Analisis Data Multivariat 1
Agnes Aurora Christy
2025-09-09
Operasi Matriks
Definisi Matriks
Matriks adalah susunan angka-angka di dalam kotak yang dibagi dalam baris dan kolom. Misalkan terdiri dari n baris dan p kolom, maka matriks tersebut berukuran (ordo) n × p.
Contoh : \[
\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix}
4 & 1 & 4 \\
0 & -1 & 3 \\
2 & 7 & 5 \\
\end{bmatrix}
\]
Pada software R, untuk menginput matriks dapat dilakukan dengan menggunakan syntax sebagai berikut :
#Cara Pertama
A <- matrix(c(2, 3, -1,
1, -2, 0,
2, 1, 2), nrow = 3, ncol = 3); A## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 2 1 2
## [2,] 3 -2 1
## [3,] -1 0 2B <- matrix(c(-3, 5, 1,
-3, 2, 3,
1, 2, 3), nrow = 3, ncol = 3, byrow = TRUE); B## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -3 5 1
## [2,] -3 2 3
## [3,] 1 2 3#Cara Kedua
X <- matrix(21:40, nrow=4, ncol=5) ; X## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,] 21 25 29 33 37
## [2,] 22 26 30 34 38
## [3,] 23 27 31 35 39
## [4,] 24 28 32 36 40y <- c(4,7,2,8,5,9,6,3,1,10,12,11)
Y <- matrix(y, nrow=3, ncol=4, byrow=TRUE) ; Y## [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,] 4 7 2 8
## [2,] 5 9 6 3
## [3,] 1 10 12 11sel <- c(15,9,27,18)
nama_kolom <- c("C1", "C2")
nama_baris <- c("R1", "R2")
Z <- matrix(sel, nrow=2, ncol=2,
byrow=TRUE, dimnames=list(nama_baris,
nama_kolom)) ; Z## C1 C2
## R1 15 9
## R2 27 181. Penjumlahan Matriks
Penjumlahan matriks dapat dilakukan jika matriks tersebut memiliki ordo yang sama.
Contoh : \[ \boldsymbol A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} \boldsymbol+\begin{bmatrix} e & f \\ g & h \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+e & b+f \\ c+g & d+h \\ \end{bmatrix}\]
Berikut cara mencari penjumlahan matriks di software R :
A + B## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -1 6 3
## [2,] 0 0 4
## [3,] 0 2 52. Pengurangan Matriks
Pengurangan matriks dapat dilakukan jika matriks tersebut memiliki ordo yang sama.
Contoh : \[ \boldsymbol A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} \boldsymbol-\begin{bmatrix} e & f \\ g & h \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a-e & b-f \\ c-g & d-h \\ \end{bmatrix}\]
Berikut cara mencari pengurangan matriks di software R :
A - B## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 5 -4 1
## [2,] 6 -4 -2
## [3,] -2 -2 -13. Perkalian Matriks
Perkalian matriks adalah operasi matematika antara dua matriks yang menghasilkan sebuah matriks baru. Operasi ini memiliki aturan sebagai berikut :
A. Perkalaian Skalar dengan Matriks
Contoh : \[ \boldsymbol k\begin{bmatrix} p & q \\ r & s \\ \end{bmatrix} \boldsymbol=\begin{bmatrix} kp & kq \\ kr & ks \\ \end{bmatrix}\]
B. Perkalian Matriks dengan Matriks
Misalkan A berordo p × q dan B berordo m × n, maka :
Untuk AB, haruslah q = m, dengan hasil berordo p × n
Untuk BA, haruslah n = p, dengan hasil berordo m × q
Berikut cara mencari perkalian matriks di software R :
#Perkalian matriks
A %*% B## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -7 16 11
## [2,] -2 13 0
## [3,] 5 -1 5B %*% A## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 8 -13 1
## [2,] -3 -7 2
## [3,] 5 -3 10#Perkalian antar elemen
A * B## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -6 5 2
## [2,] -9 -4 3
## [3,] -1 0 62 * A## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 4 2 4
## [2,] 6 -4 2
## [3,] -2 0 44. Matriks Transpose
Matriks transpose merupakan matriks yang diperoleh dengan menukar setiap baris sebuah matriks menjadi kolom seletak, atau sebaliknya.
