.
Bentuk rumus umum determinan matriks 3x3 : \[ \det(A) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b & c & a & b \\ d & e & f & d & e \\ g & h & i & g & h \end{vmatrix} \]
\[ \det(A) = (aei + bfg + cdh) - (ceg + bdi + afh) \]
Perhitungan determinan matriks dapat menggunakan syntax det() untuk memudahkan pengerjaan.
Syntax:
det(X)## [1] -9det(Y)## [1] 212 Memanggil Entri Matriks
Untuk memanggil entri matriks, dapat menggunakan format sebagai berikut “Nama Matriks[baris,kolom]”
Syntax:
# Memanggil seluruh entri matriks
X## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 2 1 3
## [2,] 1 2 0
## [3,] 3 1 2# Memanggil entri matriks kolom ke-i
X[,2] # Kolom 2## [1] 1 2 1# Memanggil entri matriks baris ke-i
X[3,] # Baris 3## [1] 3 1 2# Memanggil entri matriks baris dan kolom tertentu
X[3,2] # Sel(3, 2)## [1] 1# Memanggil entri matriks pada sel tertentu
X[c(1,3),2] # Sel(1,2) dan sel(3,2)## [1] 1 13 Eigen dan Dekomposisi
Eigen mengacu pada pasangan nilai dan vektor khusus (nilai eigen dan vektor eigen) dari suatu matriks. Sedangkan dekomposisi matriks adalah proses memecah suatu matriks menjadi hasil kali beberapa matriks yang lebih sederhana.
3.1 Nilai dan Vektor Eigen
Nilai eigen (λ) adalah bilangan skalar tertentu yang menunjukkan jumlah variasi (informasi) yang dapat dijelaskan oleh satu komponen. Sedangkan vektor eigen adalah vektor khusus yang arahnya tetap tidak berubah ketika dikalikan dengan matriks tersebut, meskipun panjangnya bisa berubah. Vektor eigen menunjukkan jumlah variasi (informasi) yang dijelaskan suatu komponen lainnya. Nilai eigen dan vektor eigen ini sangat berguna dalam analisis data multivariat misalnya Principal Component Analysis, Factor Analysis, dll.
Nilai dan vektor eigen dari sebuah matriks A memenuhi persamaan:
\[Av=\lambda v\]
Nilai eigen diperoleh dari persamaan karakteristik, yaitu:
\[ det(A-\lambda I) = 0 \] Syntax:
eigX = eigen(X); eigX## eigen() decomposition
## $values
## [1] 5.302776 1.697224 -1.000000
##
## $vectors
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -0.6914378 0.2783332 -0.7252407
## [2,] -0.2093505 -0.9192721 0.2417469
## [3,] -0.6914378 0.2783332 0.6446584eigY = eigen(Y); eigY## eigen() decomposition
## $values
## [1] 5.103803+0.0000000i 1.948098+0.5652359i 1.948098-0.5652359i
##
## $vectors
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 0.6562232+0i -0.3281116-0.09038466i -0.3281116+0.09038466i
## [2,] 0.7243414+0i 0.7243414+0.00000000i 0.7243414+0.00000000i
## [3,] 0.2114255+0i -0.1057127+0.59019302i -0.1057127-0.59019302ieigvalX = eigX$values; eigvalX## [1] 5.302776 1.697224 -1.000000eigvalY = eigY$values; eigvalY## [1] 5.103803+0.0000000i 1.948098+0.5652359i 1.948098-0.5652359ieigvecX = eigX$vectors; eigvecX## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -0.6914378 0.2783332 -0.7252407
## [2,] -0.2093505 -0.9192721 0.2417469
## [3,] -0.6914378 0.2783332 0.6446584eigvecY = eigY$vectors; eigvecY## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 0.6562232+0i -0.3281116-0.09038466i -0.3281116+0.09038466i
## [2,] 0.7243414+0i 0.7243414+0.00000000i 0.7243414+0.00000000i
## [3,] 0.2114255+0i -0.1057127+0.59019302i -0.1057127-0.59019302i3.2 Dekomposisi Singular Value (SVD)
Metode dekomposisi singular value (SVD) memecah sebuah matriks menjadi tiga bagian, yaitu matriks ortogonal U, matriks diagonal D, dan transpos dari matriks ortogonal V. Elemen diagonal pada D disebut singular values, yang pada dasarnya berkaitan erat dengan eigen value.
