Step 1: Kalikan dengan bentuk sekawan

\[\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+\tan x} - \sqrt{1+\sin x}}{x^3} \times \frac{\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+\sin x}}{\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+\sin x}}\] \[\lim_{x \to 0}\frac{(1+\tan x) - (1+\sin x)}{x^3 \left(\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+\sin x}\right)}\] \[\lim_{x \to 0}\frac{\tan x - \sin x}{x^3 \left(\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+\sin x}\right)}\]

Step 2: Sederhanakan pembilang dan ubah \(\tan x\) menjadi \(\frac{\sin x}{\cos x}\)

\[\tan x - \sin x = \frac{\sin x}{\cos x} - \sin x = \sin x (\frac{1} {\cos x} - 1) = \sin x (\frac{1-\cos x} {\cos x})\]

Step 3: Substitusikan kembali ke limit

Maka menjadi \(=>\) \[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x \left( \frac{1 - \cos x}{\cos x} \right)}{x^3(\sqrt{1 + \tan x} + \sqrt{1 + \sin x})}\] \[\lim_{x \to 0}\frac{\sin x (1 - \cos x)}{x^3\cos x (\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x})}\]

Step 4: Gunakan sifat limit trigonometri dasar

Kita hitung nilai dari setiap bagian, berdasarkan sifat limit dasar trigonometri:

\(=>\) \(\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1\)

\(=>\) \(\lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos x}{x^2}=1\)

\(=>\) \(\lim_{x \to 0}\cos x = 1\)

\(=>\) \(\lim_{x \to 0}\sqrt{1 +\tan x}=1\)

\(=>\) \(\lim_{x \to 0}\sqrt{1 +\sin x}=1\)

Substitusikan nilai limit:

\[\lim_{x \to 0}\frac{\sin x (1 - \cos x)}{x^3\cos x (\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x})}\] \[=\frac{1.\frac{1}{2}}{1(1 + 1)}\] \[=\frac{\frac{1}{2}}{2}\] \[=\frac{1}{4}\] Jadi, hasil akhir dari limit tersebut adalah \(\frac{1}{4}\).

f <- function(x) (sqrt(1 + tan(x))-sqrt(1 + sin(x))) / (x^3)

f(1e-3)  # mendekati dari kanan

## [1] 0.249875

f(-1e-3) # mendekati dari kiri

## [1] 0.2501251

a) Tentukan \(\lim_{x\to 2^+} \frac{x^2-4}{|x-2|}\)

Penyelesaian:

ketika \(x\) mendekati 2 dari kanan

maka \[x-2>0\] \[x>2\] sehingga \[|x-2|=x-2\] dengan demikan \(=>\) \[\lim_{x\to 2^+} \frac{x^2-4}{|x-2|}\] \[\lim_{x\to 2^+}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}\] \[\lim_{x\to 2+} x+2\] \[=2+2\] \[=4\]

b) Tentukan \(\lim_{x\to 2^-}\frac{x^2-4}{|x-2|}\)

Penyelesaian:

ketika \(x\) mendekati 2 dari kiri

maka \[x-2<0\] \[x<2\] sehingga \[|x-2|=-(x-2)\] dengan demikian \(=>\) \[\lim_{x\to 2^-}\frac{x^2-4}{|x-2|}\] \[\lim_{x\to 2^-}\frac{(x-2)(x+2)}{-(x-2)}\] \[\lim_{x\to 2^-} -(x+2)\] \[=-(2+2)\] \[=-4\]

c) Tentukan apakah \(\lim_{x\to 2} g(x)\) ada?

Jawab:

Limit suatu fungsi ada jika dan hanya jika limit kanan dan kiriny sama. Dalam kasus ini, kita mendapatkan
\[\lim_{x\to 2^+} g(x)=4\] \[dan\] \[\lim_{x\to 2^-} g(x)=-4\]

Karena \(4\neq-4\), maka \(\lim_{x\to 2} g(x)\) tidak ada.

f <- function(x) (x^2 - 4)/abs(x-2)

# limit kanan (x\to 2+)
limit_kanan <- 2 + 2
limit_kanan

## [1] 4

# limit kiri (x\to 2-)
limit_kiri <- -(2 + 2)
limit_kiri

## [1] -4