Matriks transpose biasanya dinotasikan dengan A’
Contoh :
\[ \boldsymbol A =\begin{bmatrix} p & q \\ r & s \\ \end{bmatrix} \boldsymbol A'=\begin{bmatrix} p & r \\ q & s \\ \end{bmatrix}\]
Berikut cara mencari transpose matriks di software R :
transA = t(A); transA ## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 2 3 -1
## [2,] 1 -2 0
## [3,] 2 1 2transB = t(B); transB## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -3 -3 1
## [2,] 5 2 2
## [3,] 1 3 35. Invers
A dikatakan invertible (atau dapat dibalik) jika ada matriks B sedemikian sehingga AB = BA = I dengan I matriks identitas. Dalam hal ini, B dikatakan invers dari A.
Contoh : Misalkan terdapat matriks berukuran 2x2, maka cara menghitung inversnya adalah sebagai berikut :
\[ \boldsymbol A =\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}\]
\[ \boldsymbol{A^{-1}} = \frac{1}{\det{A}}\times adj({A}) \]
Berikut cara mencari invers matriks di software R :
inv_A = solve(A); inv_A## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 0.2105263 0.10526316 -0.2631579
## [2,] 0.3684211 -0.31578947 -0.2105263
## [3,] 0.1052632 0.05263158 0.3684211inv_B = solve(A); inv_B## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 0.2105263 0.10526316 -0.2631579
## [2,] 0.3684211 -0.31578947 -0.2105263
## [3,] 0.1052632 0.05263158 0.36842116. Determinan
Determinan matriks adalah sebuah nilai skalar yang dihitung dari elemen-elemen matriks persegi (n × n). Determinan berfungsi untuk mengetahui sifat matriks, misalnya apakah matriks tersebut invertibel (punya invers) atau tidak.
Contoh : Misalkan terdapat matriks berukuran 2x2, maka cara menghitung determinan adalah sebagai berikut :
\[ \boldsymbol A =\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}\]
\[ \ det(A) = ab - dc\]
Berikut cara mencari determinan matriks di software R :
det(A)## [1] -19det(B)## [1] 527. Komponen Matriks
Misalkan terdapat matriks A dan ingin diketahui baris, kolom, atau sel tertentu, maka dapat menggunakan syntax berikut :
Martriks yang akan digunakan adalah matriks A
A <- matrix(c(2, 3, -1,
1, -2, 0,
2, 1, 2), nrow = 3, ncol = 3); A## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 2 1 2
## [2,] 3 -2 1
## [3,] -1 0 2- Memanggil semua entri matriks yang berada di kolom ke-2
A[,2]## [1] 1 -2 0- Memanggil semua entri matriks yang berada di baris ke-3
A[3,]## [1] -1 0 2- Memanggil semua entri matriks yang berada di baris ke-3 dan kolom ke-2
A[3,2]## [1] 0- Memanggil semua entri matriks yang berada di baris ke-1 dan kolom ke-2, dan baris ke-1 kolom ke-3
A[c(1,3),2]## [1] 1 0- Memanggil semua entri matriks yang berada di kolom ke-1, 2, dan 3
A[,1:3]## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 2 1 2
## [2,] 3 -2 1
## [3,] -1 0 2- Memanggil semua entri matriks yang berada di baris ke-2 dan 3
A[2:3,]## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 3 -2 1
## [2,] -1 0 2Eigen Value dan Eigen Vector
Nilai eigen dan vektor eigen adalah konsep fundamental dalam aljabar linear yang menjelaskan bagaimana sebuah transformasi linear bekerja. Secara sederhana, ketika sebuah matriks dikalikan dengan vektor eigen-nya, hasilnya adalah vektor yang sama namun dalam versi yang telah diperpanjang atau diperpendek, tanpa mengubah arah.
Misalkan A matriks persegi n × n. Vektor tak nol x ∈ R^n dikatakan vektor eigen untuk A jika terdapat skalar λ sedemikian sehingga Ax = λx. Selanjutnya, λ disebut nilai eigen yang bersesuaian dengan vektor eigen x.
\[ \ Ax = λx\]
Eigen Value
Konsep pada nilai eigen sangat penting dalam berbagai bidang, seperti dalam menganalisis frekuensi getaran dan digunakan dalam Principal Component Analysis (PCA) untuk mengurangi dimensi data dengan tetap mempertahankan informasi penting.
