#Prueba chi cuadrado para crear la unifromidad de los numeros pseudoaleatorio
Introducción
En el estudio y aplicación de los números pseudoaleatorios, es fundamental garantizar que estos se comporten como verdaderamente aleatorios para que puedan ser utilizados en simulaciones, métodos estadísticos y aplicaciones computacionales. Una de las principales características que deben cumplir es la uniformidad, es decir, que los números generados estén distribuidos de manera equitativa en el intervalo de interés (generalmente [ 0 , 1] [0,1]).
Para evaluar esta propiedad, se emplea la prueba de bondad de ajuste Chi-Cuadrado ( 𝜒 2 χ 2 ), la cual permite contrastar si la distribución observada de los números pseudoaleatorios difiere significativamente de la distribución teórica uniforme. El procedimiento consiste en dividir el rango de valores en un número determinado de intervalos, contar la frecuencia de ocurrencia en cada uno y compararla con la frecuencia esperada bajo la hipótesis de uniformidad.
La hipótesis a contrastar se establece de la siguiente manera:
El estadístico de prueba se define como:
\[ \chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} \]
donde:
𝑂 𝑖 es la frecuencia observada en el intervalo 𝑖
𝐸 𝑖
es la frecuencia esperada en el intervalo 𝑖 i, calculada bajo la hipótesis de uniformidad.
𝑘 k es el número de intervalos en los que se divide el rango de la distribución.
El valor calculado de 𝜒 2
se compara con el valor crítico de la distribución Chi-Cuadrado con 𝑘 − 1 k−1 grados de libertad (o 𝑘 − 1
k−1−r si se estiman parámetros). Si 𝜒 2
excede el valor crítico para un nivel de significancia 𝛼 α, se rechaza la hipótesis de uniformidad.
De esta manera, la prueba Chi-Cuadrado se convierte en una herramienta esencial para validar si un generador de números pseudoaleatorios es adecuado y cumple con la propiedad de uniformidad requerida en aplicaciones prácticas.
Ejemplo {r} a <- 18420 c <- 1105
m <- 2134678691 X_n <- 44 # semilla random.number<-numeric(50)
# vector numérico de longitud 50 for (i in 1:50) {X_n<-(a*X_n+c)%%m
random.number[i]<-X_n/m # números en el intervalo [0,1] }
random.number
{r}
{r} library(agricolae)
{r} histo <- hist(random.number, breaks=6) Tabla <- table.freq(histo) lim_inf <-Tabla\(Lower #limite inferior del intervalo lim_sup <- Tabla\)Upper # limite superior del intervalo
obser <- Tabla$Frequency Ei <- length(random.number)/length(obser) # Valor esperado en una uniforme es E= n/#intervalos
{r} cbind(lim_inf,lim_sup,obser,Ei) # visualizacion de las frecuencias observadas y esperadas en los intervalos.
{r} # calculando la estadística chi cuadrada x2 <- (obser-Ei)^2/Ei x2 chicuad <- sum(x2)
{r} chicuad # Estadistica chi cuadrada
{r} dchi <- qchisq(0.05,length(obser)-1,lower.tail=F)# valor de la distribución chi cuadrada con k-1 grado de libertad y nivel de signiicancia 0.05
# Decisión estadística
ifelse(chicuad < dchi,“Los \(U_i\) provienen de una distribución uniforme [0,1]”, “Los $U_i no siguen una uniforme [0,1]”)
La prueba Chi-Cuadrado es una herramienta estadística que permite comprobar si los números pseudoaleatorios generados presentan la propiedad de uniformidad. Al comparar las frecuencias observadas en distintos intervalos con las frecuencias esperadas bajo una distribución uniforme, se puede determinar si existen diferencias significativas. De esta forma, la prueba permite validar la calidad del generador de números aleatorios y su adecuación para aplicaciones en simulación y análisis estadístico.