Matriks, vektor, dan Matriks Jarak
Asrial Qodri Siregar
2025-09-10
Apa Itu Matriks?
Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun berdasarkan baris dan kolom, serta ditempatkan di dalam tanda kurung yang diatur dalam baris-baris dan kolom-kolom. Matriks ini membentuk jajaran persegi panjang atau persegi, dan bilangan-bilangan di dalamnya disebut elemen atau entri matriks. Matriks dinotasikan dengan huruf kapital. Sebagai contoh, matriks A ordo 3 x 3 seperti di bawah ini :
\[A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f\\ g & h & i \end{bmatrix}\]
Cara Menginput Matriks
Untuk menginput entri matriks dapat dilakukan dengan 2 cara yaitu berdasarkan baris dan berdasarkan kolom Untuk menyatakan matriks, kita harus menggunakan function matrix(). Apabila matriks ingin disajikan berdasarkan kolom, dapat dinyatakan seperti dibawah ini :
# Membuat matriks X berordo 3x3 (pengisian per kolom)
X = matrix(c(6,3,9,
5,4,7,
8,1,6), nrow = 3, ncol = 3); X## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 6 5 8
## [2,] 3 4 1
## [3,] 9 7 6dalam syntax [6,3,9] merupakan kolom pertama, [5,4,7] untuk kolom kedua, dan [8,1,6] untuk kolom ketiga. Selanjutkan jika ingin menyatakan matriks berdasarkan baris, kita dapat menyatakan matriks dengan byrow = TRUE seperti di bawah ini :
Y = matrix(c(1,9,2,
6,2,3,
5,3,8), nrow = 3, ncol = 3,byrow = TRUE)
cat("Matriks Y:\n")## Matriks Y:print(Y)## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1 9 2
## [2,] 6 2 3
## [3,] 5 3 8Operasi Matriks
Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Dua atau lebih matriks yang dijumlahkan atau dikurang harus memiliki ordo yang sama misalkan harus sama-sama berordo 2 x 2, bentuk syntax sebagai berikut :
X+Y #penjumlahan## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 7 14 10
## [2,] 9 6 4
## [3,] 14 10 14X-Y #pengurangan## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 5 -4 6
## [2,] -3 2 -2
## [3,] 4 4 -2Perkalian Antar Matriks
Cara melakukan perkalian matriks adalah dengan mengalikan elemen-elemen pada baris ke-i dari matriks pertama dengan elemen-elemen pada kolom ke-j dari matriks kedua, lalu menjumlahkan hasil perkalian tersebut. Syaratnya, jumlah kolom pada matriks pertama harus sama dengan jumlah baris pada matriks kedua. Hasil perkalian akan berbentuk matriks baru dengan ukuran (ordo): jumlah baris dari matriks pertama × jumlah kolom dari matriks kedua.
X%*%Y #perkalian## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 76 88 91
## [2,] 32 38 26
## [3,] 81 113 87Perkalian Antar Elemen
Konsep dari operasi ini sama saja dengan operasi penjumlahan dan pengurangan. Akan tetapi, operasi yang digunakan adalah perkalian. Bentuk matriks yang dapat dikalikan bisa dalam bentuk skalar ataupun matriks itu sendiri. Adapun, bentuk syntax sebagai berikut :
X*Y #matriks## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 6 45 16
## [2,] 18 8 3
## [3,] 45 21 482*X #skalar## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 12 10 16
## [2,] 6 8 2
## [3,] 18 14 12Transpose Matriks
Transpose matriks adalah operasi yang menukar baris menjadi kolom matriks, sedangkan kolom menjadi baris matriks. Misalnya A berordo m x n ditranspose menjadi \(A^T\), sehingga ordonya menjadi n x m. Adapun, ilustrasinya sebagai berikut :
\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} \]
maka hasil transpose adalah:
\[ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} \]
Untuk operasi transpose, kita dapat menggunakan syntax t().
transX = t(X); transX## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 6 3 9
## [2,] 5 4 7
## [3,] 8 1 6transY = t(Y); transY## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1 6 5
## [2,] 9 2 3
## [3,] 2 3 8Invers Matriks
Invers matriks dinotasikan sebagai \(A^{-1}\), dengan rumus umum sebagai berikut :
\[ A^{-1} = \frac{1}{det(A)} adj(A) \]
Dengan syarat, det(A) \(\neq 0\). Adapun, bentuk syntax pada R sebagai berikut :
inv_X = solve(X); inv_X## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -0.2698413 -0.41269841 0.4285714
## [2,] 0.1428571 0.57142857 -0.2857143
## [3,] 0.2380952 -0.04761905 -0.1428571inv_Y = solve(Y); inv_Y## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -0.02554745 0.24087591 -0.08394161
## [2,] 0.12043796 0.00729927 -0.03284672
## [3,] -0.02919708 -0.15328467 0.18978102Determinan Matriks
Determinan adalah sebuah nilai khusus yang dapat dihitung dari sebuah matriks persegi. Nilai ini menunjukkan sifat dari matriks, misalnya apakah matriks tersebut memiliki invers atau tidak. Jika determinan suatu matriks bernilai nol, maka matriks tersebut tidak mempunyai invers.Untuk matriks ordo 2 x 2 memiliki rumus umum sebagai berikut:
\[A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \to det(A) =ad-bc\]
Perhitungan determinan matriks dengan ordo selain 2 x 2 jauh lebih kompleks. Oleh karena itu, kita dapat menggunakan syntax det() untuk memudahkan pengerjaan.