Jika ada sebuah matriks \(A\) berukuran m x n, maka SVD menuliskan: \[A=U\Sigma V^t\] Syntax:
# Mencari nilai Matriks A
A <- matrix(c(5,-3,6,2,-4,8,-2,5,-1,7,3,9), 4, 3, byrow=TRUE)
A## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 5 -3 6
## [2,] 2 -4 8
## [3,] -2 5 -1
## [4,] 7 3 9svd_result <- svd(A)
singular_value <- svd_result$d ; singular_value## [1] 16.07076 7.41936 3.11187Jika, ingin mengetahui setiap komponen yang membentuk matriks A. Kita dapat menggunakan syntax:
U <- svd_result$u ; U## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -0.5046975 0.2278362 -0.3742460
## [2,] -0.5178195 0.4138180 0.7413297
## [3,] 0.1646416 -0.6063789 0.5337354
## [4,] -0.6708477 -0.6396483 -0.1596770V <- svd_result$v ; V## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -0.5341591 -0.17494276 -0.8270847
## [2,] 0.1490928 -0.98251336 0.1115295
## [3,] -0.8321330 -0.06373793 0.55090114 Matriks Jarak
Matriks jarak adalah matriks yang berisi ukuran jarak antar-observasi (atau antar-objek) dalam suatu data multivariat.
Bentuk umum:
\[ D = \begin{bmatrix} 0 & d_{12} & d_{13} & \cdots & d_{1n} \\ d_{21} & 0 & d_{23} & \cdots & d_{2n} \\ d_{31} & d_{32} & 0 & \cdots & d_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ d_{n1} & d_{n2} & d_{n3} & \cdots & 0 \end{bmatrix} \] dengan \(d_{ij}\) menyatakan jarak antara objek \(i\) dan objek \(j\).
# Persiapan syntax untuk materi Jarak
library(factoextra) # Install packages dengan install.packages("factoextra")## Loading required package: ggplot2## Welcome! Want to learn more? See two factoextra-related books at https://goo.gl/ve3WBaset.seed(321)
ss <- sample(1:50, 15)
df <- USArrests[ss, ]
df.scaled <- scale(df); df.scaled## Murder Assault UrbanPop Rape
## Wyoming -0.3721741 -0.02296746 -0.3418930 -0.62039386
## Illinois 0.4221896 1.02244775 1.2520675 0.62633064
## Mississippi 1.6799322 1.14124493 -1.4507350 -0.39776448
## Kansas -0.5486994 -0.56943449 0.0739228 -0.26418686
## New York 0.5766492 1.08184634 1.4599754 0.93801176
## Kentucky 0.2677300 -0.64071280 -0.8963140 -0.51650015
## Oklahoma -0.4163054 -0.14176464 0.2125281 0.03265231
## Hawaii -0.7031590 -1.38913505 1.2520675 0.06233622
## Missouri 0.1132704 0.17898775 0.3511333 1.24969289
## New Mexico 0.6428462 1.45011760 0.3511333 1.82852926
## Louisiana 1.5254725 1.02244775 0.0739228 0.35917539
## South Dakota -1.0341439 -0.91394632 -1.3814324 -1.03596869
## Iowa -1.3871944 -1.27033787 -0.5498008 -1.25859806
## North Dakota -1.6961136 -1.40101477 -1.4507350 -1.85227639
## Texas 0.9296998 0.45222127 1.0441596 0.84896001
## attr(,"scaled:center")
## Murder Assault UrbanPop Rape
## 8.486667 162.933333 64.933333 19.780000
## attr(,"scaled:scale")
## Murder Assault UrbanPop Rape
## 4.531929 84.177081 14.429467 6.7376554.1 Jarak Euclidean
Jarak Euclidean adalah jarak lurus (garis terpendek) antara dua titik di ruang.
Contoh aplikasi:
Menghitung jarak garis lurus antar dua koordinat (GPS).
Clustering (K-Means, Hierarchical) → objek yang jaraknya dekat digabungkan.
