Analisis Data Multivariat 1
Farah Amalia Diena
2025-09-09
Operasi Matriks dalam Analisis Data Multivariat
Dalam analisis data multivariat, data yang terdiri atas sejumlah besar variabel dan observasi direpresentasikan dalam bentuk matriks agar mudah diproses secara matematis. Matriks berfungsi sebagai tempat untuk menyimpan nilai observasi dalam baris dan variabel dalam kolom, sehingga berbagai perhitungan dapat dilakukan secara serentak dan sistematis. Oleh karena itu, penguasaan terhadap operasi dasar matriks merupakan prasyarat penting sebelum mempelajari metode-metode analisis data multivariat lebih lanjut.
Untuk memberikan contoh operasi matriks menggunakan R, akan digunakan matriks X dan matriks Y sebagai berikut :
X = matrix(c(6.5,8.2,7.9,
5.4,7.0,6.7,
8.1,6.9,9.2), nrow = 3, ncol = 3); X## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 6.5 5.4 8.1
## [2,] 8.2 7.0 6.9
## [3,] 7.9 6.7 9.2Y = matrix(c(7.3,6.8,8.5,
8.9,7.6,6.1,
9.4,8.0,7.2), nrow = 3, ncol = 3, byrow = TRUE); Y## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 7.3 6.8 8.5
## [2,] 8.9 7.6 6.1
## [3,] 9.4 8.0 7.21. Penjumlahan
Operasi penjumlahan pada matriks dapat dilakukan ketika matriks tersebut memiliki ordo yang sama. Penjumlahan pada matriks dilakukan dengan menjumlahkan setiap elemen pada matriks. Contoh operasi penjumlahan matriks :
X## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 6.5 5.4 8.1
## [2,] 8.2 7.0 6.9
## [3,] 7.9 6.7 9.2Y## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 7.3 6.8 8.5
## [2,] 8.9 7.6 6.1
## [3,] 9.4 8.0 7.2X + Y## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 13.8 12.2 16.6
## [2,] 17.1 14.6 13.0
## [3,] 17.3 14.7 16.4Y + X## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 13.8 12.2 16.6
## [2,] 17.1 14.6 13.0
## [3,] 17.3 14.7 16.42. Pengurangan
Operasi pengurangan pada matriks dapat dilakukan ketika matriks tersebut memiliki ordo yang sama. Pengurangan pada matriks dilakukan dengan mengurangkan setiap elemen pada matriks. Contoh operasi pengurangan matriks :
X## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 6.5 5.4 8.1
## [2,] 8.2 7.0 6.9
## [3,] 7.9 6.7 9.2Y## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 7.3 6.8 8.5
## [2,] 8.9 7.6 6.1
## [3,] 9.4 8.0 7.2X - Y## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -0.8 -1.4 -0.4
## [2,] -0.7 -0.6 0.8
## [3,] -1.5 -1.3 2.0Y - X## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 0.8 1.4 0.4
## [2,] 0.7 0.6 -0.8
## [3,] 1.5 1.3 -2.03. Perkalian
Dua matriks dapat dikalikan jika banyak kolom matriks pertama sama dengan banyak baris matriks kedua. Sebuah matriks juga dapat dikalikan dengan skalar dengan cara mengalikan langsung semua elemen pada matriks dengan skalar. Contoh operasi perkalian matriks :
X## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 6.5 5.4 8.1
## [2,] 8.2 7.0 6.9
## [3,] 7.9 6.7 9.2Y## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 7.3 6.8 8.5
## [2,] 8.9 7.6 6.1
## [3,] 9.4 8.0 7.2X %*% Y## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 171.65 150.04 146.51
## [2,] 187.02 164.16 162.08
## [3,] 203.78 178.24 174.26Y*X## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 47.45 36.72 68.85
## [2,] 72.98 53.20 42.09
## [3,] 74.26 53.60 66.242*X## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 13.0 10.8 16.2
## [2,] 16.4 14.0 13.8
## [3,] 15.8 13.4 18.44. Transpose Matriks
Transpose matriks merupakan matriks yang baris dan kolomnya ditukar. Transpose matriks dinotasikan sebagai \(X^\top\). Contoh transpose matriks :
transX = t(X); transX## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 6.5 8.2 7.9
## [2,] 5.4 7.0 6.7
## [3,] 8.1 6.9 9.2transY = t(Y); transY## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 7.3 8.9 9.4
## [2,] 6.8 7.6 8.0
## [3,] 8.5 6.1 7.25. Invers Matriks
Invers matriks adalah kebalikan (invers) dari sebuah matriks yang apabila matriks tersebut dikalikan dengan inversnya, akan menjadi matriks identitas. Invers matriks dinotasikan sebagai \(X^{-1}\). Contoh invers matriks :