det(X)## [1] -63det(Y)## [1] -274Pemanggilan Entri Matriks
Cara memanggil entri matriks dapat menggunakan format sebagai berikut “Nama Matriks[baris,kolom]”
#Memanggil seluruh entri matriks
Y## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1 9 2
## [2,] 6 2 3
## [3,] 5 3 8#Memanggil entri matriks kolom ke-i
Y[,2]## [1] 9 2 3#Memanggil entri matriks baris 1 dan kolom 3
Y[1,3]## [1] 2#Memanggil entri matriks pada sel tertentu
X[c(2,1),2]## [1] 4 5Nilai dan Vektor Eigen
Nilai Eigen (λ) adalah nilai khusus yang menunjukkan jumlah variasi (informasi) yang dapat dijelaskan oleh satu komponen. Sedangkan, Vektor Eigen adalah vektor khusus yang arah atau garis lurusnya tidak berubah ketika dikalikan dengan matriks, Vektor ini menunjukkan arah dari varians yang dijelaskan oleh nilai eigen.
Nilai dan vektor eigen dari sebuah matriks A memenuhi persamaan:
\[Av=\lambda I\]
Yang dapat diselesaikan menggunakan persamaan karakteristik
\[ det(A-\lambda I) = 0 \]
eigX = eigen(X); eigX## eigen() decomposition
## $values
## [1] 16.375729 -2.158258 1.782529
##
## $vectors
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -0.6596389 -0.7533791 0.5264778
## [2,] -0.2180221 0.2696159 -0.8175236
## [3,] -0.7192655 0.5997726 0.2334016eigY = eigen(Y); eigY## eigen() decomposition
## $values
## [1] 12.994248 -5.696114 3.701866
##
## $vectors
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -0.4721446 -0.8082761 -0.4952275
## [2,] -0.4624513 0.5632101 -0.3274876
## [3,] -0.7504787 0.1717093 0.8046749eigvalX = eigX$values; eigvalX## [1] 16.375729 -2.158258 1.782529eigvalY = eigY$values; eigvalY## [1] 12.994248 -5.696114 3.701866eigvecX = eigX$vectors; eigvecX## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -0.6596389 -0.7533791 0.5264778
## [2,] -0.2180221 0.2696159 -0.8175236
## [3,] -0.7192655 0.5997726 0.2334016eigvecY = eigY$vectors; eigvecY## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -0.4721446 -0.8082761 -0.4952275
## [2,] -0.4624513 0.5632101 -0.3274876
## [3,] -0.7504787 0.1717093 0.8046749Dekomposisi Singular Value (SVD)
Dekomposisi Singular Value (SVD) adalah salah satu teknik dalam aljabar linear yang digunakan untuk memfaktorkan sebuah matriks menjadi tiga komponen penting. Jika ada sebuah matriks \(A\) berukuran m x n, maka SVD menuliskan:
\[A=U\Sigma V^t\]
Ket :
U = matriks ortogonal m x m, V = matriks orthogonal n x n \(\Sigma\) = matriks berukuran m x n yang elemen-elemen diagonal utamanya adalah nilai-nilai singular dari matriks A dan elemen-elemen lainnya 0
#Mencari nilai Matriks A
A <- matrix(c(2,1,7,5,-3,2,-1,2,6,4,-2,9), 4, 3, byrow=TRUE)
A## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 2 1 7
## [2,] 5 -3 2
## [3,] -1 2 6
## [4,] 4 -2 9svd_result <- svd(A)
singular_value <- svd_result$d ; singular_value## [1] 13.826446 6.451462 1.099102Untuk mengetahui setiap komponen yang membentuk matriks A. Kita dapat menggunakan syntax sebagai berikut :
U <- svd_result$u ; U## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -0.5176188 0.2272262 -0.72263364
## [2,] -0.2802457 -0.7411579 -0.31866617
## [3,] -0.3672408 0.6045619 0.06573244
## [4,] -0.7201857 -0.1831889 0.60986207V <- svd_result$v ; V## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -0.35800724 -0.7112581 -0.6049320
## [2,] 0.07442318 0.6240758 -0.7778114
## [3,] -0.93074809 0.3234831 0.1704896#Matriks Jarak
set.seed(321)
ss <- sample(1:50, 15)