Rumus: \[ d_{ij}=\sqrt{\sum_{i=1}^p(x_{ki}-x_{kj})^2} \]
Keterangan:
\(x_{ki}\) = Vektor ke - k pada baris ke - i
\(x_{kj}\)= Vektor ke - k pada baris ke - j
Syntax:
dist.eucl <- dist(df.scaled, method = "euclidean"); dist.eucl## Wyoming Illinois Mississippi Kansas New York Kentucky
## Illinois 2.4122476
## Mississippi 2.6164146 3.1543527
## Kansas 0.7934567 2.3786048 3.1993198
## New York 2.7921742 0.4095812 3.3878156 2.7128511
## Kentucky 1.0532156 2.9515362 2.3433244 1.2948587 3.2757206
## Oklahoma 0.8659748 1.8685718 2.9986711 0.5547563 2.2043102 1.4993175
## Hawaii 2.2322175 2.7203365 4.4270510 1.4800030 2.9246694 2.5403456
## Missouri 2.0625111 1.4167282 3.0563398 1.8349434 1.5351057 2.3176129
## New Mexico 3.1109091 1.5775154 3.0617092 3.1551035 1.4705638 3.4011133
## Louisiana 2.4137967 1.6360410 1.7133330 2.6879097 1.7776353 2.4609320
## South Dakota 1.5765126 3.9457686 3.4644086 1.7515852 4.3067435 1.5082173
## Iowa 1.7426214 3.9154083 4.0958166 1.6038155 4.2724405 1.9508929
## North Dakota 2.5296038 4.8794481 4.4694938 2.6181473 5.2524274 2.5546862
## Texas 2.4496576 0.8218968 2.9692463 2.3259192 0.8377979 2.6949264
## Oklahoma Hawaii Missouri New Mexico Louisiana South Dakota
## Illinois
## Mississippi
## Kansas
## New York
## Kentucky
## Oklahoma
## Hawaii 1.6491638
## Missouri 1.3724911 2.3123720
## New Mexico 2.6268378 3.7154012 1.4937447
## Louisiana 2.2916633 3.5012381 1.8909275 1.7882330
## South Dakota 2.1588538 2.9115203 3.2767510 4.4281177 3.7902169
## Iowa 2.1130016 2.3395756 3.3845451 4.6758935 4.0922753 0.9964108
## North Dakota 3.0891779 3.4578871 4.3173165 5.5131433 4.8442635 1.1604313
## Texas 1.8768374 2.5920693 1.1756214 1.5867966 1.3643137 3.8935265
## Iowa North Dakota
## Illinois
## Mississippi
## Kansas
## New York
## Kentucky
## Oklahoma
## Hawaii
## Missouri
## New Mexico
## Louisiana
## South Dakota
## Iowa
## North Dakota 1.1298867
## Texas 3.9137858 4.8837032fviz_dist(dist.eucl)
4.2 Jarak Chebyshev
Jarak Chebyshev adalah jarak antar titik yang mempertimbangkan skala (varians) dan korelasi antar variabel.
Contoh aplikasi:
- Jarak langkah raja antara dua posisi = jarak Chebyshev.
- Berguna di quality control multivariat, misalnya mengecek dimensi produk (lebar, panjang, tinggi) → fokus pada dimensi terburuk.
Rumus: \[ d_{ij}=\max_i \, |x_{ki} - x_{kj}| \]
Keterangan:
\(x_{ki}\) = Vektor ke - k pada baris ke - i
\(x_{kj}\)= Vektor ke - k pada baris ke - j
Syntax:
dist.cheb <- dist(df.scaled, method = "maximum"); dist.cheb## Wyoming Illinois Mississippi Kansas New York Kentucky
## Illinois 1.5939604
## Mississippi 2.0521063 2.7028025
## Kansas 0.5464670 1.5918822 2.2286315
## New York 1.8018683 0.3116811 2.9107104 1.6512808
## Kentucky 0.6399041 2.1483815 1.7819577 0.9702368 2.3562894
## Oklahoma 0.6530462 1.1642124 2.0962376 0.4276699 1.2474473 1.1088421
## Hawaii 1.5939604 2.4115828 2.7028025 1.1781447 2.4709814 2.1483815
## Missouri 1.8700867 0.9009342 1.8018683 1.5138797 1.1088421 1.7661930
## New Mexico 2.4489231 1.2021986 2.2262937 2.0927161 1.1088421 2.3450294
## Louisiana 1.8976467 1.1781447 1.5246578 2.0741719 1.3860526 1.6631605
## South Dakota 1.0395394 2.6334999 2.7140760 1.4553552 2.8414078 1.3018739
## Iowa 1.2473704 2.2927856 3.0671266 0.9944112 2.3521842 1.6549244
## North Dakota 1.3780473 2.7028025 3.3760458 1.5880895 2.9107104 1.9638436
## Texas 1.4693539 0.5702265 2.4948946 1.4783991 0.6296251 1.9404736
## Oklahoma Hawaii Missouri New Mexico Louisiana South Dakota
## Illinois
## Mississippi
## Kansas
## New York
## Kentucky
## Oklahoma
## Hawaii 1.2473704
## Missouri 1.2170406 1.5681228
## New Mexico 1.7958770 2.8392526 1.2711298
## Louisiana 1.9417780 2.4115828 1.4122022 1.4693539
## South Dakota 1.5939604 2.6334999 2.2856616 2.8644979 2.5596164
## Iowa 1.2912504 1.8018683 2.5082909 3.0871273 2.9126670 0.8316315
## North Dakota 1.8849287 2.7028025 3.1019693 3.6808057 3.2215862 0.8163077
## Texas 1.3460052 1.8413563 0.8164294 0.9978963 0.9702368 2.4255920
## Iowa North Dakota
## Illinois
## Mississippi
## Kansas
## New York
## Kentucky
## Oklahoma
## Hawaii
## Missouri
## New Mexico
## Louisiana
## South Dakota
## Iowa
## North Dakota 0.9009342
## Texas 2.3168942 2.7012364fviz_dist(dist.cheb)
4.3 Jarak Manhattan
Jarak Manhattan adalah jumlah perbedaan absolut antar koordinat, seperti berjalan di jalan kota berbentuk grid [jarak berbasis grid (jumlah selisih)].