Contoh : \[ \boldsymbol A =\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \\ \end{bmatrix}\]
\[ \det (A-λI) = det\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \\ \end{bmatrix} - λ\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \]
\[ \det (A-λI) =\begin{bmatrix} 1-λ & 2 \\ -1 & 4-λ \\ \end{bmatrix}\]
\[ \det(A-λI)= (1-λ)(4-λ)-(-1)(2)\]
\[ \det(A-λI)= λ^2-5λ+6\]
\[ \det(A-λI)= (λ-3)(λ-2)\]
Dari perhitungan tersebut, didapatkan bahwa nilai λ = 3 dan λ = 2.
Berikut cara mencari eigen value di software R :
#Mencari eigen value dan eigen vector
eigA = eigen(A); eigA## eigen() decomposition
## $values
## [1] 2.31737+1.356883i 2.31737-1.356883i -2.63474+0.000000i
##
## $vectors
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 0.7195044+0.00000000i 0.7195044+0.00000000i -0.19347904+0i
## [2,] 0.4635357-0.02923216i 0.4635357+0.02923216i 0.98021589+0i
## [3,] -0.1175932+0.50275784i -0.1175932-0.50275784i -0.04174539+0ieigB = eigen(B); eigB## eigen() decomposition
## $values
## [1] 4.635594+0.000000i -1.317797+3.079116i -1.317797-3.079116i
##
## $vectors
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 0.4002911+0i -0.74803668+0.0000000i -0.74803668+0.0000000i
## [2,] 0.4518423+0i -0.26830934-0.5207683i -0.26830934+0.5207683i
## [3,] 0.7972488+0i 0.08319733+0.3005493i 0.08319733-0.3005493ieigvalA = eigA$values; eigvalA## [1] 2.31737+1.356883i 2.31737-1.356883i -2.63474+0.000000ieigvalB = eigB$values; eigvalB## [1] 4.635594+0.000000i -1.317797+3.079116i -1.317797-3.079116iEigen Vector
Eigen vector merupakan vektor tak nol yang arahnya tidak berubah ketika sebuah transformasi linear diterapkan padanya. Vektor ini hanya mengalami peregangan atau penyusutan.
Dalam implementasinya, eigen vector dapat digunakan untuk menganalisis data genetik dengan ribuan gen untuk menemukan pola dan mengelompokkan populasi. Selain itu, dalam rekayasa sipil dan mesin, penting untuk mengetahui bagaimana sebuah struktur (seperti badan pesawat) akan bergetar sehingga vektor eigen ini mewakili mode getaran, yaitu pola-pola getaran alami dari struktur tersebut.
Berikut cara mencari eigen value di software R :
eigvecA = eigA$vectors; eigvecA## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 0.7195044+0.00000000i 0.7195044+0.00000000i -0.19347904+0i
## [2,] 0.4635357-0.02923216i 0.4635357+0.02923216i 0.98021589+0i
## [3,] -0.1175932+0.50275784i -0.1175932-0.50275784i -0.04174539+0ieigvecB = eigB$vectors; eigvecB## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 0.4002911+0i -0.74803668+0.0000000i -0.74803668+0.0000000i
## [2,] 0.4518423+0i -0.26830934-0.5207683i -0.26830934+0.5207683i
## [3,] 0.7972488+0i 0.08319733+0.3005493i 0.08319733-0.3005493iDekomposisi Nilai Singular (SVD)
Dekomposisi Nilai Sungular (SVD) adalah salah satu teknik faktorisasi matriks yang paling penting dalam aljabar linear. Secara konseptual, SVD menguraikan sebuah matriks menjadi tiga matriks lain yang lebih sederhana.
Dalam implementasinya, SVD sangat berguna dalam untuk kompresi gambar yang dimana hanya menyimpan sebagian kecil dari nilai singular terbesar dan vektor singular yang bersesuaian, ukuran gambar dapat dikurangi secara signifikan dengan penurunan kualitas yang minimal.
Berikut cara mencari eigen value di software R :
library(MASS)
a <- matrix(c(5,-3,6,2,-4,8,-2,5,-1,7,3,9), 4, 3, byrow=TRUE)
a## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 5 -3 6
## [2,] 2 -4 8
## [3,] -2 5 -1
## [4,] 7 3 9svd_result <- svd(a)
singular_value <- svd_result$d ; singular_value## [1] 16.07076 7.41936 3.11187U <- svd_result$u ; U## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -0.5046975 0.2278362 -0.3742460
## [2,] -0.5178195 0.4138180 0.7413297
## [3,] 0.1646416 -0.6063789 0.5337354
## [4,] -0.6708477 -0.6396483 -0.1596770V <- svd_result$v ; V## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -0.5341591 -0.17494276 -0.8270847
## [2,] 0.1490928 -0.98251336 0.1115295
## [3,] -0.8321330 -0.06373793 0.5509011Konsep Jarak
1. Jarak Euclidean
Jarak Euclidean merupakan jarak garis lurus terpendek di antara dua titik. Misalkan, seekor burung elang terbang lurus dari titik A ke titik B.