df <- USArrests[ss, ]
df.scaled <- scale(df); df.scaled## Murder Assault UrbanPop Rape
## Wyoming -0.3721741 -0.02296746 -0.3418930 -0.62039386
## Illinois 0.4221896 1.02244775 1.2520675 0.62633064
## Mississippi 1.6799322 1.14124493 -1.4507350 -0.39776448
## Kansas -0.5486994 -0.56943449 0.0739228 -0.26418686
## New York 0.5766492 1.08184634 1.4599754 0.93801176
## Kentucky 0.2677300 -0.64071280 -0.8963140 -0.51650015
## Oklahoma -0.4163054 -0.14176464 0.2125281 0.03265231
## Hawaii -0.7031590 -1.38913505 1.2520675 0.06233622
## Missouri 0.1132704 0.17898775 0.3511333 1.24969289
## New Mexico 0.6428462 1.45011760 0.3511333 1.82852926
## Louisiana 1.5254725 1.02244775 0.0739228 0.35917539
## South Dakota -1.0341439 -0.91394632 -1.3814324 -1.03596869
## Iowa -1.3871944 -1.27033787 -0.5498008 -1.25859806
## North Dakota -1.6961136 -1.40101477 -1.4507350 -1.85227639
## Texas 0.9296998 0.45222127 1.0441596 0.84896001
## attr(,"scaled:center")
## Murder Assault UrbanPop Rape
## 8.486667 162.933333 64.933333 19.780000
## attr(,"scaled:scale")
## Murder Assault UrbanPop Rape
## 4.531929 84.177081 14.429467 6.737655Jarak Euclidean
Jarak Euclidean adalah jarak lurus (garis terpendek) antara dua titik di ruang. Dengan bentuk rumus umum sebagai berikut :
\[ d_{ij}=\sqrt{\sum_{i=1}^p(x_{ki}-x_{kj})^2} \]
Keterangan : p = dimensi [jarak lurus standar]
\(x_{ki}\) = Vektor ke - k pada baris ke - i
\(x_{kj}\)= Vektor ke - k pada baris ke - j
install.packages("factoextra", repos = "https://cran.r-project.org")## Installing package into 'C:/Users/LENOVO/AppData/Local/R/win-library/4.4'
## (as 'lib' is unspecified)## package 'factoextra' successfully unpacked and MD5 sums checked
##
## The downloaded binary packages are in
## C:\Users\LENOVO\AppData\Local\Temp\Rtmpmcr76F\downloaded_packageslibrary(factoextra)## Warning: package 'factoextra' was built under R version 4.4.3## Loading required package: ggplot2## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 4.4.3## Welcome! Want to learn more? See two factoextra-related books at https://goo.gl/ve3WBadist.eucl <- dist(df.scaled, method = "euclidean"); dist.eucl## Wyoming Illinois Mississippi Kansas New York Kentucky
## Illinois 2.4122476
## Mississippi 2.6164146 3.1543527
## Kansas 0.7934567 2.3786048 3.1993198
## New York 2.7921742 0.4095812 3.3878156 2.7128511
## Kentucky 1.0532156 2.9515362 2.3433244 1.2948587 3.2757206
## Oklahoma 0.8659748 1.8685718 2.9986711 0.5547563 2.2043102 1.4993175
## Hawaii 2.2322175 2.7203365 4.4270510 1.4800030 2.9246694 2.5403456
## Missouri 2.0625111 1.4167282 3.0563398 1.8349434 1.5351057 2.3176129
## New Mexico 3.1109091 1.5775154 3.0617092 3.1551035 1.4705638 3.4011133
## Louisiana 2.4137967 1.6360410 1.7133330 2.6879097 1.7776353 2.4609320
## South Dakota 1.5765126 3.9457686 3.4644086 1.7515852 4.3067435 1.5082173
## Iowa 1.7426214 3.9154083 4.0958166 1.6038155 4.2724405 1.9508929
## North Dakota 2.5296038 4.8794481 4.4694938 2.6181473 5.2524274 2.5546862
## Texas 2.4496576 0.8218968 2.9692463 2.3259192 0.8377979 2.6949264
## Oklahoma Hawaii Missouri New Mexico Louisiana South Dakota
## Illinois
## Mississippi
## Kansas
## New York
## Kentucky
## Oklahoma
## Hawaii 1.6491638
## Missouri 1.3724911 2.3123720
## New Mexico 2.6268378 3.7154012 1.4937447
## Louisiana 2.2916633 3.5012381 1.8909275 1.7882330
## South Dakota 2.1588538 2.9115203 3.2767510 4.4281177 3.7902169
## Iowa 2.1130016 2.3395756 3.3845451 4.6758935 4.0922753 0.9964108
## North Dakota 3.0891779 3.4578871 4.3173165 5.5131433 4.8442635 1.1604313
## Texas 1.8768374 2.5920693 1.1756214 1.5867966 1.3643137 3.8935265
## Iowa North Dakota
## Illinois
## Mississippi
## Kansas
## New York
## Kentucky
## Oklahoma
## Hawaii
## Missouri
## New Mexico
## Louisiana
## South Dakota
## Iowa
## North Dakota 1.1298867
## Texas 3.9137858 4.8837032fviz_dist(dist.eucl)
Jarak Chebysev