inv_X = solve(X); inv_X## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 8.3848639 2.118136 -8.9709275
## [2,] -9.6585141 -1.933549 9.9538533
## [3,] -0.1661283 -0.410706 0.5629903inv_Y = solve(Y); inv_Y## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -1.27147766 -4.089347 4.965636
## [2,] 1.44759450 5.871993 -6.683849
## [3,] 0.05154639 -1.185567 1.0824746. Determinan Matriks
Determinan suatu matriks didefinisikan sebagai selisih antara perkalian elemen-elemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen-elemen pada diagonal sekunder. Determinan matriks hanya dapat ditentukan pada matriks persegi. Determinan dari matriks A dapat dituliskan det(A) atau |A|. Contoh determinan matriks :
det(X)## [1] 2.167det(Y)## [1] -4.656Eigen Value dan Eigen Vector
Eigen Value menunjukkan jumlah variasi (informasi) yang dapat dijelaskan oleh satu komponen dalam suatu matriks. Eigen Vector menunjukkan jumlah variasi (informasi) yang dijelaskan suatu komponen lainnya. Eigen Value dan eigen vector ini sangat berguna dalam analisis data multivariat misalnya Principal Komponen Analysis, Factor Analysis, dll.
Contoh Eigen Value dan Eigen Vector dari matriks :
eigX = eigen(X); eigX## eigen() decomposition
## $values
## [1] 22.0140019 0.4816027 0.2043953
##
## $vectors
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 0.5268942 0.5218595 0.61121520
## [2,] 0.5752916 -0.8360039 -0.78978922
## [3,] 0.6256373 0.1695881 0.05146821eigY = eigen(Y); eigY## eigen() decomposition
## $values
## [1] 23.230397 -1.286223 0.155826
##
## $vectors
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -0.5633011 -0.7710948 0.5522886
## [2,] -0.5584126 0.5270180 -0.8126545
## [3,] -0.6089887 0.3573023 0.1859299eigvalX = eigX$values; eigvalX## [1] 22.0140019 0.4816027 0.2043953eigvalY = eigY$values; eigvalY## [1] 23.230397 -1.286223 0.155826eigvecX = eigX$vectors; eigvecX## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 0.5268942 0.5218595 0.61121520
## [2,] 0.5752916 -0.8360039 -0.78978922
## [3,] 0.6256373 0.1695881 0.05146821eigvecY = eigY$vectors; eigvecY## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -0.5633011 -0.7710948 0.5522886
## [2,] -0.5584126 0.5270180 -0.8126545
## [3,] -0.6089887 0.3573023 0.1859299Dekomposisi Singular Value (SVD)
Decomposisi Singular Value (Singular Value Decomposition atau SVD) adalah sebuah metode dalam aljabar linear yang memecah matriks menjadi tiga komponen utama: matriks singular, vektor singular kiri, dan vektor singular kanan. Matriks singular berisi nilai-nilai singular yang menggambarkan pentingnya setiap vektor singular dalam matriks asli. Matriks vektor singular kiri berisi vektor-vektor singular yang membentuk sumbu-sumbu utama atau kontribusi utama dari matriks asli. Matriks vektor singular kanan berisi vektor-vektor singular yang mempengaruhi atau dipengaruhi oleh matriks asli. SVD sangat berguna dalam pemampatan data karena memungkinkan kita untuk mengidentifikasi pola dan struktur penting dalam matriks asli, serta menghilangkan informasi yang kurang penting.
Contoh Dekomposisi Singular Value (SVD) dari matriks :
svd_result <- svd(X)
singular_value <- svd_result$d ; singular_value## [1] 22.12315121 1.83666449 0.05333129U <- svd_result$u ; U## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -0.5274319 0.5066162 -0.6820231
## [2,] -0.5747343 -0.8039611 -0.1527316
## [3,] -0.6256964 0.3114266 0.7152045V <- svd_result$v ; V## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -0.5914226 -0.4569184 -0.66441323
## [2,] -0.5000842 -0.4385353 0.74672792
## [3,] -0.6325624 0.7738943 0.03086198Matriks jarak
Matriks jarak adalah matriks berbentuk persegi yang berisi ukuran kedekatan atau perbedaan antar objek dalam suatu himpunan data. Setiap baris dan kolom merepresentasikan objek, sedangkan elemen di dalam matriks menunjukkan jarak antara dua objek tertentu.