Jarak Euclidean memiliki rumus sebagai berikut : \[ \ d_{ij} = \sqrt{(x_i-x_j)^t(x_i-x_j)}\]
Contoh implementasi : Seorang pilot menggunakan jarak Euclidean untuk merencanakan rute penerbangan terpendek antar dua bandara.
Berikut cara mencari jarak euclidean di software R :
library(factoextra)## Warning: package 'factoextra' was built under R version 4.4.3## Loading required package: ggplot2## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 4.4.3## Welcome! Want to learn more? See two factoextra-related books at https://goo.gl/ve3WBa#Random Sampling
set.seed(321)
ss <- sample(1:50, 15)
df <- USArrests[ss, ]
df.scaled <- scale(df); df.scaled## Murder Assault UrbanPop Rape
## Wyoming -0.3721741 -0.02296746 -0.3418930 -0.62039386
## Illinois 0.4221896 1.02244775 1.2520675 0.62633064
## Mississippi 1.6799322 1.14124493 -1.4507350 -0.39776448
## Kansas -0.5486994 -0.56943449 0.0739228 -0.26418686
## New York 0.5766492 1.08184634 1.4599754 0.93801176
## Kentucky 0.2677300 -0.64071280 -0.8963140 -0.51650015
## Oklahoma -0.4163054 -0.14176464 0.2125281 0.03265231
## Hawaii -0.7031590 -1.38913505 1.2520675 0.06233622
## Missouri 0.1132704 0.17898775 0.3511333 1.24969289
## New Mexico 0.6428462 1.45011760 0.3511333 1.82852926
## Louisiana 1.5254725 1.02244775 0.0739228 0.35917539
## South Dakota -1.0341439 -0.91394632 -1.3814324 -1.03596869
## Iowa -1.3871944 -1.27033787 -0.5498008 -1.25859806
## North Dakota -1.6961136 -1.40101477 -1.4507350 -1.85227639
## Texas 0.9296998 0.45222127 1.0441596 0.84896001
## attr(,"scaled:center")
## Murder Assault UrbanPop Rape
## 8.486667 162.933333 64.933333 19.780000
## attr(,"scaled:scale")
## Murder Assault UrbanPop Rape
## 4.531929 84.177081 14.429467 6.737655dist.eucl <- dist(df.scaled, method = "euclidean"); dist.eucl## Wyoming Illinois Mississippi Kansas New York Kentucky
## Illinois 2.4122476
## Mississippi 2.6164146 3.1543527
## Kansas 0.7934567 2.3786048 3.1993198
## New York 2.7921742 0.4095812 3.3878156 2.7128511
## Kentucky 1.0532156 2.9515362 2.3433244 1.2948587 3.2757206
## Oklahoma 0.8659748 1.8685718 2.9986711 0.5547563 2.2043102 1.4993175
## Hawaii 2.2322175 2.7203365 4.4270510 1.4800030 2.9246694 2.5403456
## Missouri 2.0625111 1.4167282 3.0563398 1.8349434 1.5351057 2.3176129
## New Mexico 3.1109091 1.5775154 3.0617092 3.1551035 1.4705638 3.4011133
## Louisiana 2.4137967 1.6360410 1.7133330 2.6879097 1.7776353 2.4609320
## South Dakota 1.5765126 3.9457686 3.4644086 1.7515852 4.3067435 1.5082173
## Iowa 1.7426214 3.9154083 4.0958166 1.6038155 4.2724405 1.9508929
## North Dakota 2.5296038 4.8794481 4.4694938 2.6181473 5.2524274 2.5546862
## Texas 2.4496576 0.8218968 2.9692463 2.3259192 0.8377979 2.6949264
## Oklahoma Hawaii Missouri New Mexico Louisiana South Dakota
## Illinois
## Mississippi
## Kansas
## New York
## Kentucky
## Oklahoma
## Hawaii 1.6491638
## Missouri 1.3724911 2.3123720
## New Mexico 2.6268378 3.7154012 1.4937447
## Louisiana 2.2916633 3.5012381 1.8909275 1.7882330
## South Dakota 2.1588538 2.9115203 3.2767510 4.4281177 3.7902169
## Iowa 2.1130016 2.3395756 3.3845451 4.6758935 4.0922753 0.9964108
## North Dakota 3.0891779 3.4578871 4.3173165 5.5131433 4.8442635 1.1604313
## Texas 1.8768374 2.5920693 1.1756214 1.5867966 1.3643137 3.8935265
## Iowa North Dakota
## Illinois
## Mississippi
## Kansas
## New York
## Kentucky
## Oklahoma
## Hawaii
## Missouri
## New Mexico
## Louisiana
## South Dakota
## Iowa
## North Dakota 1.1298867
## Texas 3.9137858 4.8837032fviz_dist(dist.eucl)
2. Jarak Manhattan
Jarak Manhattan merupakan jumlah dari selisih nilai absolut koordinat-koordinatnya. Jarak ini mengukur total pergerakan vertikal dan horizontal yang dibutuhkan untuk berpindah dari satu titik ke titik lain. Disebut “Manhattan” karena mirip dengan berjalan di jalanan kota Manhattan yang berbentuk petak-petak (grid).