Jarak Manhatan adalah Jumlah perbedaan absolut antar koordinat, seperti berjalan di jalan kota berbentuk grid [jarak berbasis grid (jumlah selisih)]. Berikut bentuk umum dari rumus jarak manhatan :
\[ d_{ij}=\max_i \, |x_{ki} - x_{kj}| \] Ket: \(x_{ki}\) = Vektor ke - k pada baris ke - i \(x_{kj}\)= Vektor ke - k pada baris ke - j
dist.cheb <- dist(df.scaled, method = "maximum"); dist.cheb## Wyoming Illinois Mississippi Kansas New York Kentucky
## Illinois 1.5939604
## Mississippi 2.0521063 2.7028025
## Kansas 0.5464670 1.5918822 2.2286315
## New York 1.8018683 0.3116811 2.9107104 1.6512808
## Kentucky 0.6399041 2.1483815 1.7819577 0.9702368 2.3562894
## Oklahoma 0.6530462 1.1642124 2.0962376 0.4276699 1.2474473 1.1088421
## Hawaii 1.5939604 2.4115828 2.7028025 1.1781447 2.4709814 2.1483815
## Missouri 1.8700867 0.9009342 1.8018683 1.5138797 1.1088421 1.7661930
## New Mexico 2.4489231 1.2021986 2.2262937 2.0927161 1.1088421 2.3450294
## Louisiana 1.8976467 1.1781447 1.5246578 2.0741719 1.3860526 1.6631605
## South Dakota 1.0395394 2.6334999 2.7140760 1.4553552 2.8414078 1.3018739
## Iowa 1.2473704 2.2927856 3.0671266 0.9944112 2.3521842 1.6549244
## North Dakota 1.3780473 2.7028025 3.3760458 1.5880895 2.9107104 1.9638436
## Texas 1.4693539 0.5702265 2.4948946 1.4783991 0.6296251 1.9404736
## Oklahoma Hawaii Missouri New Mexico Louisiana South Dakota
## Illinois
## Mississippi
## Kansas
## New York
## Kentucky
## Oklahoma
## Hawaii 1.2473704
## Missouri 1.2170406 1.5681228
## New Mexico 1.7958770 2.8392526 1.2711298
## Louisiana 1.9417780 2.4115828 1.4122022 1.4693539
## South Dakota 1.5939604 2.6334999 2.2856616 2.8644979 2.5596164
## Iowa 1.2912504 1.8018683 2.5082909 3.0871273 2.9126670 0.8316315
## North Dakota 1.8849287 2.7028025 3.1019693 3.6808057 3.2215862 0.8163077
## Texas 1.3460052 1.8413563 0.8164294 0.9978963 0.9702368 2.4255920
## Iowa North Dakota
## Illinois
## Mississippi
## Kansas
## New York
## Kentucky
## Oklahoma
## Hawaii
## Missouri
## New Mexico
## Louisiana
## South Dakota
## Iowa
## North Dakota 0.9009342
## Texas 2.3168942 2.7012364fviz_dist(dist.cheb)
Jarak Manhattan (City Block)
Jarak Manhatan adalah Jumlah perbedaan absolut antar koordinat, seperti berjalan di jalan kota berbentuk grid [jarak berbasis grid (jumlah selisih)]. Berikut bentuk umum dari rumus jarak manhatan :Jarak Chebysev adalah satu ukuran jarak (distance metric) antara dua titik dalam ruang vektor berbentuk selisih terbesar di antara semua koordinat kedua titik. Berikut bentuk umum dari rumus Jarak Chebysev :
\[ d_{ij}=\sum_{i=1}^p|x_{ki}-x_{kj}| \]
Ket : \(x_{ki}\) = Vektor ke - k pada baris ke - i \(x_{kj}\)= Vektor ke - k pada baris ke - j
dist.man <- dist(df.scaled, method = "manhattan"); dist.man## Wyoming Illinois Mississippi Kansas New York Kentucky