Contoh matriks jarak :
set.seed(321)
ss <- sample(1:50, 15)
df <- USArrests[ss, ]
df.scaled <- scale(df); df.scaled## Murder Assault UrbanPop Rape
## Wyoming -0.3721741 -0.02296746 -0.3418930 -0.62039386
## Illinois 0.4221896 1.02244775 1.2520675 0.62633064
## Mississippi 1.6799322 1.14124493 -1.4507350 -0.39776448
## Kansas -0.5486994 -0.56943449 0.0739228 -0.26418686
## New York 0.5766492 1.08184634 1.4599754 0.93801176
## Kentucky 0.2677300 -0.64071280 -0.8963140 -0.51650015
## Oklahoma -0.4163054 -0.14176464 0.2125281 0.03265231
## Hawaii -0.7031590 -1.38913505 1.2520675 0.06233622
## Missouri 0.1132704 0.17898775 0.3511333 1.24969289
## New Mexico 0.6428462 1.45011760 0.3511333 1.82852926
## Louisiana 1.5254725 1.02244775 0.0739228 0.35917539
## South Dakota -1.0341439 -0.91394632 -1.3814324 -1.03596869
## Iowa -1.3871944 -1.27033787 -0.5498008 -1.25859806
## North Dakota -1.6961136 -1.40101477 -1.4507350 -1.85227639
## Texas 0.9296998 0.45222127 1.0441596 0.84896001
## attr(,"scaled:center")
## Murder Assault UrbanPop Rape
## 8.486667 162.933333 64.933333 19.780000
## attr(,"scaled:scale")
## Murder Assault UrbanPop Rape
## 4.531929 84.177081 14.429467 6.737655Jarak Euclidean
Jarak Euclidean merupakan salah satu ukuran jarak yang paling umum digunakan dalam analisis data. Konsep ini berasal dari geometri Euclid, yaitu jarak garis lurus terpendek antara dua titik dalam ruang. Contoh jarak Euclidean :
dist.eucl <- dist(df.scaled, method = "euclidean"); dist.eucl## Wyoming Illinois Mississippi Kansas New York Kentucky
## Illinois 2.4122476
## Mississippi 2.6164146 3.1543527
## Kansas 0.7934567 2.3786048 3.1993198
## New York 2.7921742 0.4095812 3.3878156 2.7128511
## Kentucky 1.0532156 2.9515362 2.3433244 1.2948587 3.2757206
## Oklahoma 0.8659748 1.8685718 2.9986711 0.5547563 2.2043102 1.4993175
## Hawaii 2.2322175 2.7203365 4.4270510 1.4800030 2.9246694 2.5403456
## Missouri 2.0625111 1.4167282 3.0563398 1.8349434 1.5351057 2.3176129
## New Mexico 3.1109091 1.5775154 3.0617092 3.1551035 1.4705638 3.4011133
## Louisiana 2.4137967 1.6360410 1.7133330 2.6879097 1.7776353 2.4609320
## South Dakota 1.5765126 3.9457686 3.4644086 1.7515852 4.3067435 1.5082173
## Iowa 1.7426214 3.9154083 4.0958166 1.6038155 4.2724405 1.9508929
## North Dakota 2.5296038 4.8794481 4.4694938 2.6181473 5.2524274 2.5546862
## Texas 2.4496576 0.8218968 2.9692463 2.3259192 0.8377979 2.6949264
## Oklahoma Hawaii Missouri New Mexico Louisiana South Dakota
## Illinois
## Mississippi
## Kansas
## New York
## Kentucky
## Oklahoma
## Hawaii 1.6491638
## Missouri 1.3724911 2.3123720
## New Mexico 2.6268378 3.7154012 1.4937447
## Louisiana 2.2916633 3.5012381 1.8909275 1.7882330
## South Dakota 2.1588538 2.9115203 3.2767510 4.4281177 3.7902169
## Iowa 2.1130016 2.3395756 3.3845451 4.6758935 4.0922753 0.9964108
## North Dakota 3.0891779 3.4578871 4.3173165 5.5131433 4.8442635 1.1604313
## Texas 1.8768374 2.5920693 1.1756214 1.5867966 1.3643137 3.8935265
## Iowa North Dakota
## Illinois
## Mississippi
## Kansas
## New York
## Kentucky
## Oklahoma
## Hawaii
## Missouri
## New Mexico
## Louisiana
## South Dakota
## Iowa
## North Dakota 1.1298867
## Texas 3.9137858 4.8837032fviz_dist(dist.eucl)
Jarak Euclidean dapat digunakan untuk menghitung jarak garis lurus antar dua koordinat (GPS). Jarak ini dapat digunakan juga untuk Clustering (K-Means, Hierarchical), objek yang jaraknya dekat digabungkan.