Contoh aplikasi:
Menghitung jarak dalam gudang/grid jalan yang tidak memungkinkan jalur diagonal.
Menghitung jarak antar dokumen berdasarkan frekuensi kata (NLP).
Rumus: \[ d_{ij}=\sum_{i=1}^p|x_{ki}-x_{kj}| \]
Keterangan :
\(x_{ki}\) = Vektor ke - k pada baris ke - i
\(x_{kj}\)= Vektor ke - k pada baris ke - j
Syntax:
dist.man <- dist(df.scaled, method = "manhattan"); dist.man## Wyoming Illinois Mississippi Kansas New York Kentucky
## Illinois 4.6804639
## Mississippi 4.5477901 5.1034373
## Kansas 1.4950151 4.6314334 5.5975464
## New York 5.4139111 0.7334472 5.4091682 5.3648806
## Kentucky 1.9159642 5.1088324 3.8673166 2.1102578 5.8422796
## Oklahoma 1.3703957 3.6359252 5.4729270 0.9955082 4.3693724 2.8409781
## Hawaii 3.9738430 4.1009258 8.0763743 2.4788279 4.8343730 4.4465291
## Missouri 3.2505127 2.6766756 5.9782446 3.2014823 2.7867606 3.9878005
## New Mexico 5.6300548 2.7514592 5.3741207 5.5810243 2.4338278 6.0584233
## Louisiana 4.3384469 2.5485829 2.5548545 4.2894164 2.9731109 4.7668154
## South Dakota 3.0080629 7.6885267 5.4767741 3.0570933 8.4219740 2.5796943
## Iowa 3.1085028 7.7889667 7.2404771 3.1575333 8.5224139 3.3731605
## North Dakota 5.0427114 9.7231753 7.3728174 5.0917419 10.4566225 4.6143429
## Texas 4.6324690 1.5082739 5.1808752 4.5834386 1.4875431 5.0608376
## Oklahoma Hawaii Missouri New Mexico Louisiana
## Illinois
## Mississippi
## Kansas
## New York
## Kentucky
## Oklahoma
## Hawaii 2.6034473
## Missouri 2.2059740 4.4728430
## New Mexico 4.5855161 6.8523850 2.3795420
## Louisiana 3.5711187 6.1151982 3.4233902 3.0568606
## South Dakota 4.0526016 4.5379784 6.2585756 8.6381176 7.3465098
## Iowa 4.1530415 3.9256352 6.3590155 8.7385576 7.4469497
## North Dakota 6.0872501 5.6222495 8.2932241 10.6727662 9.3811583
## Texas 3.5879303 4.4687467 2.1834220 2.9573454 2.6260207
## South Dakota Iowa North Dakota
## Illinois
## Mississippi
## Kansas
## New York
## Kentucky
## Oklahoma
## Hawaii
## Missouri
## New Mexico
## Louisiana
## South Dakota
## Iowa 1.7637030
## North Dakota 2.0346485 1.9342086
## Texas 7.6405319 7.7409718 9.6751804fviz_dist(dist.man)
4.4 Jarak Mahalanobis
Jarak Mahalanobis adalah jarak antar titik yang mempertimbangkan skala (varians) dan korelasi antar variabel.