Jarak Manhattan memiliki rumus sebagai berikut :
\[\ {d}_{ij}=\sum_{l=1}^{p} \lvert x_{li}-x_{lj} \rvert\]
Contoh implementasi : Dalam membandingkan dua untai DNA, jarak Manhattan digunakan untuk menghitung total posisi gen yang berbeda di antara kedua untai tersebut.
Berikut cara mencari jarak Manhattan di software R :
dist.man <- dist(df.scaled, method = "manhattan"); dist.man## Wyoming Illinois Mississippi Kansas New York Kentucky
## Illinois 4.6804639
## Mississippi 4.5477901 5.1034373
## Kansas 1.4950151 4.6314334 5.5975464
## New York 5.4139111 0.7334472 5.4091682 5.3648806
## Kentucky 1.9159642 5.1088324 3.8673166 2.1102578 5.8422796
## Oklahoma 1.3703957 3.6359252 5.4729270 0.9955082 4.3693724 2.8409781
## Hawaii 3.9738430 4.1009258 8.0763743 2.4788279 4.8343730 4.4465291
## Missouri 3.2505127 2.6766756 5.9782446 3.2014823 2.7867606 3.9878005
## New Mexico 5.6300548 2.7514592 5.3741207 5.5810243 2.4338278 6.0584233
## Louisiana 4.3384469 2.5485829 2.5548545 4.2894164 2.9731109 4.7668154
## South Dakota 3.0080629 7.6885267 5.4767741 3.0570933 8.4219740 2.5796943
## Iowa 3.1085028 7.7889667 7.2404771 3.1575333 8.5224139 3.3731605
## North Dakota 5.0427114 9.7231753 7.3728174 5.0917419 10.4566225 4.6143429
## Texas 4.6324690 1.5082739 5.1808752 4.5834386 1.4875431 5.0608376
## Oklahoma Hawaii Missouri New Mexico Louisiana
## Illinois
## Mississippi
## Kansas
## New York
## Kentucky
## Oklahoma
## Hawaii 2.6034473
## Missouri 2.2059740 4.4728430
## New Mexico 4.5855161 6.8523850 2.3795420
## Louisiana 3.5711187 6.1151982 3.4233902 3.0568606
## South Dakota 4.0526016 4.5379784 6.2585756 8.6381176 7.3465098
## Iowa 4.1530415 3.9256352 6.3590155 8.7385576 7.4469497
## North Dakota 6.0872501 5.6222495 8.2932241 10.6727662 9.3811583
## Texas 3.5879303 4.4687467 2.1834220 2.9573454 2.6260207
## South Dakota Iowa North Dakota
## Illinois
## Mississippi
## Kansas
## New York
## Kentucky
## Oklahoma
## Hawaii
## Missouri
## New Mexico
## Louisiana
## South Dakota
## Iowa 1.7637030
## North Dakota 2.0346485 1.9342086
## Texas 7.6405319 7.7409718 9.6751804fviz_dist(dist.man)
3. Jarak Chebyshev
Jarak Chebyshev adalah nilai maksimum dari selisih absolut dari koordinat-koordinat.