## Illinois 4.6804639
## Mississippi 4.5477901 5.1034373
## Kansas 1.4950151 4.6314334 5.5975464
## New York 5.4139111 0.7334472 5.4091682 5.3648806
## Kentucky 1.9159642 5.1088324 3.8673166 2.1102578 5.8422796
## Oklahoma 1.3703957 3.6359252 5.4729270 0.9955082 4.3693724 2.8409781
## Hawaii 3.9738430 4.1009258 8.0763743 2.4788279 4.8343730 4.4465291
## Missouri 3.2505127 2.6766756 5.9782446 3.2014823 2.7867606 3.9878005
## New Mexico 5.6300548 2.7514592 5.3741207 5.5810243 2.4338278 6.0584233
## Louisiana 4.3384469 2.5485829 2.5548545 4.2894164 2.9731109 4.7668154
## South Dakota 3.0080629 7.6885267 5.4767741 3.0570933 8.4219740 2.5796943
## Iowa 3.1085028 7.7889667 7.2404771 3.1575333 8.5224139 3.3731605
## North Dakota 5.0427114 9.7231753 7.3728174 5.0917419 10.4566225 4.6143429
## Texas 4.6324690 1.5082739 5.1808752 4.5834386 1.4875431 5.0608376
## Oklahoma Hawaii Missouri New Mexico Louisiana
## Illinois
## Mississippi
## Kansas
## New York
## Kentucky
## Oklahoma
## Hawaii 2.6034473
## Missouri 2.2059740 4.4728430
## New Mexico 4.5855161 6.8523850 2.3795420
## Louisiana 3.5711187 6.1151982 3.4233902 3.0568606
## South Dakota 4.0526016 4.5379784 6.2585756 8.6381176 7.3465098
## Iowa 4.1530415 3.9256352 6.3590155 8.7385576 7.4469497
## North Dakota 6.0872501 5.6222495 8.2932241 10.6727662 9.3811583
## Texas 3.5879303 4.4687467 2.1834220 2.9573454 2.6260207
## South Dakota Iowa North Dakota
## Illinois
## Mississippi
## Kansas
## New York
## Kentucky
## Oklahoma
## Hawaii
## Missouri
## New Mexico
## Louisiana
## South Dakota
## Iowa 1.7637030
## North Dakota 2.0346485 1.9342086
## Texas 7.6405319 7.7409718 9.6751804fviz_dist(dist.man)
Jarak Mahalanobis
Jarak Mahalanobis adalah jarak antar titik yang mempertimbangkan skala (varians) dan korelasi antar variabel. Berikut bentuk umum dari rumus Jarak Mahalanobis :
\[ d_{ij}=\sqrt{(y_{i}-y_{j})^TS^{-1}(y_{i}-y_{j})} \]
Keterangan : >\(y_{i}\) = \((y_{i1},y_{i2},...,y_{ip})\) adalah observasi ke-i > > \(y_{j}\) = \((y_{j1},y_{j2},...,y_{jp})\) adalah observasi ke-j
library(StatMatch)## Warning: package 'StatMatch' was built under R version 4.4.3## Loading required package: proxy## Warning: package 'proxy' was built under R version 4.4.3##
## Attaching package: 'proxy'## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## as.dist, dist## The following object is masked from 'package:base':
##
## as.matrix## Loading required package: survey## Warning: package 'survey' was built under R version 4.4.3## Loading required package: grid## Loading required package: Matrix## Loading required package: survival##
## Attaching package: 'survey'## The following object is masked from 'package:graphics':
##
## dotchart## Loading required package: lpSolve## Warning: package 'lpSolve' was built under R version 4.4.2## Loading required package: dplyr##
## Attaching package: 'dplyr'## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## filter, lag## The following objects are masked from 'package:base':
##
## intersect, setdiff, setequal, uniondist.mah <- mahalanobis.dist(df.scaled); dist.mah## Wyoming Illinois Mississippi Kansas New York Kentucky
## Wyoming 0.000000 1.7186109 2.820779 1.4195095 1.8695558 2.867847
## Illinois 1.718611 0.0000000 3.658323 2.2905255 0.4722069 3.878642
## Mississippi 2.820779 3.6583235 0.000000 3.2139075 3.6566922 2.544477
## Kansas 1.419510 2.2905255 3.213907 0.0000000 2.1522535 2.048031
## New York 1.869556 0.4722069 3.656692 2.1522535 0.0000000 3.698342
## Kentucky 2.867847 3.8786421 2.544477 2.0480310 