Contoh aplikasi:
Mendeteksi transaksi keuangan yang tidak wajar.
Memisahkan kelompok dengan varians dan korelasi berbeda (Analisis Diskriminan) .
Rumus: \[ d_{ij}=\sqrt{(y_{i}-y_{j})^TS^{-1}(y_{i}-y_{j})} \]
Keterangan :
\(y_{i}\) = \((y_{i1},y_{i2},...,y_{ip})\) adalah observasi ke-i
\(y_{j}\) = \((y_{j1},y_{j2},...,y_{jp})\) adalah observasi ke-j
Syntax:
library(StatMatch) # Install packages dengan install.packages("StatMatch")## Loading required package: proxy##
## Attaching package: 'proxy'## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## as.dist, dist## The following object is masked from 'package:base':
##
## as.matrix## Loading required package: survey## Loading required package: grid## Loading required package: Matrix## Loading required package: survival##
## Attaching package: 'survey'## The following object is masked from 'package:graphics':
##
## dotchart## Loading required package: lpSolve## Loading required package: dplyr##
## Attaching package: 'dplyr'## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## filter, lag## The following objects are masked from 'package:base':
##
## intersect, setdiff, setequal, uniondist.mah <- mahalanobis.dist(df.scaled); dist.mah## Wyoming Illinois Mississippi Kansas New York Kentucky
## Wyoming 0.000000 1.7186109 2.820779 1.4195095 1.8695558 2.867847
## Illinois 1.718611 0.0000000 3.658323 2.2905255 0.4722069 3.878642
## Mississippi 2.820779 3.6583235 0.000000 3.2139075 3.6566922 2.544477
## Kansas 1.419510 2.2905255 3.213907 0.0000000 2.1522535 2.048031
## New York 1.869556 0.4722069 3.656692 2.1522535 0.0000000 3.698342
## Kentucky 2.867847 3.8786421 2.544477 2.0480310 3.6983422 0.000000
## Oklahoma 1.146496 1.8980286 3.237573 0.6499978 1.7772007 2.505941
## Hawaii 3.466671 3.6449604 4.722203 2.2108491 3.3748818 2.753554
## Missouri 3.198071 3.6796400 3.956918 2.2592572 3.3618939 2.642756
## New Mexico 3.281318 3.5101406 4.057258 3.1016653 3.2869855 3.870023
## Louisiana 2.284940 2.5550539 1.688058 2.2700723 2.4136664 2.119635
## South Dakota 1.826205 3.3564158 3.087365 1.6274307 3.3404110 2.261154
## Iowa 1.327907 2.6329606 3.559587 1.1128197 2.6839965 2.621704
## North Dakota 1.582582 3.1919907 3.553572 1.9466491 3.3317039 3.040465
## Texas 2.540604 2.4769381 3.093919 1.7462066 2.1399545 2.108949
## Oklahoma Hawaii Missouri New Mexico Louisiana South Dakota
## Wyoming 1.1464956 3.466671 3.198071 3.281318 2.284940 1.826205
## Illinois 1.8980286 3.644960 3.679640 3.510141 2.555054 3.356416
## Mississippi 3.2375727 4.722203 3.956918 4.057258 1.688058 3.087365
## Kansas 0.6499978 2.210849 2.259257 3.101665 2.270072 1.627431
## New York 1.7772007 3.374882 3.361894 3.286985 2.413666 3.340411
## Kentucky 2.5059414 2.753554 2.642756 3.870023 2.119635 2.261154
## Oklahoma 0.0000000 2.705865 2.203038 2.660216 2.350208 1.672866
## Hawaii 2.7058650 0.000000 3.193764 4.645567 3.383255 3.551072
## Missouri 2.2030382 3.193764 0.000000 1.836797 3.256319 2.505784
## New Mexico 2.6602159 4.645567 1.836797 0.000000 3.676879 3.026024
## Louisiana 2.3502077 3.383255 3.256319 3.676879 0.000000 3.021642
## South Dakota 1.6728664 3.551072 2.505784 3.026024 3.021642 0.000000
## Iowa 1.3299426 2.790197 3.145245 3.792086 2.954252 1.518854
## North Dakota 1.9813596 3.780966 3.590548 3.950259 3.434074 1.304743
## Texas 1.9635201 2.082005 2.576037 3.501666 1.527269 3.090805
## Iowa North Dakota Texas
## Wyoming 1.327907 1.582582 2.540604
## Illinois 2.632961 3.191991 2.476938
## Mississippi 3.559587 3.553572 3.093919