Jarak Chebysev
Jarak Chebyshev mengukur jarak maksimum pada satu dimensi mana pun. Jarak Chebysev hanya mengambil selisih terbesar antar pasangan variabel dari dua objek. Contoh jarak Chebysev :
dist.cheb <- dist(df.scaled, method = "maximum"); dist.cheb## Wyoming Illinois Mississippi Kansas New York Kentucky
## Illinois 1.5939604
## Mississippi 2.0521063 2.7028025
## Kansas 0.5464670 1.5918822 2.2286315
## New York 1.8018683 0.3116811 2.9107104 1.6512808
## Kentucky 0.6399041 2.1483815 1.7819577 0.9702368 2.3562894
## Oklahoma 0.6530462 1.1642124 2.0962376 0.4276699 1.2474473 1.1088421
## Hawaii 1.5939604 2.4115828 2.7028025 1.1781447 2.4709814 2.1483815
## Missouri 1.8700867 0.9009342 1.8018683 1.5138797 1.1088421 1.7661930
## New Mexico 2.4489231 1.2021986 2.2262937 2.0927161 1.1088421 2.3450294
## Louisiana 1.8976467 1.1781447 1.5246578 2.0741719 1.3860526 1.6631605
## South Dakota 1.0395394 2.6334999 2.7140760 1.4553552 2.8414078 1.3018739
## Iowa 1.2473704 2.2927856 3.0671266 0.9944112 2.3521842 1.6549244
## North Dakota 1.3780473 2.7028025 3.3760458 1.5880895 2.9107104 1.9638436
## Texas 1.4693539 0.5702265 2.4948946 1.4783991 0.6296251 1.9404736
## Oklahoma Hawaii Missouri New Mexico Louisiana South Dakota
## Illinois
## Mississippi
## Kansas
## New York
## Kentucky
## Oklahoma
## Hawaii 1.2473704
## Missouri 1.2170406 1.5681228
## New Mexico 1.7958770 2.8392526 1.2711298
## Louisiana 1.9417780 2.4115828 1.4122022 1.4693539
## South Dakota 1.5939604 2.6334999 2.2856616 2.8644979 2.5596164
## Iowa 1.2912504 1.8018683 2.5082909 3.0871273 2.9126670 0.8316315
## North Dakota 1.8849287 2.7028025 3.1019693 3.6808057 3.2215862 0.8163077
## Texas 1.3460052 1.8413563 0.8164294 0.9978963 0.9702368 2.4255920
## Iowa North Dakota
## Illinois
## Mississippi
## Kansas
## New York
## Kentucky
## Oklahoma
## Hawaii
## Missouri
## New Mexico
## Louisiana
## South Dakota
## Iowa
## North Dakota 0.9009342
## Texas 2.3168942 2.7012364fviz_dist(dist.cheb)
Jarak Chebysev dapat digunakan untuk menghitung jarak langkah raja antara dua posisi. Jarak ini Berguna di quality control multivariat, misalnya mengecek dimensi produk (lebar, panjang, tinggi),jarak ini berfokus pada dimensi terburuk.