3.6983422 0.000000
## Oklahoma 1.146496 1.8980286 3.237573 0.6499978 1.7772007 2.505941
## Hawaii 3.466671 3.6449604 4.722203 2.2108491 3.3748818 2.753554
## Missouri 3.198071 3.6796400 3.956918 2.2592572 3.3618939 2.642756
## New Mexico 3.281318 3.5101406 4.057258 3.1016653 3.2869855 3.870023
## Louisiana 2.284940 2.5550539 1.688058 2.2700723 2.4136664 2.119635
## South Dakota 1.826205 3.3564158 3.087365 1.6274307 3.3404110 2.261154
## Iowa 1.327907 2.6329606 3.559587 1.1128197 2.6839965 2.621704
## North Dakota 1.582582 3.1919907 3.553572 1.9466491 3.3317039 3.040465
## Texas 2.540604 2.4769381 3.093919 1.7462066 2.1399545 2.108949
## Oklahoma Hawaii Missouri New Mexico Louisiana South Dakota
## Wyoming 1.1464956 3.466671 3.198071 3.281318 2.284940 1.826205
## Illinois 1.8980286 3.644960 3.679640 3.510141 2.555054 3.356416
## Mississippi 3.2375727 4.722203 3.956918 4.057258 1.688058 3.087365
## Kansas 0.6499978 2.210849 2.259257 3.101665 2.270072 1.627431
## New York 1.7772007 3.374882 3.361894 3.286985 2.413666 3.340411
## Kentucky 2.5059414 2.753554 2.642756 3.870023 2.119635 2.261154
## Oklahoma 0.0000000 2.705865 2.203038 2.660216 2.350208 1.672866
## Hawaii 2.7058650 0.000000 3.193764 4.645567 3.383255 3.551072
## Missouri 2.2030382 3.193764 0.000000 1.836797 3.256319 2.505784
## New Mexico 2.6602159 4.645567 1.836797 0.000000 3.676879 3.026024
## Louisiana 2.3502077 3.383255 3.256319 3.676879 0.000000 3.021642
## South Dakota 1.6728664 3.551072 2.505784 3.026024 3.021642 0.000000
## Iowa 1.3299426 2.790197 3.145245 3.792086 2.954252 1.518854
## North Dakota 1.9813596 3.780966 3.590548 3.950259 3.434074 1.304743
## Texas 1.9635201 2.082005 2.576037 3.501666 1.527269 3.090805
## Iowa North Dakota Texas
## Wyoming 1.327907 1.582582 2.540604
## Illinois 2.632961 3.191991 2.476938
## Mississippi 3.559587 3.553572 3.093919
## Kansas 1.112820 1.946649 1.746207
## New York 2.683996 3.331704 2.139954
## Kentucky 2.621704 3.040465 2.108949
## Oklahoma 1.329943 1.981360 1.963520
## Hawaii 2.790197 3.780966 2.082005
## Missouri 3.145245 3.590548 2.576037
## New Mexico 3.792086 3.950259 3.501666
## Louisiana 2.954252 3.434074 1.527269
## South Dakota 1.518854 1.304743 3.090805
## Iowa 0.000000 1.045923 2.734770
## North Dakota 1.045923 0.000000 3.563193
## Texas 2.734770 3.563193 0.000000dist.mah_matrix <- as.matrix(dist.mah);dist.mah_matrix## Wyoming Illinois Mississippi Kansas New York Kentucky
## Wyoming 0.000000 1.7186109 2.820779 1.4195095 1.8695558 2.867847
## Illinois 1.718611 0.0000000 3.658323 2.2905255 0.4722069 3.878642
## Mississippi 2.820779 3.6583235 0.000000 3.2139075 3.6566922 2.544477
## Kansas 1.419510 2.2905255 3.213907 0.0000000 2.1522535 2.048031
## New York 1.869556 0.4722069 3.656692 2.1522535 0.0000000 3.698342
## Kentucky 2.867847 3.8786421 2.544477 2.0480310 3.6983422 0.000000
## Oklahoma 1.146496 1.8980286 3.237573 0.6499978 1.7772007 2.505941
## Hawaii 3.466671 3.6449604 4.722203 2.2108491 3.3748818 2.753554
## Missouri 3.198071 3.6796400 3.956918 2.2592572 3.3618939 2.642756
## New Mexico 3.281318 3.5101406 4.057258 3.1016653 3.2869855 3.870023
## Louisiana 2.284940 2.5550539 1.688058 2.2700723 2.4136664 2.119635
## South Dakota 1.826205 3.3564158 3.087365 1.6274307 3.3404110 2.261154
## Iowa 1.327907 2.6329606 3.559587 1.1128197 2.6839965 2.621704
## North Dakota 1.582582 3.1919907 3.553572 1.9466491 3.3317039 3.040465