## Kansas 1.112820 1.946649 1.746207
## New York 2.683996 3.331704 2.139954
## Kentucky 2.621704 3.040465 2.108949
## Oklahoma 1.329943 1.981360 1.963520
## Hawaii 2.790197 3.780966 2.082005
## Missouri 3.145245 3.590548 2.576037
## New Mexico 3.792086 3.950259 3.501666
## Louisiana 2.954252 3.434074 1.527269
## South Dakota 1.518854 1.304743 3.090805
## Iowa 0.000000 1.045923 2.734770
## North Dakota 1.045923 0.000000 3.563193
## Texas 2.734770 3.563193 0.000000dist.mah_matrix <- as.matrix(dist.mah);dist.mah_matrix## Wyoming Illinois Mississippi Kansas New York Kentucky
## Wyoming 0.000000 1.7186109 2.820779 1.4195095 1.8695558 2.867847
## Illinois 1.718611 0.0000000 3.658323 2.2905255 0.4722069 3.878642
## Mississippi 2.820779 3.6583235 0.000000 3.2139075 3.6566922 2.544477
## Kansas 1.419510 2.2905255 3.213907 0.0000000 2.1522535 2.048031
## New York 1.869556 0.4722069 3.656692 2.1522535 0.0000000 3.698342
## Kentucky 2.867847 3.8786421 2.544477 2.0480310 3.6983422 0.000000
## Oklahoma 1.146496 1.8980286 3.237573 0.6499978 1.7772007 2.505941
## Hawaii 3.466671 3.6449604 4.722203 2.2108491 3.3748818 2.753554
## Missouri 3.198071 3.6796400 3.956918 2.2592572 3.3618939 2.642756
## New Mexico 3.281318 3.5101406 4.057258 3.1016653 3.2869855 3.870023
## Louisiana 2.284940 2.5550539 1.688058 2.2700723 2.4136664 2.119635
## South Dakota 1.826205 3.3564158 3.087365 1.6274307 3.3404110 2.261154
## Iowa 1.327907 2.6329606 3.559587 1.1128197 2.6839965 2.621704
## North Dakota 1.582582 3.1919907 3.553572 1.9466491 3.3317039 3.040465
## Texas 2.540604 2.4769381 3.093919 1.7462066 2.1399545 2.108949
## Oklahoma Hawaii Missouri New Mexico Louisiana South Dakota
## Wyoming 1.1464956 3.466671 3.198071 3.281318 2.284940 1.826205
## Illinois 1.8980286 3.644960 3.679640 3.510141 2.555054 3.356416
## Mississippi 3.2375727 4.722203 3.956918 4.057258 1.688058 3.087365
## Kansas 0.6499978 2.210849 2.259257 3.101665 2.270072 1.627431
## New York 1.7772007 3.374882 3.361894 3.286985 2.413666 3.340411
## Kentucky 2.5059414 2.753554 2.642756 3.870023 2.119635 2.261154
## Oklahoma 0.0000000 2.705865 2.203038 2.660216 2.350208 1.672866
## Hawaii 2.7058650 0.000000 3.193764 4.645567 3.383255 3.551072
## Missouri 2.2030382 3.193764 0.000000 1.836797 3.256319 2.505784
## New Mexico 2.6602159 4.645567 1.836797 0.000000 3.676879 3.026024
## Louisiana 2.3502077 3.383255 3.256319 3.676879 0.000000 3.021642
## South Dakota 1.6728664 3.551072 2.505784 3.026024 3.021642 0.000000
## Iowa 1.3299426 2.790197 3.145245 3.792086 2.954252 1.518854
## North Dakota 1.9813596 3.780966 3.590548 3.950259 3.434074 1.304743
## Texas 1.9635201 2.082005 2.576037 3.501666 1.527269 3.090805
## Iowa North Dakota Texas
## Wyoming 1.327907 1.582582 2.540604
## Illinois 2.632961 3.191991 2.476938
## Mississippi 3.559587 3.553572 3.093919
## Kansas 1.112820 1.946649 1.746207
## New York 2.683996 3.331704 2.139954
## Kentucky 2.621704 3.040465 2.108949
## Oklahoma 1.329943 1.981360 1.963520
## Hawaii 2.790197 3.780966 2.082005
## Missouri 3.145245 3.590548 2.576037
## New Mexico 3.792086 3.950259 3.501666
## Louisiana 2.954252 3.434074 1.527269
## South Dakota 1.518854 1.304743 3.090805
## Iowa 0.000000 1.045923 2.734770
## North Dakota 1.045923 0.000000 3.563193
## Texas 2.734770 3.563193 0.0000004.5 Jarak Minkowski
Jarak Minkowski adalah ukuran jarak antara dua titik dalam ruang vektor yang ditentukan oleh sebuah parameter p untuk mencari jarak umum karena menjadi bentuk dasar yang mencakup berbagai jenis jarak lain.