Jarak Manhattan
Jarak Manhattan adalah salah satu ukuran jarak yang menghitung jumlah selisih absolut antar variabel dari dua objek. Contoh jarak Manhattan :
dist.man <- dist(df.scaled, method = "manhattan"); dist.man## Wyoming Illinois Mississippi Kansas New York Kentucky
## Illinois 4.6804639
## Mississippi 4.5477901 5.1034373
## Kansas 1.4950151 4.6314334 5.5975464
## New York 5.4139111 0.7334472 5.4091682 5.3648806
## Kentucky 1.9159642 5.1088324 3.8673166 2.1102578 5.8422796
## Oklahoma 1.3703957 3.6359252 5.4729270 0.9955082 4.3693724 2.8409781
## Hawaii 3.9738430 4.1009258 8.0763743 2.4788279 4.8343730 4.4465291
## Missouri 3.2505127 2.6766756 5.9782446 3.2014823 2.7867606 3.9878005
## New Mexico 5.6300548 2.7514592 5.3741207 5.5810243 2.4338278 6.0584233
## Louisiana 4.3384469 2.5485829 2.5548545 4.2894164 2.9731109 4.7668154
## South Dakota 3.0080629 7.6885267 5.4767741 3.0570933 8.4219740 2.5796943
## Iowa 3.1085028 7.7889667 7.2404771 3.1575333 8.5224139 3.3731605
## North Dakota 5.0427114 9.7231753 7.3728174 5.0917419 10.4566225 4.6143429
## Texas 4.6324690 1.5082739 5.1808752 4.5834386 1.4875431 5.0608376
## Oklahoma Hawaii Missouri New Mexico Louisiana
## Illinois
## Mississippi
## Kansas
## New York
## Kentucky
## Oklahoma
## Hawaii 2.6034473
## Missouri 2.2059740 4.4728430
## New Mexico 4.5855161 6.8523850 2.3795420
## Louisiana 3.5711187 6.1151982 3.4233902 3.0568606
## South Dakota 4.0526016 4.5379784 6.2585756 8.6381176 7.3465098
## Iowa 4.1530415 3.9256352 6.3590155 8.7385576 7.4469497
## North Dakota 6.0872501 5.6222495 8.2932241 10.6727662 9.3811583
## Texas 3.5879303 4.4687467 2.1834220 2.9573454 2.6260207
## South Dakota Iowa North Dakota
## Illinois
## Mississippi
## Kansas
## New York
## Kentucky
## Oklahoma
## Hawaii
## Missouri
## New Mexico
## Louisiana
## South Dakota
## Iowa 1.7637030
## North Dakota 2.0346485 1.9342086
## Texas 7.6405319 7.7409718 9.6751804fviz_dist(dist.man)
Jarak Manhattan dapat digunakan untuk menghitung jarak dalam gudang/grid jalan yang tidak memungkinkan jalur diagonal, dan menghitung jarak antar dokumen berdasarkan frekuensi kata (NLP).
Jarak Mahalanobis
Jarak Mahalanobis adalah ukuran jarak antar dua objek yang mempertimbangkan korelasi antar variabel dan varians tiap variabel dalam perhitungannya. Jarak Mahalanobis menormalkan perbedaan antar variabel berdasarkan struktur kovarians data. Contoh jarak Mahalanobis :
library(StatMatch)## Warning: package 'StatMatch' was built under R version 4.4.3## Loading required package: proxy## Warning: package 'proxy' was built under R version 4.4.3##
## Attaching package: 'proxy'## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## as.dist, dist## The following object is masked from 'package:base':
##
## as.matrix## Loading required package: survey## Warning: package 'survey' was built under R version 4.4.3## Loading required package: grid## Loading required package: Matrix## Loading required package: survival##
## Attaching package: 'survey'## The following object is masked from 'package:graphics':
##
## dotchart## Loading required package: lpSolve## Warning: package 'lpSolve' was built under R version 4.4.2## Loading required package: dplyr##
## Attaching package: 'dplyr'## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## filter, lag## The following objects are masked from 'package:base':
##
## intersect, setdiff, setequal, uniondist.mah <- mahalanobis.dist(df.scaled); dist.mah## Wyoming Illinois Mississippi Kansas New York Kentucky
## Wyoming 0.000000 1.7186109 2.820779 1.4195095 1.8695558 2.867847
## Illinois 1.718611 0.0000000 3.658323 2.2905255 