## Texas 2.540604 2.4769381 3.093919 1.7462066 2.1399545 2.108949
## Oklahoma Hawaii Missouri New Mexico Louisiana South Dakota
## Wyoming 1.1464956 3.466671 3.198071 3.281318 2.284940 1.826205
## Illinois 1.8980286 3.644960 3.679640 3.510141 2.555054 3.356416
## Mississippi 3.2375727 4.722203 3.956918 4.057258 1.688058 3.087365
## Kansas 0.6499978 2.210849 2.259257 3.101665 2.270072 1.627431
## New York 1.7772007 3.374882 3.361894 3.286985 2.413666 3.340411
## Kentucky 2.5059414 2.753554 2.642756 3.870023 2.119635 2.261154
## Oklahoma 0.0000000 2.705865 2.203038 2.660216 2.350208 1.672866
## Hawaii 2.7058650 0.000000 3.193764 4.645567 3.383255 3.551072
## Missouri 2.2030382 3.193764 0.000000 1.836797 3.256319 2.505784
## New Mexico 2.6602159 4.645567 1.836797 0.000000 3.676879 3.026024
## Louisiana 2.3502077 3.383255 3.256319 3.676879 0.000000 3.021642
## South Dakota 1.6728664 3.551072 2.505784 3.026024 3.021642 0.000000
## Iowa 1.3299426 2.790197 3.145245 3.792086 2.954252 1.518854
## North Dakota 1.9813596 3.780966 3.590548 3.950259 3.434074 1.304743
## Texas 1.9635201 2.082005 2.576037 3.501666 1.527269 3.090805
## Iowa North Dakota Texas
## Wyoming 1.327907 1.582582 2.540604
## Illinois 2.632961 3.191991 2.476938
## Mississippi 3.559587 3.553572 3.093919
## Kansas 1.112820 1.946649 1.746207
## New York 2.683996 3.331704 2.139954
## Kentucky 2.621704 3.040465 2.108949
## Oklahoma 1.329943 1.981360 1.963520
## Hawaii 2.790197 3.780966 2.082005
## Missouri 3.145245 3.590548 2.576037
## New Mexico 3.792086 3.950259 3.501666
## Louisiana 2.954252 3.434074 1.527269
## South Dakota 1.518854 1.304743 3.090805
## Iowa 0.000000 1.045923 2.734770
## North Dakota 1.045923 0.000000 3.563193
## Texas 2.734770 3.563193 0.000000Jarak Minkowski
Jarak Minkowski adalah ukuran jarak (distance metric) yang merupakan generalisasi dari jarak Euclidean dan Manhattan dalam ruang vektor. Jarak Minkowski adalah ukuran jarak antara dua titik dalam ruang vektor yang ditentukan oleh sebuah parameter p untuk mencari jarak umum karena menjadi bentuk dasar yang mencakup berbagai jenis jarak lain p=1 untuk jarak Manhattan, p=2 untuk jarak Euclidean, p->tak hingga jarak chebyshev Secara umum, jika dua titik
set.seed(123)
# Data random (5 observasi dengan 3 variabel)
data <- matrix(runif(15, min = 1, max = 10), nrow = 5, ncol = 3)
colnames(data) <- c("X1", "X2", "X3")
print("Data random:")## [1] "Data random:"print(data)## X1 X2 X3
## [1,] 3.588198 1.410008 9.611500
## [2,] 8.094746 5.752949 5.080007
## [3,] 4.680792 9.031771 7.098136
## [4,] 8.947157 5.962915 6.153701
## [5,] 9.464206 5.109533 1.926322# Tentukan dua titik yang akan dihitung jaraknya
p1 <- data[1, ];p1## X1 X2 X3
## 3.588198 1.410008 9.611500p2 <- data[2, ];p2## X1 X2 X3
## 8.094746 5.752949 5.080007# Fungsi jarak Minkowski
minkowski_distance <- function(x, y, p) {
sum(abs(x - y)^p)^(1/p)
}
# Contoh penggunaan dengan p = 1 (Manhattan), p = 2 (Euclidean), p = 3 (Minkowski umum)
dist_p1 <- minkowski_distance(p1, p2, p = 1);dist_p1## [1] 13.38098dist_p2 <- minkowski_distance(p1, p2, p = 2);dist_p2## [1] 7.726871dist_p3 <- minkowski_distance(p1, p2, p = 3);dist_p3## [1] 6.435156dist_inf <- max(abs(p1 - p2));dist_inf## [1] 4.531493Vektor Rata - rata
Vektor rata-rata adalah vektor yang setiap elemennya merupakan nilai rata-rata dari data pada posisi (letak elemen) yang sama di antara sekumpulan vektor.