Secara umum, jika dua titik:
\[ X = (x_1, x_2, ..., x_n), \quad Y = (y_1, y_2, ..., y_n) \]
maka jarak Minkowski didefinisikan sebagai berikut : \[ D(X,Y) =(\sum_{i=1}^n|x_{i}-y_{i}|^p)^\frac{1}{p} \]
Keterangan :
\(p=1\), Jarak Manhattan
\(p=2\), j=Jarak Euclidean
\(p =\infty\), Jarak Chebyshev
Syntax:
set.seed(123)
# Data random (5 observasi dengan 3 variabel)
data <- matrix(runif(15, min = 1, max = 10), nrow = 5, ncol = 3)
colnames(data) <- c("X1", "X2", "X3")
print("Data random:")## [1] "Data random:"print(data)## X1 X2 X3
## [1,] 3.588198 1.410008 9.611500
## [2,] 8.094746 5.752949 5.080007
## [3,] 4.680792 9.031771 7.098136
## [4,] 8.947157 5.962915 6.153701
## [5,] 9.464206 5.109533 1.926322# Tentukan dua titik yang akan dihitung jaraknya
p1 <- data[1, ];p1## X1 X2 X3
## 3.588198 1.410008 9.611500p2 <- data[2, ];p2## X1 X2 X3
## 8.094746 5.752949 5.080007# Fungsi jarak Minkowski
minkowski_distance <- function(x, y, p) {
sum(abs(x - y)^p)^(1/p)
}
# Contoh penggunaan dengan p = 1 (Manhattan), p = 2 (Euclidean), p = 3 (Minkowski umum)
dist_p1 <- minkowski_distance(p1, p2, p = 1);dist_p1## [1] 13.38098dist_p2 <- minkowski_distance(p1, p2, p = 2);dist_p2## [1] 7.726871dist_p3 <- minkowski_distance(p1, p2, p = 3);dist_p3## [1] 6.435156dist_inf <- max(abs(p1 - p2));dist_inf## [1] 4.5314935 Matriks Statistik
Matriks statistik adalah istilah umum untuk menyebut representasi data dalam bentuk matriks, yang kemudian dipakai dalam analisis statistika multivariat.
5.1 Vektor Rata-Rata
Vektor rata-rata adalah vektor yang berisi nilai rata-rata dari setiap variabel dalam data multivariat.
Misalkan ada m buah vektor berdimensi n :
\[ X = (x_{1},x_{2},...,x_{n}) \]
Maka, vektor rata - rata didefinisikan sebagai :
\[ \bar{X}=\frac{1}{m}\sum_{j=1}^mx_{j} \]
Syntax:
# input data kadal
BB = c(6.2,11.5,8.7,10.1,7.8,6.9,12.0,3.1,14.8,9.4)
PM = c(61,73,68,70,64,60,76,49,84,71)
RTB = c(115,138,127,123,131,120,143,95,160,128)
lizard = as.matrix(cbind(BB,PM,RTB)); lizard## BB PM RTB
## [1,] 6.2 61 115
## [2,] 11.5 73 138
## [3,] 8.7 68 127
## [4,] 10.1 70 123
## [5,] 7.8 64 131
## [6,] 6.9 60 120
## [7,] 12.0 76 143
## [8,] 3.1 49 95
## [9,] 14.8 84 160
## [10,] 9.4 71 1285.2 Matriks Rata-Rata
Matriks rata-rata adalah matriks yang setiap barisnya berisi vektor rata-rata dari tiap variabel dalam data multivariat.
\[ M = \begin{bmatrix} \bar{x}_1 & \bar{x}_2 & \cdots & \bar{x}_p \\ \bar{x}_1 & \bar{x}_2 & \cdots & \bar{x}_p \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \bar{x}_1 & \bar{x}_2 & \cdots & \bar{x}_p \end{bmatrix}_{n \times p} \]
Syntax:
vecMeans = as.matrix(colMeans(lizard)); vecMeans## [,1]
## BB 9.05
## PM 67.60
## RTB 128.00vecRata = matrix(c(mean(BB), mean(PM), mean(RTB)), nrow=3, ncol=1); vecRata## [,1]
## [1,] 9.05
## [2,] 67.60
## [3,] 128.005.3 Matriks Kovarians
Matriks kovarians adalah matriks persegi yang berisi kovarians antar pasangan variabel acak dalam suatu data multivariat. Hubungan antar variabel dapat dilihat melalui matriks kovarians.