Jarak Chebyshev memiliki rumus sebagai berikut : \[\ {d_{ij} = max(\lvert x_{li}-x_{lj} \rvert)}\]
Contoh implementasi : Square brush pada software desain menggunakan jarak Chebyshev untuk mewarnai semua piksel dalam area kotak di sekitar kursor.
Berikut cara mencari jarak chebyshev di software R :
dist.cheb <- dist(df.scaled, method = "maximum"); dist.cheb## Wyoming Illinois Mississippi Kansas New York Kentucky
## Illinois 1.5939604
## Mississippi 2.0521063 2.7028025
## Kansas 0.5464670 1.5918822 2.2286315
## New York 1.8018683 0.3116811 2.9107104 1.6512808
## Kentucky 0.6399041 2.1483815 1.7819577 0.9702368 2.3562894
## Oklahoma 0.6530462 1.1642124 2.0962376 0.4276699 1.2474473 1.1088421
## Hawaii 1.5939604 2.4115828 2.7028025 1.1781447 2.4709814 2.1483815
## Missouri 1.8700867 0.9009342 1.8018683 1.5138797 1.1088421 1.7661930
## New Mexico 2.4489231 1.2021986 2.2262937 2.0927161 1.1088421 2.3450294
## Louisiana 1.8976467 1.1781447 1.5246578 2.0741719 1.3860526 1.6631605
## South Dakota 1.0395394 2.6334999 2.7140760 1.4553552 2.8414078 1.3018739
## Iowa 1.2473704 2.2927856 3.0671266 0.9944112 2.3521842 1.6549244
## North Dakota 1.3780473 2.7028025 3.3760458 1.5880895 2.9107104 1.9638436
## Texas 1.4693539 0.5702265 2.4948946 1.4783991 0.6296251 1.9404736
## Oklahoma Hawaii Missouri New Mexico Louisiana South Dakota
## Illinois
## Mississippi
## Kansas
## New York
## Kentucky
## Oklahoma
## Hawaii 1.2473704
## Missouri 1.2170406 1.5681228
## New Mexico 1.7958770 2.8392526 1.2711298
## Louisiana 1.9417780 2.4115828 1.4122022 1.4693539
## South Dakota 1.5939604 2.6334999 2.2856616 2.8644979 2.5596164
## Iowa 1.2912504 1.8018683 2.5082909 3.0871273 2.9126670 0.8316315
## North Dakota 1.8849287 2.7028025 3.1019693 3.6808057 3.2215862 0.8163077
## Texas 1.3460052 1.8413563 0.8164294 0.9978963 0.9702368 2.4255920
## Iowa North Dakota
## Illinois
## Mississippi
## Kansas
## New York
## Kentucky
## Oklahoma
## Hawaii
## Missouri
## New Mexico
## Louisiana
## South Dakota
## Iowa
## North Dakota 0.9009342
## Texas 2.3168942 2.7012364fviz_dist(dist.cheb)
4. Jarak Mahalanobis
Jarak Mahalanobis merupakan jarak antara sebuah titik data dengan pusat distribusi sekelompok data. Jarak ini memperhitungkan korelasi antar variabel dalam data dan tidak terpengaruh oleh skala pengukuran.
Jarak Mahalanobis memiliki rumus sebagai berikut : \[d_{ij}=\sqrt{\left(\ {y_i}-\ {y_j}\right)^t\ {S^{-1}}\left(\ {y_i}-\ {y_j}\right)}\]
Contoh implementasi : Mendeteksi kemungkinan penipuan kartu kredit dengan mengukur seberapa jauh sebuah transaksi menyimpang dari pola pengeluaran normal seorang nasabah.