0.4722069 3.878642
## Mississippi 2.820779 3.6583235 0.000000 3.2139075 3.6566922 2.544477
## Kansas 1.419510 2.2905255 3.213907 0.0000000 2.1522535 2.048031
## New York 1.869556 0.4722069 3.656692 2.1522535 0.0000000 3.698342
## Kentucky 2.867847 3.8786421 2.544477 2.0480310 3.6983422 0.000000
## Oklahoma 1.146496 1.8980286 3.237573 0.6499978 1.7772007 2.505941
## Hawaii 3.466671 3.6449604 4.722203 2.2108491 3.3748818 2.753554
## Missouri 3.198071 3.6796400 3.956918 2.2592572 3.3618939 2.642756
## New Mexico 3.281318 3.5101406 4.057258 3.1016653 3.2869855 3.870023
## Louisiana 2.284940 2.5550539 1.688058 2.2700723 2.4136664 2.119635
## South Dakota 1.826205 3.3564158 3.087365 1.6274307 3.3404110 2.261154
## Iowa 1.327907 2.6329606 3.559587 1.1128197 2.6839965 2.621704
## North Dakota 1.582582 3.1919907 3.553572 1.9466491 3.3317039 3.040465
## Texas 2.540604 2.4769381 3.093919 1.7462066 2.1399545 2.108949
## Oklahoma Hawaii Missouri New Mexico Louisiana South Dakota
## Wyoming 1.1464956 3.466671 3.198071 3.281318 2.284940 1.826205
## Illinois 1.8980286 3.644960 3.679640 3.510141 2.555054 3.356416
## Mississippi 3.2375727 4.722203 3.956918 4.057258 1.688058 3.087365
## Kansas 0.6499978 2.210849 2.259257 3.101665 2.270072 1.627431
## New York 1.7772007 3.374882 3.361894 3.286985 2.413666 3.340411
## Kentucky 2.5059414 2.753554 2.642756 3.870023 2.119635 2.261154
## Oklahoma 0.0000000 2.705865 2.203038 2.660216 2.350208 1.672866
## Hawaii 2.7058650 0.000000 3.193764 4.645567 3.383255 3.551072
## Missouri 2.2030382 3.193764 0.000000 1.836797 3.256319 2.505784
## New Mexico 2.6602159 4.645567 1.836797 0.000000 3.676879 3.026024
## Louisiana 2.3502077 3.383255 3.256319 3.676879 0.000000 3.021642
## South Dakota 1.6728664 3.551072 2.505784 3.026024 3.021642 0.000000
## Iowa 1.3299426 2.790197 3.145245 3.792086 2.954252 1.518854
## North Dakota 1.9813596 3.780966 3.590548 3.950259 3.434074 1.304743
## Texas 1.9635201 2.082005 2.576037 3.501666 1.527269 3.090805
## Iowa North Dakota Texas
## Wyoming 1.327907 1.582582 2.540604
## Illinois 2.632961 3.191991 2.476938
## Mississippi 3.559587 3.553572 3.093919
## Kansas 1.112820 1.946649 1.746207
## New York 2.683996 3.331704 2.139954
## Kentucky 2.621704 3.040465 2.108949
## Oklahoma 1.329943 1.981360 1.963520
## Hawaii 2.790197 3.780966 2.082005
## Missouri 3.145245 3.590548 2.576037
## New Mexico 3.792086 3.950259 3.501666
## Louisiana 2.954252 3.434074 1.527269
## South Dakota 1.518854 1.304743 3.090805
## Iowa 0.000000 1.045923 2.734770
## North Dakota 1.045923 0.000000 3.563193
## Texas 2.734770 3.563193 0.000000dist.mah_matrix <- as.matrix(dist.mah);dist.mah_matrix## Wyoming Illinois Mississippi Kansas New York Kentucky
## Wyoming 0.000000 1.7186109 2.820779 1.4195095 1.8695558 2.867847
## Illinois 1.718611 0.0000000 3.658323 2.2905255 0.4722069 3.878642
## Mississippi 2.820779 3.6583235 0.000000 3.2139075 3.6566922 2.544477
## Kansas 1.419510 2.2905255 3.213907 0.0000000 2.1522535 2.048031
## New York 1.869556 0.4722069 3.656692 2.1522535 0.0000000 3.698342
## Kentucky 2.867847 3.8786421 2.544477 2.0480310 3.6983422 0.000000
## Oklahoma 1.146496 1.8980286 3.237573 0.6499978 1.7772007 2.505941
## Hawaii 3.466671 3.6449604 4.722203 2.2108491 3.3748818 2.753554
## Missouri 3.198071 3.6796400 3.956918 2.2592572 3.3618939 2.642756
## New Mexico 3.281318 3.5101406 4.057258 3.1016653 3.2869855 3.870023
## Louisiana 2.284940 2.5550539 1.688058 2.2700723 2.4136664 2.119635
## South Dakota 1.826205 3.3564158 3.087365 1.6274307 3.3404110 2.261154
## Iowa 1.327907 2.6329606 3.559587 1.1128197 2.6839965 2.621704