Misalkan ada m buah vektor berdimensi n :
\[ X = (x_{1},x_{2},...,x_{n}) \]
Maka, vektor rata - rata didefinisikan sebagai :
\[ \bar{X}=\frac{1}{m}\sum_{j=1}^mx_{j} \]
# input data kadal
BB = c(6.2,11.5,8.7,10.1,7.8,6.9,12.0,3.1,14.8,9.4)
PM = c(61,73,68,70,64,60,76,49,84,71)
RTB = c(115,138,127,123,131,120,143,95,160,128)
lizard = as.matrix(cbind(BB,PM,RTB)); lizard## BB PM RTB
## [1,] 6.2 61 115
## [2,] 11.5 73 138
## [3,] 8.7 68 127
## [4,] 10.1 70 123
## [5,] 7.8 64 131
## [6,] 6.9 60 120
## [7,] 12.0 76 143
## [8,] 3.1 49 95
## [9,] 14.8 84 160
## [10,] 9.4 71 128# Matriks Rata-Rata
vecMeans = as.matrix(colMeans(lizard)); vecMeans## [,1]
## BB 9.05
## PM 67.60
## RTB 128.00vecRata = matrix(c(mean(BB), mean(PM), mean(RTB)), nrow=3, ncol=1); vecRata## [,1]
## [1,] 9.05
## [2,] 67.60
## [3,] 128.00Matriks Kovarians
Matriks kovarians adalah sebuah matriks persegi dan simetris yang elemen-elemennya merepresentasikan kovarians antara setiap pasang variabel dalam suatu kumpulan data. Elemen diagonal utama matriks ini berisi varian dari masing-masing variabel.
\[ \Sigma = \begin{bmatrix} \text{cov}(X, X) & \text{cov}(X, Y) & \text{cov}(X, Z) \\ \text{cov}(Y, X) & \text{cov}(Y, Y) & \text{cov}(Y, Z) \\ \text{cov}(Z, X) & \text{cov}(Z, Y) & \text{cov}(Z, Z) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sigma^2_X & \sigma_{XY} & \sigma_{XZ} \\ \sigma_{YX} & \sigma^2_Y & \sigma_{YZ} \\ \sigma_{ZX} & \sigma_{ZY} & \sigma^2_Z \end{bmatrix}\]
Adapun, bentuk syntax berupa package sebagai berikut :
varkov = cov(lizard); varkov## BB PM RTB
## BB 10.98056 31.80000 54.96667
## PM 31.80000 94.04444 160.22222
## RTB 54.96667 160.22222 300.66667Matriks Korelasi
Matriks korelasi adalah Matrikstabel berbentuk matriks yang berisi nilai koefisien korelasi antar pasangan variabel dalam suatu data. bentuk dari matriks korelasi adalah sebagai berikut:
\[ R = \begin{bmatrix} 1 & r_{12} & r_{13} \\ r_{21} & 1 & r_{23} \\ r_{31} & r_{32} & 1 \end{bmatrix} \] Untuk mengetahui suatu korelasi antar variable dapat menggunakan syntax sebgai berikut:
korel = cor(lizard); korel## BB PM RTB
## BB 1.0000000 0.9895743 0.9566313
## PM 0.9895743 1.0000000 0.9528259
## RTB 0.9566313 0.9528259 1.0000000#Matriks standardisasi Matriks standardisasi adalah matriks data yang setiap elemennya sudah diubah menjadi nilai standar (z-score), yaitu nilai yang menunjukkan seberapa jauh suatu data dari rata-rata dalam satuan standar deviasi. Matriks Standardisasi merupakan akar dari variansi dari masing-masing variabel
Untuk matriks standardisasi dapat menggunakan syntax sebagai berikut:
n = nrow(lizard);n## [1] 10u = matrix(1,n,1); u## [,1]
## [1,] 1
## [2,] 1
## [3,] 1
## [4,] 1
## [5,] 1
## [6,] 1
## [7,] 1
## [8,] 1
## [9,] 1
## [10,] 1xbar = cbind((1/n)*t(u)%*%lizard); xbar## BB PM RTB
## [1,] 9.05 67.6 128D = lizard - u %*% xbar; D## BB PM RTB
## [1,] -2.85 -6.6 -13
## [2,] 2.45 5.4 10
## [3,] -0.35 0.4 -1
## [4,] 1.05 2.4 -5
## [5,] -1.25 -3.6 3
## [6,] -2.15 -7.6 -8
## [7,] 2.95 8.4 15
## [8,] -5.95 -18.6 -33
## [9,] 5.75 16.4 32
## [10,] 0.35 3.4 0S = (1/(n-1))*t(D)%*%D; S## BB PM RTB
## BB 10.98056 31.80000 54.96667
## PM 31.80000 94.04444 160.22222
## RTB 54.96667 160.22222 300.66667Ds = diag(sqrt(diag(S))); Ds## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 3.313692 0.000000 0.00000
## [2,] 0.000000 9.697651 0.00000
## [3,] 0.000000 0.000000 17.33974R = solve(Ds) %*% S %*% solve(Ds); R## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1.0000000 0.9895743 0.9566313
## [2,] 0.9895743 1.0000000 0.9528259
## [3,] 0.9566313 0.9528259 1.0000000