Berikut cara mencari jarak chebyshev di software R :
library(StatMatch)## Warning: package 'StatMatch' was built under R version 4.4.3## Loading required package: proxy## Warning: package 'proxy' was built under R version 4.4.3##
## Attaching package: 'proxy'## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## as.dist, dist## The following object is masked from 'package:base':
##
## as.matrix## Loading required package: survey## Warning: package 'survey' was built under R version 4.4.3## Loading required package: grid## Loading required package: Matrix## Loading required package: survival##
## Attaching package: 'survey'## The following object is masked from 'package:graphics':
##
## dotchart## Loading required package: lpSolve## Warning: package 'lpSolve' was built under R version 4.4.2## Loading required package: dplyr##
## Attaching package: 'dplyr'## The following object is masked from 'package:MASS':
##
## select## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## filter, lag## The following objects are masked from 'package:base':
##
## intersect, setdiff, setequal, uniondist.mah <- mahalanobis.dist(df.scaled); dist.mah## Wyoming Illinois Mississippi Kansas New York Kentucky
## Wyoming 0.000000 1.7186109 2.820779 1.4195095 1.8695558 2.867847
## Illinois 1.718611 0.0000000 3.658323 2.2905255 0.4722069 3.878642
## Mississippi 2.820779 3.6583235 0.000000 3.2139075 3.6566922 2.544477
## Kansas 1.419510 2.2905255 3.213907 0.0000000 2.1522535 2.048031
## New York 1.869556 0.4722069 3.656692 2.1522535 0.0000000 3.698342
## Kentucky 2.867847 3.8786421 2.544477 2.0480310 3.6983422 0.000000
## Oklahoma 1.146496 1.8980286 3.237573 0.6499978 1.7772007 2.505941
## Hawaii 3.466671 3.6449604 4.722203 2.2108491 3.3748818 2.753554
## Missouri 3.198071 3.6796400 3.956918 2.2592572 3.3618939 2.642756
## New Mexico 3.281318 3.5101406 4.057258 3.1016653 3.2869855 3.870023
## Louisiana 2.284940 2.5550539 1.688058 2.2700723 2.4136664 2.119635
## South Dakota 1.826205 3.3564158 3.087365 1.6274307 3.3404110 2.261154
## Iowa 1.327907 2.6329606 3.559587 1.1128197 2.6839965 2.621704
## North Dakota 1.582582 3.1919907 3.553572 1.9466491 3.3317039 3.040465
## Texas 2.540604 2.4769381 3.093919 1.7462066 2.1399545 2.108949
## Oklahoma Hawaii Missouri New Mexico Louisiana South Dakota
## Wyoming 1.1464956 3.466671 3.198071 3.281318 2.284940 1.826205
## Illinois 1.8980286 3.644960 3.679640 3.510141 2.555054 3.356416
## Mississippi 3.2375727 4.722203 3.956918 4.057258 1.688058 3.087365
## Kansas 0.6499978 2.210849 2.259257 3.101665 2.270072 1.627431
## New York 1.7772007 3.374882 3.361894 3.286985 2.413666 3.340411
## Kentucky 2.5059414 2.753554 2.642756 3.870023 2.119635 2.261154
## Oklahoma 0.0000000 2.705865 2.203038 2.660216 2.350208 1.672866
## Hawaii 2.7058650 0.000000 3.193764 4.645567 3.383255 3.551072
## Missouri 2.2030382 3.193764 0.000000 1.836797 3.256319 2.505784
## New Mexico 2.6602159 4.645567 1.836797 0.000000 3.676879 3.026024
## Louisiana 2.3502077 3.383255 3.256319 3.676879 0.000000 3.021642
## South Dakota 1.6728664 3.551072 2.505784 3.026024 3.021642 0.000000
## Iowa 1.3299426 2.790197 3.145245 3.792086 2.954252 1.518854
## North Dakota 1.9813596 3.780966 3.590548 3.950259 3.434074 1.304743
## Texas 1.9635201 2.082005 2.576037 3.501666 1.527269 3.090805
## Iowa North Dakota Texas
## Wyoming 1.327907 1.582582 2.540604
## Illinois 2.632961 3.191991 2.476938
## Mississippi 3.559587 3.553572 3.093919
## Kansas 1.112820 1.946649 1.746207
## New York 2.683996 3.331704 2.139954
## Kentucky 2.621704 3.040465 2.108949
## Oklahoma 1.329943 1.981360 1.963520
## Hawaii 2.790197 3.780966 2.082005
## Missouri 3.145245 3.590548 2.576037
## New Mexico 3.792086 3.950259 3.501666
## Louisiana 2.954252 3.434074 1.527269
## South Dakota 1.518854 1.304743 3.090805
## Iowa 0.000000 1.045923 2.734770
## North Dakota 1.045923 0.000000 3.563193
## Texas 2.734770 3.563193 0.000000dist.mah_matrix <- as.matrix(dist.mah)Vektor Rata-rata
Vektor rata-rata merupakan vektor yang setiap elemennya merupakan nilai rata-rata dari elemen yang bersesuaian pada sekumpulan vektor.