## North Dakota 1.582582 3.1919907 3.553572 1.9466491 3.3317039 3.040465
## Texas 2.540604 2.4769381 3.093919 1.7462066 2.1399545 2.108949
## Oklahoma Hawaii Missouri New Mexico Louisiana South Dakota
## Wyoming 1.1464956 3.466671 3.198071 3.281318 2.284940 1.826205
## Illinois 1.8980286 3.644960 3.679640 3.510141 2.555054 3.356416
## Mississippi 3.2375727 4.722203 3.956918 4.057258 1.688058 3.087365
## Kansas 0.6499978 2.210849 2.259257 3.101665 2.270072 1.627431
## New York 1.7772007 3.374882 3.361894 3.286985 2.413666 3.340411
## Kentucky 2.5059414 2.753554 2.642756 3.870023 2.119635 2.261154
## Oklahoma 0.0000000 2.705865 2.203038 2.660216 2.350208 1.672866
## Hawaii 2.7058650 0.000000 3.193764 4.645567 3.383255 3.551072
## Missouri 2.2030382 3.193764 0.000000 1.836797 3.256319 2.505784
## New Mexico 2.6602159 4.645567 1.836797 0.000000 3.676879 3.026024
## Louisiana 2.3502077 3.383255 3.256319 3.676879 0.000000 3.021642
## South Dakota 1.6728664 3.551072 2.505784 3.026024 3.021642 0.000000
## Iowa 1.3299426 2.790197 3.145245 3.792086 2.954252 1.518854
## North Dakota 1.9813596 3.780966 3.590548 3.950259 3.434074 1.304743
## Texas 1.9635201 2.082005 2.576037 3.501666 1.527269 3.090805
## Iowa North Dakota Texas
## Wyoming 1.327907 1.582582 2.540604
## Illinois 2.632961 3.191991 2.476938
## Mississippi 3.559587 3.553572 3.093919
## Kansas 1.112820 1.946649 1.746207
## New York 2.683996 3.331704 2.139954
## Kentucky 2.621704 3.040465 2.108949
## Oklahoma 1.329943 1.981360 1.963520
## Hawaii 2.790197 3.780966 2.082005
## Missouri 3.145245 3.590548 2.576037
## New Mexico 3.792086 3.950259 3.501666
## Louisiana 2.954252 3.434074 1.527269
## South Dakota 1.518854 1.304743 3.090805
## Iowa 0.000000 1.045923 2.734770
## North Dakota 1.045923 0.000000 3.563193
## Texas 2.734770 3.563193 0.000000Jarak Mahalanobis dapat digunakan untuk mendeteksi transaksi keuangan yang tidak wajar, dan memisahkan kelompok dengan varians dan korelasi berbeda (Analisis Diskriminan).
Jarak Minkowski
Jarak Minkowski adalah ukuran jarak antara dua titik dalam ruang vektor yang ditentukan oleh sebuah parameter p untuk mencari jarak umum karena menjadi bentuk dasar yang mencakup berbagai jenis jarak lain. p=1 jarak Manhattan, p=2 jarak Euclidean, p->tak hingga jarak chebyshev. Contoh jarak Minkowski :
# p=1 jarak Manhattan, p=2 jarak Euclidean, p->tak hingga jarak chebyshev
set.seed(123)
# Data random (5 observasi dengan 3 variabel)
data <- matrix(runif(15, min = 1, max = 10), nrow = 5, ncol = 3)
colnames(data) <- c("X1", "X2", "X3")
print("Data random:")## [1] "Data random:"print(data)## X1 X2 X3
## [1,] 3.588198 1.410008 9.611500
## [2,] 8.094746 5.752949 5.080007
## [3,] 4.680792 9.031771 7.098136
## [4,] 8.947157 5.962915 6.153701
## [5,] 9.464206 5.109533 1.926322# Tentukan dua titik yang akan dihitung jaraknya
p1 <- data[1, ];p1## X1 X2 X3
## 3.588198 1.410008 9.611500p2 <- data[2, ];p2## X1 X2 X3
## 8.094746 5.752949 5.080007# Fungsi jarak Minkowski
minkowski_distance <- function(x, y, p) {
sum(abs(x - y)^p)^(1/p)
}
# Contoh penggunaan dengan p = 1 (Manhattan), p = 2 (Euclidean), p = 3 (Minkowski umum)
dist_p1 <- minkowski_distance(p1, p2, p = 1);dist_p1## [1] 13.38098dist_p2 <- minkowski_distance(p1, p2, p = 2);dist_p2## [1] 7.726871dist_p3 <- minkowski_distance(p1, p2, p = 3);dist_p3## [1] 6.435156dist_inf <- max(abs(p1 - p2));dist_inf## [1] 4.531493Vektor Rata-rata
Vektor rata-rata adalah vektor yang berisi nilai rata-rata dari setiap variabel. Jika data memiliki n observasi dan p variabel, maka vektor rata-rata berukuran p×1, yaitu satu nilai rata-rata untuk tiap variabel.