\[ \Sigma = \begin{bmatrix} \text{cov}(X, X) & \text{cov}(X, Y) & \text{cov}(X, Z) \\ \text{cov}(Y, X) & \text{cov}(Y, Y) & \text{cov}(Y, Z) \\ \text{cov}(Z, X) & \text{cov}(Z, Y) & \text{cov}(Z, Z) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sigma^2_X & \sigma_{XY} & \sigma_{XZ} \\ \sigma_{YX} & \sigma^2_Y & \sigma_{YZ} \\ \sigma_{ZX} & \sigma_{ZY} & \sigma^2_Z \end{bmatrix}\]
Syntax:
# input data kadal
varkov = cov(lizard); varkov## BB PM RTB
## BB 10.98056 31.80000 54.96667
## PM 31.80000 94.04444 160.22222
## RTB 54.96667 160.22222 300.666675.4 Matriks Korelasi
Matriks korelasi adalah matriks persegi yang berisi nilai koefisien korelasi antar pasangan variabel. Kekuatan hubungan linier antara variabel yang sudah diskalakan bisa dilihat melalui matriks korelasi.
\[ R = \begin{bmatrix} 1 & r_{12} & r_{13} \\ r_{21} & 1 & r_{23} \\ r_{31} & r_{32} & 1 \end{bmatrix} \]
Syntax:
# input data kadal
korel = cor(lizard); korel## BB PM RTB
## BB 1.0000000 0.9895743 0.9566313
## PM 0.9895743 1.0000000 0.9528259
## RTB 0.9566313 0.9528259 1.00000005.5 Matriks Standardisasi
Matriks Standardisasi adalah matriks hasil transformasi setiap data ke bentuk standar (z-score), yaitu dengan mengurangi rata-rata dan membaginya dengan simpangan baku.
\[ Z = \begin{bmatrix} \dfrac{x_{11} - \bar{X}_1}{s_1} & \dfrac{x_{12} - \bar{X}_2}{s_2} & \dfrac{x_{13} - \bar{X}_3}{s_3} \\ \dfrac{x_{21} - \bar{X}_1}{s_1} & \dfrac{x_{22} - \bar{X}_2}{s_2} & \dfrac{x_{23} - \bar{X}_3}{s_3} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ \dfrac{x_{n1} - \bar{X}_1}{s_1} & \dfrac{x_{n2} - \bar{X}_2}{s_2} & \dfrac{x_{n3} - \bar{X}_3}{s_3} \end{bmatrix} \]
Syntax:
n = nrow(lizard);n## [1] 10u = matrix(1,n,1); u## [,1]
## [1,] 1
## [2,] 1
## [3,] 1
## [4,] 1
## [5,] 1
## [6,] 1
## [7,] 1
## [8,] 1
## [9,] 1
## [10,] 1xbar = cbind((1/n)*t(u)%*%lizard); xbar## BB PM RTB
## [1,] 9.05 67.6 128D = lizard - u %*% xbar; D## BB PM RTB
## [1,] -2.85 -6.6 -13
## [2,] 2.45 5.4 10
## [3,] -0.35 0.4 -1
## [4,] 1.05 2.4 -5
## [5,] -1.25 -3.6 3
## [6,] -2.15 -7.6 -8
## [7,] 2.95 8.4 15
## [8,] -5.95 -18.6 -33
## [9,] 5.75 16.4 32
## [10,] 0.35 3.4 0S = (1/(n-1))*t(D)%*%D; S## BB PM RTB
## BB 10.98056 31.80000 54.96667
## PM 31.80000 94.04444 160.22222
## RTB 54.96667 160.22222 300.66667Ds = diag(sqrt(diag(S))); Ds## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 3.313692 0.000000 0.00000
## [2,] 0.000000 9.697651 0.00000
## [3,] 0.000000 0.000000 17.33974R = solve(Ds) %*% S %*% solve(Ds); R## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1.0000000 0.9895743 0.9566313
## [2,] 0.9895743 1.0000000 0.9528259
## [3,] 0.9566313 0.9528259 1.0000000