Berikut adalah data yang akan dipakai :
BB = c(6.2,11.5,8.7,10.1,7.8,6.9,12.0,3.1,14.8,9.4)
PM = c(61,73,68,70,64,60,76,49,84,71)
RTB = c(115,138,127,123,131,120,143,95,160,128)
lizard = as.matrix(cbind(BB,PM,RTB)); lizard## BB PM RTB
## [1,] 6.2 61 115
## [2,] 11.5 73 138
## [3,] 8.7 68 127
## [4,] 10.1 70 123
## [5,] 7.8 64 131
## [6,] 6.9 60 120
## [7,] 12.0 76 143
## [8,] 3.1 49 95
## [9,] 14.8 84 160
## [10,] 9.4 71 128Matriks Rata-rata
Matriks rata-rata adalah sebuah matriks tunggal yang merepresentasikan rata-rata dari sekumpulan matriks dengan syarat matriks tersebut harus memiliki dimensi yang sama.
Berikut cara mencari matriks rata-rata di software R :
vecMeans = as.matrix(colMeans(lizard)); vecMeans## [,1]
## BB 9.05
## PM 67.60
## RTB 128.00vecRata = matrix(c(mean(BB), mean(PM), mean(RTB)), nrow=3, ncol=1); vecRata## [,1]
## [1,] 9.05
## [2,] 67.60
## [3,] 128.00Matriks Kovarians
Matriks kovarians adalah matriks persegi yang merangkum arah hubungan linear antara setiap pasangan variabel dalam suatu dataset. Secara sederhana, matriks ini menunjukkan bagaimana setiap variabel bervariasi dengan dirinya sendiri (varians) dan bagaimana setiap variabel bervariasi dengan variabel lainnya (kovarians).
Berikut cara mencari matriks kovarians di software R :
varkov = cov(lizard); varkov## BB PM RTB
## BB 10.98056 31.80000 54.96667
## PM 31.80000 94.04444 160.22222
## RTB 54.96667 160.22222 300.66667Matriks Korelasi
Matriks korelasi adalah matriks persegi yang menunjukkan kekuatan dan arah hubungan linear antara setiap pasangan variabel dalam suatu dataset. Matriks ini merupakan versi terstandarisasi dari matriks kovarians sehingga nilainya lebih mudah diinterpretasikan.
Berikut cara mencari matriks korelasi di software R :
korel = cor(lizard); korel## BB PM RTB
## BB 1.0000000 0.9895743 0.9566313
## PM 0.9895743 1.0000000 0.9528259
## RTB 0.9566313 0.9528259 1.0000000Matriks Standarisasi
Matriks standarisasi adalah sebuah matriks data di mana setiap kolomnya telah distandarisasi sehingga rata-ratanya 0 dan simpangan bakunya 1.Tujuannya adalah untuk membuat semua variabel dalam dataset berada pada skala yang sama sehingga tidak ada variabel yang mendominasi hanya karena memiliki skala nilai yang lebih besar.
Berikut cara mengstandarisasi matriks di software R :
n = nrow(lizard);n## [1] 10u = matrix(1,n,1); u## [,1]
## [1,] 1
## [2,] 1
## [3,] 1
## [4,] 1
## [5,] 1
## [6,] 1
## [7,] 1
## [8,] 1
## [9,] 1
## [10,] 1xbar = cbind((1/n)*t(u)%*%lizard); xbar## BB PM RTB
## [1,] 9.05 67.6 128D = lizard - u %*% xbar; D## BB PM RTB
## [1,] -2.85 -6.6 -13
## [2,] 2.45 5.4 10
## [3,] -0.35 0.4 -1
## [4,] 1.05 2.4 -5
## [5,] -1.25 -3.6 3
## [6,] -2.15 -7.6 -8
## [7,] 2.95 8.4 15
## [8,] -5.95 -18.6 -33
## [9,] 5.75 16.4 32
## [10,] 0.35 3.4 0S = (1/(n-1))*t(D)%*%D; S## BB PM RTB
## BB 10.98056 31.80000 54.96667
## PM 31.80000 94.04444 160.22222
## RTB 54.96667 160.22222 300.66667Ds = diag(sqrt(diag(S))); Ds## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 3.313692 0.000000 0.00000
## [2,] 0.000000 9.697651 0.00000
## [3,] 0.000000 0.000000 17.33974R = solve(Ds) %*% S %*% solve(Ds); R## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1.0000000 0.9895743 0.9566313
## [2,] 0.9895743 1.0000000 0.9528259
## [3,] 0.9566313 0.9528259 1.0000000