Untuk memberikan contoh perhitungan vektor rata-rata menggunakan R, akan digunakan matriks sebagai berikut :
BB = c(6.2,11.5,8.7,10.1,7.8,6.9,12.0,3.1,14.8,9.4)
PM = c(61,73,68,70,64,60,76,49,84,71)
RTB = c(115,138,127,123,131,120,143,95,160,128)
lizard = as.matrix(cbind(BB,PM,RTB)); lizard## BB PM RTB
## [1,] 6.2 61 115
## [2,] 11.5 73 138
## [3,] 8.7 68 127
## [4,] 10.1 70 123
## [5,] 7.8 64 131
## [6,] 6.9 60 120
## [7,] 12.0 76 143
## [8,] 3.1 49 95
## [9,] 14.8 84 160
## [10,] 9.4 71 1281. Matriks Rata-rata
Matriks rata-rata adalah matriks yang dibentuk dengan cara mengulangi vektor rata-rata sebanyak jumlah observasi. Matriks ini sangat berguna dalam perhitungan seperti sentralisasi data (mengurangi setiap observasi dengan rata-ratanya), yang menjadi langkah penting sebelum analisis lebih lanjut seperti analisis kovarians, PCA (Principal Component Analysis), dan analisis faktor. Contoh matriks rata-rata :
vecMeans = as.matrix(colMeans(lizard)); vecMeans## [,1]
## BB 9.05
## PM 67.60
## RTB 128.00vecRata = matrix(c(mean(BB), mean(PM), mean(RTB)), nrow=3, ncol=1); vecRata## [,1]
## [1,] 9.05
## [2,] 67.60
## [3,] 128.002. Matriks Kovarians
Matriks kovarians adalah matriks yang berisi varians pada diagonal utama dan kovarians antarvariabel pada elemen lainnya, sehingga menggambarkan sebaran dan hubungan linear antarvariabel dalam data multivariat. Contoh matriks Kovarians :
varkov = cov(lizard); varkov## BB PM RTB
## BB 10.98056 31.80000 54.96667
## PM 31.80000 94.04444 160.22222
## RTB 54.96667 160.22222 300.666673. Matriks Korelasi
Matriks korelasi adalah matriks persegi yang berisi nilai koefisien korelasi antarvariabel dalam data multivariat. matriks korelasi adalah versi terstandarisasi dari matriks kovarians yang menampilkan kekuatan dan arah hubungan linear antarvariabel dalam skala -1 sampai 1. Contoh matriks Korelasi :
korel = cor(lizard); korel## BB PM RTB
## BB 1.0000000 0.9895743 0.9566313
## PM 0.9895743 1.0000000 0.9528259
## RTB 0.9566313 0.9528259 1.00000004. Matriks Standarisasi
Dalam analisis data multivariat, seringkali variabel-variabel diukur dalam satuan yang berbeda (misalnya tinggi badan dalam cm, berat badan dalam kg, pendapatan dalam rupiah). Jika variabel digunakan langsung, variabel dengan skala besar akan mendominasi analisis. Untuk mengatasi hal ini, dilakukan standarisasi, yaitu mengubah setiap variabel sehingga memiliki rata-rata nol dan standar deviasi satu. Matriks hasil dari proses ini disebut matriks standarisasi. Contoh matriks Standarisasi :
n = nrow(lizard);n## [1] 10u = matrix(1,n,1); u## [,1]
## [1,] 1
## [2,] 1
## [3,] 1
## [4,] 1
## [5,] 1
## [6,] 1
## [7,] 1
## [8,] 1
## [9,] 1
## [10,] 1xbar = cbind((1/n)*t(u)%*%lizard); xbar## BB PM RTB
## [1,] 9.05 67.6 128D = lizard - u %*% xbar; D## BB PM RTB
## [1,] -2.85 -6.6 -13
## [2,] 2.45 5.4 10
## [3,] -0.35 0.4 -1
## [4,] 1.05 2.4 -5
## [5,] -1.25 -3.6 3
## [6,] -2.15 -7.6 -8
## [7,] 2.95 8.4 15
## [8,] -5.95 -18.6 -33
## [9,] 5.75 16.4 32
## [10,] 0.35 3.4 0S = (1/(n-1))*t(D)%*%D; S## BB PM RTB
## BB 10.98056 31.80000 54.96667
## PM 31.80000 94.04444 160.22222
## RTB 54.96667 160.22222 300.66667Ds = diag(sqrt(diag(S))); Ds## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 3.313692 0.000000 0.00000
## [2,] 0.000000 9.697651 0.00000
## [3,] 0.000000 0.000000 17.33974R = solve(Ds) %*% S %*% solve(Ds); R## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1.0000000 0.9895743 0.9566313
## [2,] 0.9895743 1.0000000 0.9528259
## [3,] 0.9566313 0.9528259 1.0000000